Ситуационная (практическая) задача № 1

Содержание

Ситуационная (практическая) задача № 1. 3

Ситуационная (практическая) задача № 2. 8

Тестовые задания. 13

Ситуационная (практическая) задача № 1

При штамповке шариков для подшипников происходят случайные отклонения диаметров шариков от номинала. При обследовании 25 шариков эти отклонения составили:

–0,530; –0,207; 0,025; –0,238; –0,132; 0,216; 0,087; 0,162; –0,462; –0,442;

–0,441; –0,163; –0,525; –1,136; 0,510; 0,316; 0,057; –0,402; –0,371; –0,351;

0,111;–0,161; 0,521; –0,551; 0,152.

Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.

4. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

5. Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3 закону распределения при уровне значимости 0,05.

6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,95.

7. С надежностью 0,95 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 0,7;

б) генеральной дисперсии значению 0,16

Решение:

1. Исследуемый признак непрерывный, так как может принимать любые значения на интервале и только точность измерения заставляет их округлять.

2. Ранжируем значения и проведем разбиение на k=1+3,32×lg(25)=5 интервалов.

Найдем шаг интервала: (0,521-(-1,136))/5=0,331;

Построим гистограмму:

3. При визуальном анализе гистограммы можем выдвинуть гипотезу о том, что признак распределен по нормальному закону.

4. Найдем выборочные характеристики изучаемого признака.

Расчетная таблица:

Среднее -3,955/25=-0,1582

4,096929/25=0,1639

Дисперсия 0,1639-(-0,1582)²=0,1389

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение

0,168^0,5=0,4099

5. Фактическое значение статистики χ² определяется по формуле , где p_i – теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал , она находится с помощью функции стандартного нормального распределения, значения которой Ф(х) найдем в таблице, x_i­- граница i-го интервала.

Объединим первый и второй интервалы.

Степень свободы теоретической статистики равна k=5-2-1=2 т.к. пять интервалов определены выше и учитываем интервалы (-∞;-1,136) и (0,521;+∞) пустые интервалы объединим с соседними, уровень значимости α=0,05, теоретическое значение статистики 5,99

Заполним расчетную таблицу:

i	ni	интервал	xi			pi	npi
			-∞	-∞
		(-∞;-0,805)	-0,805	-1,74	0,0409	0,0409	1,023	0,001
		[-0,805;-0,474)	-0,474	-0,85	0,1977	0,1568	3,92	0,216
		[-0,474;-0,143)	-0,143	0,04	0,5160	0,3183	7,958	0,524
		[-0,143;0,188)	0,188	0,93	0,8238	0,3078	7,695	0,063
		[0,188;+∞)	+∞	+∞	1,0000	0,1762	4,405	0,037
Итого							25,00	0,841

т.к. значит гипотеза о нормальном распределении величины отклонения согласуется с опытными данными;

6. Для генерального среднего с вероятностью γ=0,95:

Квантиль Стьюдента

Предельная ошибка выборки 0,1819

Доверительный интервал :

-0,1582-0,1819 -0,1582+0,1819

[-0,3401; 0,0237]

Для генеральной дисперсии :

Доверительный интервал :

25x0,1389/12,4< <25x0,1389/39,36

[0,088; 0,28]

Итак с надежностью γ=0,95 лежит в интервале от -0,3401 до 0,0237 мм, а дисперсия заключена в границах от 0,088 до 0,28.

7. С надежностью 0,95 проверим гипотезу о равенстве:

а) Гипотеза Н₀ :генеральная средняя равна значению а₀=0,7, при неизвестной дисперсии.

Найдем значение t-статистики

	-0,1582-0,7	=11,281
0,3727/

<11,281 , значит, с надежностью 0,95 выдвинутая гипотеза не подтверждается опытными данными.

б) Гипотеза Н₀ : генеральная дисперсия равна значению =0,16, при неизвестном среднем.

Найдем значение «Хи квадрат»-статистики

	25x0,1389	=21,703
0,16

следовательно гипотеза Н₀ подтвердилась (не опровергнута) опытными данными.