КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. ЦЕЛЬ РАБОТЫ. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

СОДЕРЖАНИЕ

1. Цель работы 3

2. Краткие теоретические сведения 3

3. Описание технических средств выполнения работы 5

4. Порядок выполнения теоретических расчетов 5

5. Порядок выполнения экспериментальных исследований 6

6. Содержание отчета о выполнении лабораторной работы 7

7. Контрольные вопросы 7

Библиографический список 8

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучить применение методов фазовой плоскости и точечных преобразований к исследованию процессов в нелинейных системах автоматического управления (НСАУ).

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Часто при решении различного рода задач управления возникает необходимость исследования процессов, протекающих в НСАУ.

Известен ряд методов, предназначенных для исследования НСАУ [1, 2]. К числу наиболее наглядных из них можно отнести методы фазовой плоскости и точечных преобразований.

Метод изображения переходных процессов в фазовом простран­стве и фазовой плоскости был введен в теорию автоматического управления академиком А.А.Андроновым.

Метод фазовой плоскости дает возможность получить наглядную и точную кар­тину всей совокупности переходных процессов при любых началь­ных условиях для свободных колебаний в системах второго по­рядка, содержащих нелинейные элементы, а также оценить устойчивость таких систем и возможность возникновения в них автоколебаний.

Хотя исследование систем второго порядка для теории автоматического управления имеет ограниченный интерес, знакомство с основами ме­тода фазовой плоскости весьма полезно, благодаря его исключи­тельной наглядности и изяществу.

Фазовой плоскостью называется плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные, характеризующие переходный процесс в системе. Наиболее часто в качестве таких переменных принимают отклонение регулируемой величины x и скорость ее изменения во времени

dx/dt=y. (1)

При изображении процессов на фазовой плоскости уравнение второго порядка удобно свести к двум уравнениям первого по­рядка

(2)

где f₁ и f₂ — в общем случае нелинейные функции координат. Чтобы изoбразить переходный процесс на фазовой плоскости из уравнений (2) исключим время, для чего поделим второе уравнение на первое:

dy/dx=f₂(x, y)/ f₁(x, y). (3)

Мы получили нелинейное дифференциальное уравнение, общих методов точного решения которого не существует, и в каждой задаче приходится изыскивать частный метод его решения.

Решением уравнения (3) будет некоторая функция

y=F(x), (4)

графическое изображение которой на фазовой плоскости назы­вается фазовой траекторией. Как известно, каждой совокупности начальных условий x₀, y₀ будет соответствовать свое решение и своя фазовая траектория. Фазовая плоскость для каждого уравнения покрывается множеством фазовых траекторий, однако это множество обладает весьма ценным свойством: если функции f₁ и f₂ однозначны, то каждой точке (x, у) на плоскости (за исключением, может быть, ограниченного числа изолированных особых точек) соответствует только одно значение производ­ной dy/dx. Это означает, что через каждую точку фазовой плос­кости (за исключением особых точек) проходит только одна фазо­вая траектория и что фазовые траектории не пересекаются друг с другом. Данное обстоятельство и позволяет получать наглядные и четкие «фазовые портреты» исследуемой системы, на которых ясно виден характер возможных движений, подобно тому, как с помощью магнитных силовых линий получаем наглядное пред­ставление о магнитном поле.

Однако многие нелинейности характерны тем, что при воз­растании координаты, т. е. при x^’ >0, движение происходит по одной ветви кривой, а при ее убывании, т. е. при x^’ <0, по дру­гой. Тогда, хотя характеристика элемента неоднозначна, на фазовой плоскости будем иметь опять-таки непересекающиеся фазовые траектории, так как области x^’ >0 и x^’ <0 разграничены осью абсцисс у =x^’ = 0, которую можно при этом назвать л и н и е й переключени я, поскольку на этой оси происходит пере­ход с фазовой траектории, определяемой одним уравнением, на траекторию, описываемую другим уравнением.

И лишь в том случае, если неоднозначность является более сложной, может оказаться, что в точках некоторых областей фазовой плоскости будут пересекаться несколько фазовый траек­торий. В этом случае прибегают к понятию многолистных фазовых плоскостей.

Мы упомянули о том, что однозначность фазовых траекторий, проходящих через данную точку, может не иметь места в так называемых «особых точках». Эти особые точки представляют собой те точки, в которых происходит одновременное обращение в нуль функций f₁ и f₂:

(5)

Особые точки, определяемые решением системы уравнений (5), отмечены нами нулевым индексом вверху, чтобы отличить их от начальных условий x₀, у₀, отмечаемых нулевым индексом внизу.

Заметим, что на основании (2) в особых точках dx/dt и dy/dt обращаются в нуль, т.е. движение системы прекращается. Это означает, что особые точки представляют собой точки равновесия системы. Заметим сразу же, что эти точки могут быть как реали­зуемыми физически, т.е. устойчивыми, так и нереализуемыми, т.е. неустойчивыми, и в неустойчивых точках возможность пре­кращения движения существует только формально.

Мы говорили о том, что чаще всего за координату y прини­мают скорость изменения координаты х. Тогда уравнения (2) принимают вид

(6)

Фазовые траектории при этом приобретают некоторые дополни­тельные свойства. Прежде всего, из уравнений (6) следует, что х всегда возрастает в верхней полуплоскости (где у >0), т.е. движение вдоль фазовой траектории при возрастании t происхо­дит слева направо. В нижней же полуплоскости (где у <0) коор­дината х убывает, и движение по фазовой траектории происходит справа налево.

Следующее интересное свойство вытекает из уравнения (3), которое в данном случае принимает вид

dy/dx=f(x,y)/y.

При у=0 величина dy/dx становится бесконечно большой во всей фазовой плоскости, за исключением точек равновесия, где f(x, у)= 0. Это означает, что в точках пересечения фазовых траекторий с осью х касательные к фазовым траекториям перпен­дикулярны к оси х. Множество всех фазовых траекторий на фазовой плоскости называется фазовым портретом системы.

На фазовых портретах могут существовать замкнутые фазовые траектории, которые называются предельными циклами. В НСАУ, которые имеют предельные циклы, всегда возникают автоколебания. Автоколебание - такой периодический процесс, характеристики которого определяются собственными свойствами системы. Эффективным средством выявления и анализа предельных циклов является метод точечных отображений.

Содержание методов фазовой плоскости и точечных отображений, а также примеры их применения к исследованию НСАУ можно найти в [1, c.134-145], [2, c. 501-514].