Тема.
ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ В ПРОСТОЙ БАЛКЕ
(расчет на подвижную нагрузку)
Изучить и законспектировать
1. Основные положения
2. Построение линий влияния в двухопорной балке (чертеж в конце вопроса на отдельной странице)
3. Определение внутренних силовых факторов и реакций опор по линиям влияния
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1. Понятие линии влияния
2. Отличие линии влияния от эпюры
3. Размерность ординат линий влияния
Расчет сооружений на подвижную нагрузку производится при помощи линий влияния.
Линия влияния – это график, выражающий закон изменения силового фактора (опорной реакции, поперечной силы, изгибающего момента) при передвижении по длине сооружения единичного сосредоточенного
груза Р=1
Отличие линии влияния от эпюры:
- Эпюра строится для вех сечений сразу, линия влияния - для одного конкретного сечения.
- Эпюра строится от неподвижной нагрузки, линия влияния - от единичного подвижного груза
- Ордината эпюры показывает полную величину усилия, ордината линии влияния соответствует положению единичного груза
- Новая эпюра строится при каждом новом положении нагрузки, новая линия влияния строится для каждого нового сечения балки
Размерность ординат линий влияния
| Силовой фактор | Размерность ординат л.в. | Размерность площади л.в. | |
| Опорная реакция | Безразмерная величина | метры, м | |
| Поперечная сила | Безразмерная величина | метры, м | |
| Изгибающий момент | метры | Квадратные метры, м2 | |
| Усилие в стержне фермы | Безразмерная величина | метры, м |
ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ В ДВУХОПОРНОЙ БАЛКЕ
Для построения линии влияния используются уравнения статики. Аналитическое выражение зависимости искомой величины от текущей координаты единичного груза и даст уравнение линии влияния (Рис 1.)
Линии влияния реакций опор
Для построения линии влияния левой реакции (рис. 1,а) установим единичный груз в произвольное сечение «к» на расстоянии х от опоры А и запишем уравнение моментов относительно опоры В:
A · l – P · (l – x) = 0
При Р = 1 получим:
A = (l – x) / l
Так как 0 ≤ x ≤ l, то при х = 0 А = 1, а при х = l A = 0
Полученное выражение реакции А является уравнением первой степени и, следовательно, линия влияния реакции опоры А представляет собой прямую линию (рис. 1, а).
Выражение для опорной реакции В получим из уравнения моментов относительно опоры А:
B · l – 1 · x = 0, откуда
B = x / l (л.в. рис. 1,б)
Линии влияния поперечной силы
Величина и знак поперечной силы зависят от положения единичного груза относительно сечения к, и поэтому будем строить линию влияния поперечной силы при двух предположениях.
Пусть единичный груз движется справа от сечения «к»
Qк= A = (l – x) / l
Это выражение поперечной силы определяет правую ветвь линии влияния.
В этом случае поперечная сила положительная, так как стремится повернуть балку по часовой стрелке (слева – вверх).
При x = 0 Q = 1,
При x = l Q = 0.
Во втором случае, когда груз движется слева от сечения, выражение поперечной силы будет
Qк = – B = – x / l
которое определяет левую ветвь.
Поперечная сила отрицательная, так как стремится повернуть балку против часовой стрелки (справа – вверх).
При x = 0 Q = 0,
При x = l Q = – 1.
Линия влияния поперечной силы приведена на рис. 1, в.
Линии влияния изгибающего момента
Для построения линии влияния изгибающего момента в сечении «к», расположенном на расстоянии а от левой опоры, надо получить выражение момента в зависимости от расположения груза справа или слева от сечения
(Рис. 1, г).
Пусть единичный груз движется справа от сечения, т. е.
а ≤ х ≤ 1.
Выражение изгибающего момента слева от сечения будет
Mк = A · a
Из уравнения видно, что линия влияния М (правая ветвь) строится как линия влияния реакции А с умножением всех ординат на а.
Рассмотрим теперь случай, когда груз расположен слева от сечения, т. е.
x ≤ a
Слева от сечения две силы: реакция А и движущийся единичный груз, а справа только реакция В.
Определяем изгибающий момент как сумму сил справа от сечения:
Mк = В · b
Левая ветвь строится как линия влияния реакции В с умножением всех ординат на b. Левая и правая ветви пересекутся под сечением «к», что следует из условия единственности значения изгибающего момента при расположении единичного груза над сечением.
В этом нетрудно убедится, определив ординату линии влияния под сечением «к», из двух треугольников, которые получились: один при построении правой ветви, а другой при построении левой ветви. Ордината под сечением будет равна a · b / l
Определение внутренних силовых факторов и реакций опор по линиям влияния
Чтобы определить значение реакции опоры, изгибающего момента или поперечной силы в каком-либо сечении балки, необходимо построить соответствующую линию влияния реакции или внутреннего силового фактора для этого сечения.
Значение реакции опоры, изгибающего момента или поперечной силы в заданном сечении по соответствующей линии влияния определяется по формуле S = Σ P · y + Σ q · ω + Σ M · tg α,
где S – искомая величина,
P – внешняя сила,
q – расределенная нагрузка,
M – изгибающий момент,
y – ордината линии влияния в сечении балки под соответствующей силой,
ω – площадь участка линии влияния под распределенной нагрузкой,
α – угол наклона линии влияния под изгибающим моментом.
Правило знаков для величин в этой формуле следующее. Сила и распределенная нагрузка положительные, если они направлены вниз, т. е. по направлению единичного груза.
Изгибающий момент положительный, если направлен против часовой стрелки. Ордината y и площадь ω берутся со своим знаком на линии влияния. Угол наклона линии влияния α положительный, если он образуется вращением нулевой линии по часовой стрелке.
Согласно приведенной формуле, при вычислении значения реакции опоры, изгибающего момента или поперечной силы в заданном сечении необходимо просуммировать произведения всех действующих на балку сил, моментов и распределенной нагрузки, на соответствующие параметры линии влияния.