Тақырып 6 Микро деңгейлік техникалық объектің математикалық үлгісін табу методы
В математических моделях используют различные виды анализа и в частности используется популярный параметрический синтез№ В нем необходимо спроектировать деаль, узел или машину с оптимальными или рациональными параметрами. Например для этого могут использоваться методы теории упругости и исследование прочности конструкции.
Для этого чаще всего используют универсальный метод определения напряженно деформированного состояния (НДС) - метод конечных элементов (МКЭ, Ақырғы элементердін әдісі - АЭӘ, finite element method FEM)
Например рассмотрим трубу заделанную в фундамент под действием ветровой нагрузки. Т.е. под давлением ветра находится половина площади трубы.
Здесь цель параметрического синтеза определить диаметр трубы и толщину его стенки при предельном давлении штормового ветра с некоторым запасе прочности.
75кг*0,3 = 22, 5 кг; - сдвинуть стоящего человека ветровой нагрузкой;
Коэффициент запаса - 3;
f = 22,5*3 = 67, 5 кг;
Давление на трубу = 67, 5/(0,2*1,75)= 193 кг/м2 (па)
Для определения напряжений в трубе можно использовать формулы теории упругости, но если деталь сложна (дополнительные отверстия другие усложнения) то получить формулу невозможно, а универсальный метод МКЭ позволяет найти напряжения Ϭx; Ϭу; Ϭz; τху в области тела в
зависимости от координат, а также деформации ux, uy, uz не смотря на сложность конструкции. Задача решается потому, что тело заменяется сеточной моделью, каждый элемен сетки называется конечный элемент и есть программа. Если элементы - ячейки малы, то они могут вписаться в тело любой сложности. Тогда его называют твердотельной моделью (Қатты денелі модель, a solid model)
Ячейка - конечный элемент имеет 2 образа: визуальный и программный: 1.тетрадры, пирамиды, во втором образе - программе содержится информация о взаимодействии с соседними элементами, координатах расположена, действующих нагрузках на элемент, а также алгоритмы построения равновесия элемента в системе который строит линейные уравнения равновесия. Неизвестные в них, обычно, нагрузки в узлах элемента. Например если 4 узла то количество уравнений и неизвестных нагрузок будет равно произведению количества ячеек сетки на 4 - 6
На рис 2. 22* 12*4= 1055 т.е строится 1056 линейных уравнений, а если уменьшить сетку в 4 раза то имеем
16986 уравнений. Точные решения обычно строятся на основе Гаус методах, но обычно используются приближенные решения на основе подбора корней, типа метода Зейделя
Для оптимального выбора параметров машин используют линейные и не линейные методы решения при определении напряжённодеформированного состояния машин.
Они хорошо представленны в пакетах МatCad, MatLab. Практическое представление о методах решения и правилах составления линейных уравнений представленно в пакете Excel «Поиск решения». Меню Сервис - поиск решения. Для этого вспомним понятие определитель, который легко определяется по виду уравнений:
А11х1+ А12х2+…….=0
А21х1+А22х2+……..=0
………………
А11, А12, А13....... линейные коэфициентер
Х1, Х2, Х3.............. неизвестные
Для их вычисления используются выражения
Х1= | х1 определитель при неизвестном | / |общий определитель системы|
Х2= | х2 | / | общий определитель системы |
…………………………………………………………………………….
 |
Рассмотрим например схему нагружения детали (рисунок 9): мы разбили четырёхугольную пластинку четырехугольными элементами (конечными) а их номера выбрали как у элементов системы уравнений 1.1, 1.2, 1.3, 2.1 и.т.д. Напомню, что в Караганде, когда ещё не было пакетов Ansys наши учённые Серикпай Тутанов, Юлиан Векслер, Хабл Халманов и Абылқас Сагинов впервые разработали и использовали конечно-элементный анализ, для расчета устойчивости кровли на шахтах и поддерживающих целиков на рудниках. МКЭ же вместе с Ansys вперые ипользовали Нургожин М.Р Альтер А. для расчета элементов крепи М-130.
Поскольку деталь выделена от своего узла, то действие соседних заманено граничными условиями (в данном случае нагрузками) Если выделить некоторый конечный элемент 1.2, то на его площадках будут действовать напряжения (нормальные и касательные), причем имеется алгоритм назначения имён этим напряжениям. Из рисунка он ясен, так, что аналогичные схемы легко составить. Напряжения действующие перпендикулярно поверхности называют нормальными sу гр. sу 2.2., sх 1.1 sх 1.3 напряжения лежащие на поверхности - касательные tгр, t 1.1,t 2.2,t 1.2. Касательные напряжения введены для удержания тела от вращения при выполнении требования равновесия. Уравнения равновесия для одного конечного элемента составить легко (равенство нулю проекции Рисунок 3
сил на горизонтальные и вертикальные оси, а также уравнение моментов, например, относительно центра элемента).
Очевидно, что количество неизвестных в этих уравнениях пропорционально произведению количества узлов на количество элементов. Ддля решения должно быть столько же уравнений. Составление тясяч уравнений ко облегчается, когда номера элементов, неизвестных факторов и.т.п. атрибутов изменяются закономерно.
Эти операцию легко автоматизировать. Обычно записываются выражения для линейных коэфициентов и свободных членов, а далее они используются для расчета неизвестных в соответствии с алгоритмом решения линейных уравнений. Наглядность таких шагов видна их пакета «Поиск решения» при использовании до 30 уравнений, когда уравнения вводятся вручную, а решение может использоваться и точное, например, на основе метода Гауса. Автоматизм же достигается в решениях Тутанова – Векслера, это уже классический МКЭ. Нахождение неизвестных производится не по точному, а приближенному решению, обычно методом перебора корней решения и применени итерационных методов для повышения точности (метод Зейделя).
Указанные схемы и спосбы составления уравнений напоминают известную задачу Навье для твердого тела с выделением из – него элементарного паралелопипеда к граням которого приложенны напряжения. Эта задача послужила основой для исследования НДС твердого тела. Для жидкости же применена несколько измененная
рисунок 4 - 1 - кривая характеризует распределение скорости в потоке реальной жидкости
трактовка.
Дифференциальное уравнение Навье – Стокса вязкой жидкости. Вязкой или реальной называют жидкость, которая при движении сопротивляется сдвигающим усилиям. В ней ввиду трения возникают касательные напряжения. Потому напряжения на площадку могут быть направлены как угодно, а не обязательно по нормали.
Различают два вида напряжений
1. Нормальное Pnn проекция на нормаль в данной точке поверхности
Касательное напряжение t проекция на касательную плоскость к поверхности в данной точке (имеют место при движении вязкой жидкости). Выделяя в движение жидкости элементарный параллелепипед с ребрами паралельными х y z рассмотрим поверхностные силы действующие на его гранях нормальное направление это реакция элемента на воздействие окружающей среды Рис 4
Условие равновесия
F1+F2+Fm+Fi+Ft=0
Где F1+F2 сиды гидростатического давления Fm – равнодействующая массовых сил тяжести
Fi – равнодейст. сила инерции Ft – сила трения зависит от вязкости, скорости
Гидромеханическое давлении есть сумма рхх +руу+рzz в точке не зависит от ориентации площадки и поэтому является скалярной функцией только координат точки и времени
P = (рхх +руу+рzz)/3 = f(х,y,z,t)
Ниже приведено трёхмерное уравнение Навье – Стокса для вязкой жидкости, для случая, когда подтверждается закон Ньютона о внутреннем трении в жидкости.
 |
Можно считать, что уравнения Навье – Стокса поясняет возможности применения конечно-элементного анализа для вязкой жидкости на основе Ansysобразных пакетов (приложение Flotran) по тем же методам, что и для твердого тела, поскольку имеем напряжений в виде давлений и касательные напряжения. Аналитических решений уравнение Навье – Стокса существует только для ограниченного круга частных случаев, поэтому она также как и задача 5 лет назад решенная русским математиком Пелерманом имеет призовой фонд в миллион долларов.
программы конечных элементов в флотран определяя напряжения переводят значения касательных в скорости потока поскольку для определенных условий имеется зависимость
τ = μ ∂ νx/ ∂ z
μ — динамическая вязкость жидкости
поэтому в результате решения имеем скорости и давления в потоке