РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ВАЛА ИЗ СТАЛИ ПРИ КРУЧЕНИИ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

 

«МАТИ – Российский государственный технологический университет

Имени К. Э. ЦИОЛКОВСКОГО» (МАТИ)

 

Курсовая работа по прикладной механике

 

 

Вариант: №97

Студент: Старшинов Виталий

Группа: 2РКК-2ДБ-220

Преподаватель: Болотников Б.И.

 

 

Москва

 

2013

ЗАДАЧА А.

 

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ СТУПЕНЧАТОГО СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ

 

Для ступенчатого стержня, изображенного на рис. 1.3, дать эскиз разделения на участки с различными усилиями и жесткостью, подобрать из условия прочности по нормальным напряжениям диаметры сечений d 1, d 2, d 3, d 4, а также построить эпюры нормальных напряжений « s » и осевых перемещений « D l » (относительно верхнего сечения) по длине стержня.

P1= 50 кН, P2=20 кН, P3=-30 кН, s T =250МПа, [ n ]=1,9, E =0,71×105МПа, m =0,6, d 4= md 3.

 

РЕШЕНИЕ.

 

1. Определяют внутренние силовые факторы в сечениях стержня и строим эпюру продольных усилий «N»..

2.Разделяют стержень на расчетные участки с различными усилиями и жесткостью. Жесткостью сечения при растяжении-сжатии называют величину EF, т.е. произведение площади поперечного сечения на модуль упругости материала. Поскольку все участки заданного стержня выполнены из одного материала, изменение жесткости стержня будет соответствовать изменению площади его поперечного сечения. Таким образом, границами расчетных участков будут являться сечения, в которых изменяется величина продольной силы N или площади сечения F.

 

	s

 

 

3.Определяют величину допускаемых напряжений [ ]:

 

 

[ ]= [ n ]= 1,9=132МПа.

 

4. Из условия прочности

 

N £[ ]

 

 

находят размеры поперечных сечений стержня на различных участках. Величину поперечной силы N получают по эпюре «N» на соответствующем участке.

Диаметр d 3определяют из условия прочности на VI участке:

s

s

s

F

p

N

s

=

VI

[

VI

4×30×10

4×30×10

FVI £[]; F =4(d 3- d 4)=p43(1- m 2); d 3=

 

4 NVI

p s](1- m 2)

= 3,14×(1-0,62)×132×106 = 2,12×10-2 м

 

Этот результат необходимо округлить до ближайшего стандартного размера: d 3» 21 мм.

Далее рассчитывают диаметр отверстия d 4= md 3= 0,6×21 =12,6 мм

 

Для определения диаметра d 2можно составить три условия прочности на III, IV и V участках, на каждом из которых изменяется нормальное усилие N или площадь F поперечного сечения. Из трех полученных значений диаметра выбирают наибольшее значение.

Из условия прочности на III участке:

NVI £[ IV =p d 2; d 2= 4 NIV =

VI

 

3,14×132×106=5,38×10-2 м;

 

d 2» 53 мм

 

(по стандарту).

 

 

Участок III рассматривать нецелесообразно, так как площадь поперечного

 

сечения на III участке та же, что и на IV участке, тогда как нормальное усилие NIII = 10 кН меньше, чем NVI =30 кН, т.е. потребный для

 

 

 

обеспечения прочности диаметр будет заведомо меньшим, чем определенный на IV участке.

Из условия прочности на V участке:

 

p

4×30×10

V

p

4×40×10

N

I

F

4×10×10

 

F £[ V = 4(d 2- d 4); d 2= 4 NV + d 2=

3,14×132×106+(1,2×10-2)2=

 

= 2,08×10-2 м; d 2» 20 мм.

 

 

Таким образом, получено 2 возможных значения d 2. В соответствии с

 

условием прочности выбирают наибольшее из них, т.е. d 2»53 мм

 

 

Для определения диаметра d 1составляют условие прочности на наиболее

 

нагруженном из двух участков – I-ом или II-ом. В данном случае это I-ый участок, т.к. NI = 40кH > NII =10кН:

 

 

FI £[ I =4 d 1; d 1= 4 NI =

3,14×132×106=1,96×10-2 м;

 

d 1» 19 мм

 

 

5. Строят эпюру нормальных напряжений « s » по длине рассчитанного стержня. Для этого по формуле вычисляют нормальные напряжения на каждом участке:

 

s I = NI = 4 NI

 

I 1

= 3,14×(1,96×10-2)2= -132×106 Нм 2= -132 МПа;

 

 

s II =s III = NII = 4 NII = 3,14×(1,96×10-2)2= 33,16×106 Нм 2= 33,16 МПа;

 

 

4×30×10

Н

s

=

F

N

V

4×30×10

N

Н

VI

EF

E

NIVIV

 

IV

= 4 NIV

 

 

3

= 3,14×(5,3×10-2)2= 13,60×106 м 2= 13,60 МПа;

 

s V = FV = p(d 2 V 2)= 3,14×[(5,3×10-2)2-(1,2×10-2)2]=14,34×106 Нм 2=; =14,34 МПа

 

s VI = FVI = p(d 3 VI 4)= 3,14×[(2,1×10-2)2-(1,2×10-2)2]=128,6×106 м 2=128,6 МПа

 

и графически отображаем результаты расчетов

 

Величина напряжения не зависит от координаты сечения в пределах рассматриваемого участка, поэтому на эпюре « s » напряжения изменяются скачкообразно при переходе от участка к участку.

6. Далее выполняем расчеты, необходимые для построения эпюры осевых перемещений « D l» относительно верхнего сечения стержня.

Удлинения (осевые перемещения) определяются по уравнению соответствующему закону Гука. Необходимо иметь в виду, что по этой формуле определяются удлинения стержня на каждом последующем участке относительно предыдущего. Поэтому для построения эпюры осевых перемещения относительно верхнего сечения необходимо использовать формулу, т.е. суммировать удлинения отдельных участков.

В качестве точки отсчета для эпюры удлинений следует принимать сечение, в котором расположена опора. Очевидно, что здесь перемещение равно 0.

Перемещение D lI сечения, находящегося в конце I участка,

 

вычисляют таким образом:

 

0,71×10

D lI = NIlI =s IlI =-132×0,12=-2,23×10-4 м. I

 

 

 

Перемещение D lII сечения, расположенного в конце II участка,

 

определяют уже как сумму перемещений I сечения (т.е. находящегося в конце I участка) относительного верхнего сечения (заделки) и перемещения II сечения (т.е. находящегося в конце II участка) относительно I сечения:

0,71×10

D lII = D lI + NIIlII = D lII +s IIlII =-2,23×10-4+33,16×0,22= -1,2×10-4 м, II

 

т.е. используют формулу

 

D li =D li -1+ Nili =D li -1+s ili. i

 

Аналогично определяют перемещения сечений, расположенных в конце последующих участков:

0,71×10

D lIII = D lII + NIIIlIII = D lIII +s IIIlIII = -1,2×10-4+ 33,16×0,15=-0,49×10-4 м; III

 

0,71×10

D lIV = D lIII + NIVlIV = D lIV +s IVlIV =-0,49×10-4+ 13,60×0,1=-0,29×10-4 м; IV

 

0,71×10

D lV = D lIV + NVlV = D lV +s VlV =-0,29×10-4+14,34×0,14=-0,07×10-4 м; V

 

0,71×10

D lVI = D lV + NVIlVI = D lV +s VIlVI =-0,07×10-4+128,6×0,24=4,27×10-4 м. VI

 

График изменения величины осевых перемещений по длине стержня изображен на рисунке. Эта эпюра ограничена ломаной линией, т.к. отражает линейную зависимость удлинения D l от координаты сечения стержня у.

 

 

16

EF

E

E

EF

E

EF

E

EF

EF

E

E

EF

 

 

ЗАДАЧА 2.

 

 

РАСЧЕТЫНА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ВАЛА ИЗ СТАЛИ ПРИ КРУЧЕНИИ

ПРИМЕР 2.2.

 

Для гладкого вала (рис.2.3), вращающегося с заданной угловой скоростью w =95 1/сек:

· определить мощность, передаваемую ведущим шкивом приводного двигателя, а также рациональное расположение этого шкива по длине вала

· построить эпюру крутящих моментов, возникающих в сечения вала, и подобрать из условия прочности по допускаемым напряжениям диаметр сплошного вала, если t]=80 Мпа;

 

· построить эпюру угловых перемещений « j » по длине вала

 

относительно левого концевого сечения, G = 8×104 Мпа;

 

· исходя из условия прочности, подобрать поперечные размеры гладкого вала кольцевого сечения с ориентировочным соотношением диаметров Dd =1,6 и произвести сравнение весов рассчитанных на прочность валов круглого и кольцевого сечения;

· построить эпюры распределения касательных напряжений по радиусам в опасных сечениях круглого и кольцевого валов.

 

23

[

РЕШЕНИЕ.

 

1.Вал, схема нагружения которого показана на рисунке, совершает равномерное вращение с угловой скоростью w, и, следовательно, находится в состоянии равновесия. Для такой системы выполняются условия равновесия, в частности, равна нулю сумма моментов

относительно продольной оси x вала:

 

å Mx = M 1+ M 2+ M 3+ M 4- Mвед + M 5=0;

 

Из этого уравнения определяют величину момента на ведущем шкиве вала

 

Mвед как уравновешивающего систему:

 

Mвед =å Мi =1600+200+1200+1800+900=5700 Нм. 5

 

Мощность, которую передает ведущий шкив, рассчитывают как работу Mвед при вращении вала с угловой скоростью w:

Nвед = Mвед ×w = 5700×95 = 541500 Вт = 541,5 кВт.

 

Согласно условию задачи, расположение Mвед вдоль оси вала можно

 

изменять (на схеме Mвед показан пунктирной линией), добиваясь при этом

 

рационального с точки зрения нагруженности вала положения ведущего

 

шкива. Рациональным будет являться такое положение Mвед, при котором

 

максимальная величина крутящего момента МКР maxв опасном сечении вала,

 

 

 

 

будет меньшей из всех возможных при любом другом расположении Mвед. Это возможно лишь при таком положении ведущего шкива, при котором сумма внешних моментов, приложенных слева от Mвед, будет как можно ближе (а лучше, равна) к сумме моментов, приложенных справа от него.

Для схемы на рисунка ведущий шкив целесообразно расположить на III участке между M 3 и M 4, т.к.

å= M 1+ M 2+ M 3=200+600+1000=3000 Нмслева

 

å= M 4+ M 5=1400+300=2700 Нм. справа

 

Схема рационального положения ведущего шкива показана на рис.2.4.

 

В пределах III участка Mвед располагают произвольно, т.е. отрезки l 5

 

и l 6 выбираются без расчетов. Имеет смысл назначить следующие размеры: l 5= 0,15 м и l 6= 0,15 м.

Для рационального расположения Mвед с помощью метода сечений строят эпюру крутящих моментов «МКР ». Она также показана на рис.2.4.

 

 

Рис.2.4

 

2. Размер поперечного сечения круглого вала - диаметр - определяют, исходя из условия прочности (2.7) при кручении

tmax= Мкр £[ ] p

 

 

по формуле

		t
		W
				t

d = 316 Mкр max

 

МКР max

 

0,2[ ]

= 30,2×80×106 = 5,65×10-2м.

 

Этот результат округляем до стандартного линейного размера 48 мм. Округление в меньшую сторону возможно в данном случае, поскольку отклонение от требуемого размера составляет

 

 

 

 

d = 56,5-56×100% = 56×100% = 0,8% < 5%. Итак, d = 56 мм.

3.Следующий этап - построение эпюры угловых перемещений «j ». Углы поворота сечений вала рассчитывают в соответствие с законом Гука при этом, согласно условию, в качестве начала отсчета необходимо выбрать крайнее левое сечение (сечение, где приложен M 1).

Угол поворота Dj I сечения, расположенного в конце I участка, относительно крайнего левого сечения

1600×35

Dj I = MКРIlI =8×10×0,1×(0,056)4= 0,71 рад.

 

 

В этой формуле Jp = 32» 0,1 d 4 - полярный момент инерции круглого сечения диаметром d =56 мм.

Угол поворота Dj II сечения, расположенного в конце II участка, рассчитывают как сумму угла поворота сечения I относительно крайнего левого сечения и угла поворота сечения II относительно сечения I:

	1800×50

Dj II = Dj I + MКРIIlII= 0,71× +8×0,1×10×(0,056)4=1,85 рад.

 

Подобным образом рассчитывают величину углов поворота сечений, находящихся в конце каждого последующего участка:

3000×15

Dj III =Dj II + MКРIIIlIII =1,85 + 8×0,1×1010×(0,048)4= 2,42 рад;

 

Dj IV =Dj III + MКРIVlIV =2,42 + 8×0,1×1010×(0,048)4= 1,9 рад;

 

Dj V =Dj IV + MКРVV= 1,9 + 8×0,1×1010×(0,048)4=1,55 рад.

 

Следует отметить, что в расчетах

 

необходимо учитывать знак крутящего момента на каждом участке, поскольку это определяет направление угла закручивания сечения.

 

 

27

0,5

GJ

p

p

d

GJ

p

GJ

p

-2700×15

GJ

p

-900×30

l

GJ

p

 

 

Эпюра угловых перемещений «j » приведена на рис.2.4.

 

4.Исходя из того же условия прочности, определяют размеры вала

 

кольцевого сечения, равнопрочного с валом круглого сечения, подставляя в условие момент сопротивления для кольца:

 

tmax= Wкольцо £[ ]

 

 

D = 3 16 Mкр max » 3 МКР max = 3000 = 6,19×10-2м. 30,2×80×106(1-1,64)

 

Округлив D до ближайшего стандартного размера 63 мм, вычисляют

 

 

внутренний диаметр кольцевого сечения dk = 1,6= 39,3 мм » 39 мм

 

(округление размеров внутренних полостей проводят в меньшую сторону,

 

увеличивая тем самым площадь поперечного сечения). Таким образом,

 

получены размеры кольцевого сечения: D = 63 мм, dk = 39 мм, D =1,61. k

 

Затем следует оценить весовую эффективность применения вала кольцевого сечения в сравнении с равнопрочным круглым валом, т.е. сравнивают веса рассчитанных валов:

p 2

h = = Fl = 4 = 2 2 2= 2 2 2=1,28, кольцо кольцо 4 (D 2 2) k

 

где кольцо кольцо - веса и площади сечения круглого и кольцевого валов соответственно; g, l - удельный вес и длина рассчитанных валов соответственно.

 

Расчет показывает, что экономически выгодно применять валы кольцевого сечения, поскольку их вес существенно ниже круглых валов сплошного сечения, однако следует учитывать, что при этом увеличиваются габаритные размеры конструкции.

 

28

М

t

кр

p

p t a

t

a

](1-

](1-

4 4

0,2[

[)

)

d

d

g

Q

d

p

g

-39

- d

D

Q F l

- d

k

, F, F

Q, Q