Программа экзамена по дисциплине «Математический анализ» для специальности «Медицинская биохимия», 1 курс, 2011-2012 учебный год
семестр (преподаватель Постников Б.М.)
1. Матрицы и действия над ними: матрицы размера 
, матрица-строка и матрица-столбец, квадратная матрица и её порядок, равные матрицы, сумма матриц, коммутативность и ассоциативность сложения матриц, нуль-матрица, разность матриц, произведение матрицы на число, произведение матриц, некоммутативность умножения матриц, ассоциативность умножения матриц, единичная матрица как нейтральная относительно умножения, транспонированная матрица к заданной матрице.
2. Определители квадратных матриц: определители квадратных матриц 1-го и 2-го порядка; определители квадратных матриц 3-го порядка, правило «треугольников» и правило Саррюса; свойства определителей; миноры и алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы; теорема о разложении определителя по строке (столбцу); определители n -го порядка, их свойства, свойство: 
.
3. Обратная матрица: обратная матрица для заданной квадратной матрицы, вырожденные и невырожденные матрицы, теорема о существовании и нахождении обратной матрицы для заданной невырожденной матрицы.
4. Решение систем линейных уравнений матричным методом: система линейных уравнений (с.л.у.) из n уравнений с n неизвестными, её матрица и главный определитель, решение системы, совместные и несовместные системы; матричный вид с.л.у. и её решение в матричном виде.
4+. Совместные и несовместные с.л.у., определённые и неопределённые с.л.у.; равносильные с.л.у., преобразование с.л.у. к равносильной ей с.л.у. с помощью элементарных преобразований; метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных) решения с.л.у. (см. ПЗ № 4 и № 5 второго семестра).
5. Комплексные числа, различные формы их представления. Действия над комплексными числами. Формулы Эйлера: комплексные числа в алгебраической форме и их изображение на координатной (комплексной) плоскости; тригонометрическая форма комплексного числа; арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме; действия над комплексными числами в тригонометрической форме: умножение, деление, возведение в целую степень, извлечение корней n – ой степени; формулы Эйлера; показательная форма комплексного числа.
6. Метод координат на плоскости: прямоугольная декартова система координат на плоскости (п.д.с.к.), координаты точки в п.д.с.к.; нахождение координат вектора по координатам его начала и конца; нахождение расстояния между двумя точками; уравнение линии в заданной п.д.с.к.
7. Уравнения прямых на плоскости: направляющий вектор прямой; параметрические уравнения прямой, проходящей через заданную точку и с заданным направляющим вектором; каноническое уравнение прямой с заданным направляющим вектором; общее уравнение прямой, смыслы векторов 
и 
для прямой 
; каноническое уравнение прямой, заданной двумя точками; уравнение прямой «в отрезках»; уравнение прямой с угловым коэффициентом.
7+. Вычисление расстояния от точки до прямой (см. ПЗ № 8 второго семестра).
8. Кривые второго порядка: кривая второго порядка и её невырожденные случаи: эллипс, гипербола и парабола, их геометрические определения, канонические уравнения и основные свойства.
8+. П.д.с.к в пространстве, координаты точки в п.д.с.к.; нахождение координат вектора по координатам его начала и конца; нахождение расстояния между двумя точками; уравнение поверхности в заданной п.д.с.к.; линейное уравнение как общее уравнение плоскости, смысл вектора 
; уравнение плоскости «в отрезках»; уравнение плоскости с заданными направляющими векторами, проходящей через заданную точку; уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки; уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору; задание прямой в пространстве системой двух линейных уравнений (общие уравнения прямой); канонические уравнения прямой, заданной некоторой своей точкой и направляющим вектором; канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки (см. ПЗ № 9 и № 10 первого семестра).
8++. Квадратичные формы: квадратичная форма (к.ф.) одной, двух, трёх и более переменных, её общий вид; матрица к.ф.; положительно (отрицательно, неотрицательно, неположительно) определённая к.ф., знаконеопределённая к.ф.; критерий Сильвестра (см. ПЗ № 10 и № 11 второго семестра).
9. Числовые ряды: числовой ряд, частичные суммы ряда, сходящийся ряд и его сумма, расходящийся ряд; невлияние отбрасывания или добавления любого конечного числа членов ряда на его сходимость и расходимость; теоремы об умножении сходящегося ряда на число и о сумме двух сходящихся рядов; необходимое условие сходимости ряда и его следствие (достаточное условие расходимости ряда); гармонический ряд, ряды Дирихле, геометрические ряды; сходимость ряда, у которого сходится ряд из его модулей; абсолютно и неабсолютно (условно) сходящиеся ряды.
9+. Положительный ряд; первый признак сравнения положительных рядов (допредельный) и его следствие; второй признак сравнения положительных рядов (предельный); признак Даламбера для положительных рядов; признак Коши для положительных рядов; знакочередующиеся ряды, теорема Лейбница (см. ПЗ № 12 и № 13 второго семестра).
10. Функциональные ряды. Степенные ряды: функциональный ряд (ф.р.), его точки сходимости и расходимости, множество сходимости и сумма ф.р.; степенной ряд (с.р.), теорема о существовании интервала сходимости с.р., интервал и радиус сходимости с.р.
10+. Признак Даламбера абсолютной сходимости ряда; признак Коши абсолютной сходимости ряда; их применения к нахождению интервалов и радиусов сходимости с.р.
11. Функция нескольких переменных, её предел и непрерывность: определение функции двух переменных (ф.2 п.), её области определения и множества значений; график ф.2 п., линии 
- уровня; определение предела и непрерывности ф.2п.; непрерывность элементарных ф.2 п.
12. Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных: определение частных производных и дифференциала ф.2 п.
12+. Частные производные второго порядка (см. ПЗ № 17 второго семестра и учебник).
13. Общее понятие площади плоской фигуры: верхняя грань числового множества; многоугольная фигура; внутренняя площадь фигуры; внешняя площадь фигуры; квадрируемая фигура и её площадь; внутренние, внешние и граничные точки фигуры; граница фигуры; замкнутая фигура; неперекрывающиеся фигуры; аддитивность площади.
14. Некоторые задачи, приводящие к двойному интегралу: задача о массе плоской неоднородной материальной пластины; задача об объёме подграфика ф.2 п.
15. Двойной интеграл и его свойства: разбиение плоского множества и его мелкость; набор, подчинённый разбиению; интегральная сумма функции по разбиению и набору; предел интегральных сумм; интегрируемая по множеству функция и её (двойной) интеграл; неинтегрируемая по множеству функция; физический и геометрический смыслы двойного интеграла; достаточное условие интегрируемости (существования двойного интеграла); свойства двойного интеграла (однородность, аддитивность по функции, аддитивность по множеству интегрирования).
16. Некоторые применения двойных интегралов: нахождение массы плоской неоднородной материальной пластины; нахождение объёма подграфика ф.2 п.; нахождение площади плоской фигуры; нахождение площади поверхности в пространстве (площади графика ф.2 п.).
17. Вычисление двойных интегралов: междуграфики 1-го и 2-го типов и вычисление двойного интеграла по ним.
17+. Формула замены переменных «переход к полярным координатам» в двойном интеграле (см. ПЗ № 19 и № 20 второго семестра).
18. Дифференциальные уравнения и некоторые задачи, приводящие к ним: понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении (д.у.) и д.у. в частных производных; простейшие задачи, приводящие к д.у.
19. Обыкновенное дифференциальное уравнение n - го порядка, его решение и задача Коши для него: определение (обыкновенного) д.у. n - го порядка и его решения; задача Коши для д.у. n - го порядка и его частные случаи (при n= 1 и при n= 2).
20. Дифференциальное уравнение первого порядка: общий вид д.у. первого порядка; д.у. первого порядка, разрешённое относительно производной; д.у. первого порядка в дифференциалах; общее решение и общий интеграл д.у. 1-го порядка; частное решение и частный интеграл.
21. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: д.у. с разделёнными переменными; д.у. с разделяющимися переменными; случаи приведения д.у. первого порядка в дифференциалах и д.у. первого порядка, разрешённого относительно производной, к д.у. с разделёнными переменными.
21+. Интегрирование д.у. с разделёнными переменными; дифференциальные уравнения, однородные относительно x и y; линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (см. ПЗ № 20 и № 21 второго семестра).
Замечания:
1. Номера вопросов и выделенные подчёркиванием слова соответствуют номерам и названиям параграфов лекций.
2. Вопросы, номера которых содержат знак +, рассмотрены на практических занятиях (на лекциях они не рассматривались).
3. При изложении конкретного вопроса надо уметь привести соответствующие примеры (см. лекции и учебники).
4. Необходимо уметь доказывать те утверждения, доказательства которых приведены на лекциях или даны в качестве упражнений.
Форма проведения письменного экзамена для специальности «Медицинская биохимия» в 2011-2012 учебном году:
В экзаменационном билете будет содержаться 5 вопросов:
1. Дать определение какого-либо понятия (1 балл).
2. Дать определение какого-либо понятия (1 балл).
3. Сформулировать какую-либо теорему (утверждение, свойство и т.п.) без доказательства (1 балл).
4. Сформулировать какую-либо теорему (утверждение, свойство и т.п.) без доказательства (1 балл).
5. Сформулировать и доказать какую-либо теорему, утверждение, свойство и т.п. (2 балла).
Общее время на ответы – 120 минут.
На оценку «удовлетворительно» необходимо набрать не менее 3,5 баллов.
На оценку «хорошо» необходимо набрать не менее 4,5 баллов.
На оценку «отлично» необходимо набрать не менее 5,5 баллов.