Тема 8 Отображения и преобразования. Преобразования плоскости




Пусть X и Y – непустые множества. Если каждому элементу xÎX поставлен в соответствие некоторый элемент yÎY, то говорят, что задано отображение множества Х в множество Y и пишут f: X®Y.

Если f(x)=y, то yÎY – образ элемента xÎX, xÎX – прообраз элемента yÎY

Если для любых различных x1 и x2 из Х следует, что f(x1)≠f(x2) (то есть различные прообразы имеют различные образы), то f называется инъективным отображением.

Если для любого yÎY существует xÎX такой, что f(x)=y (то есть у каждого образа есть прообраз), то f называется сюръективным отображением.

Если f одновременно является инъективным и сюръективным отображением, то оно называется взаимно однозначным или биективным отображением (биекцией) X на Y.

Если f: Х®Х, то говорят, что дано отображение множества на себя.

Преобразованием непустого множества Х называется любое биективное отображение этого множества на себя.

Пусть f1: X®Y, f2: Y®Z – биективные отображения. Определим отображение g: X®Z как последовательное выполнение отображений f1 и f2: g(x)=f2(f1(x)). Построенное таким образом отображение g называется композицией (произведением) отображений f1 и f2 и обозначается g=f2◦f1 .

Для биективного отображения f: X®Y, определим отображение : Y®X следующим образом: (y)=x, если f(x)=y. Это отображение обозначают f -1 и называют отображением, обратным к f.

 

Задание. Рассмотрите следующие примеры и ответьте на вопросы.

 

1.Точке М окружности ставится в соответствие точка М/

пересечения луча ОМ и прямой l. Является ли данное соответствие

отображением окружности на прямую?

 
 


2. Точке М круга ставится в соответствие ее ортогональная проекция

М/ на прямую l.

Каждая ли точка круга имеет образ?

Существуют ли точки круга, образы которых совпадают?

Каждая ли точка прямой имеет прообраз?

Является ли данное соответствие отображением круга на прямую?

Биективно ли оно?

3.Точке М окружности ставится в соответствие ее ортогональная проекция М/ на прямую l.

Является ли данное соответствие отображением окружности на прямую?

Если да, то инъективно ли оно? Сюръективно? Биективно?

 

 
 


4.Точке М окружности ставится в соответствие ее ортогональная

проекция М/ на отрезок АВ.

Является ли данное соответствие отображением окружности

на отрезок? Если да, то биективно ли оно?

 

 


5.Пусть АВ – полуокружность, l || [АВ].

Точке М полуокружности ставится в соответствие точка М/ прямой l,

являющаяся пересечением прямой l и луча [ОМ)

Является ли данное соответствие отображением полуокружности на прямую?

Если да, то инъективно ли оно? Сюръективно? Биективно?

 
 


6.Пусть Х=[AB]Ç[BC]Ç [CA], Y= w (O,R) – вписанная в треугольник АВС

окружность.Точке МÎХ ставится в соответствие точка М/ пересечения

отрезка [ОМ] и окружности w.

Является ли данное соответствие отображением?

Если да, то существует ли обратное отображение?

 


7. На прямой l фиксирована точка А.

Точке В прямой l ставится в соответствие точка В/ такая, что .

Является ли данное соответствие отображением прямой l на себя?

Преобразованием прямой l?

 
 


8. Точке В окружностиw (O,R) ставится в соответствие точка В/ той же окружности, такая, что

Является ли данное соответствие отображением окружности на себя? Существует ли обратное отображение? Является ли данное соответствие преобразованием окружности?

 

9. Пусть s - некоторая плоскость, || s, .Точке АÎs ставится в соответствие точка В такая, что . Является ли данное соответствие преобразованием плоскости?

10. Пусть s - некоторая плоскость, С – фиксированная в ней точка. Поставим в соответствие точку С самой себе, а всякой другой точке А из s точку В так, что ., где kÎ R, k≠0 – фиксированное число. Является ли данное соответствие преобразованием плоскости?

11. На плоскости даны две окружности. Построить биективное отображение одной окружности на другую.

12. Дан DАВС, М – середина [АВ], N – середина [АС].

а) построить инъективное, но не сюръективное отображение [MN] на [ВС];

б) построить биективное отображение [MN] на [ВС].

13. Даны два отрезка [MN] на [АВ]. Постройте биективное отображение одного отрезка на другой.

14. Дана полуокружность и произвольный отрезок, не имеющий с ней общих точек. Постройте биективное отрображение окружности на отрезок.

 

Д.з. 5.1, 5.5, 5.6, 5.8, 5.10, 5.12, №10



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-11-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: