Метод Гаусса.
Найти решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Решение:
Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.
Метод Гаусса – классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Сформируем исходную матрицу:
| х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
| -4 | -6 | |||
| -4 | ||||
| -9 |
Разделим все элементы первой строки матрицы на 7, получим:
| х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
| 5/7 | - 4/7 | - 6/7 | 3/7 | |
| -4 | ||||
| -9 |
Умножим все элементы первой строки матрицы на 4 и просуммируем с элементами второй строки, результат вычислений запишем во вторую строку:
| х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
| 5/7 | - 4/7 | - 6/7 | 3/7 | |
| 9 6/7 | -1 2/7 | - 3/7 | 6 5/7 | |
| -9 |
Умножим все элементы первой строки матрицы на 9 и просуммируем с элементами третьей строки, результат вычислений запишем в третью строку:
| х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
| 5/7 | - 4/7 | - 6/7 | 3/7 | |
| 9 6/7 | -1 2/7 | - 3/7 | 6 5/7 | |
| 16 3/7 | -2 1/7 | - 5/7 | 10 6/7 |
Все элементы второй строки разделим на 9 6/7:
| х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
| 5/7 | - 4/7 | - 6/7 | 3/7 | |
| - 3/23 | - 1/23 | 47/69 | ||
| 16 3/7 | -2 1/7 | - 5/7 | 10 6/7 |
Все элементы второй строки умножим на -16 3/7 и складываем с элементами третьей строки:
| х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
| 5/7 | - 4/7 | - 6/7 | 3/7 | |
| - 3/23 | - 1/23 | 47/69 | ||
| - 1/3 |
Ранг матрицы системы равен: r(A) = 2; ранг расширенной матрицы (вместе со столбцом свободных членов) r(A1)=3, т. е. r(A)≠r(A1); следовательно система уравнений несовместна, т. е. не имеет решений.
Метод Крамера.
Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
Решение:
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы.
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе 
последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов
Тогда можно доказать следующий результат.
 |
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.
- 331
Определитель системы не равен нулю, следовательно, система уравнений имеет единственное решение.
Найдем решение системы уравнений:
Матричные уравнения
Решить матричное уравнение, вычисляя обратную матрицу, сделать проверку.
Решение:
Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
 |
Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
 |
Рассмотрим матрицу системы
и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов
.
Найдем произведение
т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде
или короче A∙X=B.
Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.
Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A:
.
Поскольку A-1A = E и E ∙ X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.
Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.
В нашем случае матричная запись системы уравнений будет выглядеть следующим образом: X∙A=B, а решение матричного уравненияполучаем в виде X = B∙ A-1.
Вычислим обратную матрицу А-1.
Определитель матрицы
Система совместна и имеет единственное решение.
Вычислим союзную матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы А.
Союзная матрица 
.
Транспонируя союзную матрицу, находим к матрице А присоединенную матрицу.
Присоединенная матрица 
.
Вычислим обратную матрицу по формуле: 
. Получим следующий результат:
.
Найдем X = B∙ A-1, выполнив умножение матриц B∙ A-1.
Матрица - математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение) между ним и другими подобными объектами.
Умножение матриц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения называется произведением матриц. Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором, в этом случае говорят, что форма матриц согласована.
Вычислим элементы матрицы |Х|:
x1,1 = b1,1 ∙ a1,1 + b2,1 ∙ a1,2 + b3,1 ∙ a1,3
x1,2 = b1,2 ∙ a1,1 + b2,2 ∙ a1,2 + b3,2 ∙ a1,3
x1,3 = b1,3 ∙ a1,1 + b2,3 ∙ a1,2 + b3,3 ∙ a1,3
x2,1 = b1,1 ∙ a2,1 + b2,1 ∙ a2,2 + b3,1 ∙ a2,3
x2,2 = b1,2 ∙ a2,1 + b2,2 ∙ a2,2 + b3,2 ∙ a2,3
x2,3 = b1,3 ∙ a2,1 + b2,3 ∙ a2,2 + b3,3 ∙ a2,3
x3,1 = b1,1 ∙ a3,1 + b2,1 ∙ a3,2 + b3,1 ∙ a3,3
x3,2 = b1,2 ∙ a3,1 + b2,2 ∙ a3,2 + b3,2 ∙ a3,3
x3,3 = b1,3 ∙ a3,1 + b2,3 ∙ a3,2 + b3,3 ∙ a3,3
| x1,1 = | ∙ | + | ∙ | (-3) | + | ∙ | = | + | (-6) | + | = | |||||||||||||||||||||||||
| x1,2 = | ∙ | (-2.5) | + | ∙ | + | ∙ | (-1.5) | = | -2.5 | + | + | (-4.5) | = | |||||||||||||||||||||||
| x1,3 = | ∙ | 0.5 | + | ∙ ( | -1) | + | ∙ | 0.5 | = | 0.5 | + | (-2) | + | 1.5 | = |
| x2,1 = | ∙ | + | ∙ | (-3) | + | ∙ | = | + | (-12) | + | = |
| x2,2 = | ∙ | (-2.5) | + | ∙ | + | ∙ | (-1.5) | = | -5 | + | + | (-9) | = |
| x2,3 = | ∙ | 0.5 | + | ∙ | (-1) | + | ∙ | 0.5 | = | + | (-4) | + | = |
| x3,1 = | ∙ | + | ∙ | (-3) | + | ∙ | = | + | (-18) | + | = |
| x3,2 = | ∙ | (-2.5) | + | ∙ | + | ∙ | (-1.5) | = | -7.5 | + | + | (-13.5) | = |
| x3,3 = | ∙ | 0.5 | + | ∙ | (-1) | + | ∙ | 0.5 | = | 1.5 | + | (-6) | + | 4.5 | = |
Результирующая матрица:.
Выполним проверку, подставив в формулу X∙A=B значения │Х│ и │А│. В результате выполненного умножения матриц должна получится матрица │В│.
Вычислим элементы матрицы |B|:
b1,1 = x1,1 ∙ a1,1 + x1,2 ∙ a2,1 + x1,3 ∙ a3,1
b1,2 = x1,1 ∙ a1,2 + x1,2 ∙ a2,2 + x1,3 ∙ a3,2
b1,3 = x1,1 ∙ a1,3 + x1,2 ∙ a2,3 + x1,3 ∙ a3,3
b2,1 = a2,1 ∙ b1,1 + a2,2 ∙ b2,1 + a2,3 ∙ b3,1
b2,2 = a2,1∙ b1,2 + a2,2 ∙ b2,2 + a2,3 ∙ b3,2
b2,3 = a2,1∙ b1,3 + a2,2 ∙ b2,3 + a2, 3 ∙ b3,3
b3,1 = a3,1 ∙ b1,1 + a3,2 ∙ b2,1 + a3,3 ∙ b3,1
b3,2 = a3,1 ∙ b1,2 + a3,2 ∙ b2,2 + a3,3 ∙ b3,2
b3,3 = a3,1 ∙ b1,3 + a3,2 ∙ b2,3 + a3,3 ∙ b3,3
| b1,1 = | ∙ | + | ∙ | + | ∙ | = | + | + | = |
| b1,2 = | ∙ | + | ∙ | + | ∙ | = | + | + | = |
| b1,3 = | ∙ | + | ∙ | + | ∙ | = | + | + | = |
| b2,1 = | ∙ | + | ∙ | + | ∙ | = | + | + | = |
| b2,2 = | ∙ | + | ∙ | + | ∙ | = | + | + | = |
| b2,3 = | ∙ | + | ∙ | + | ∙ | = | + | + | = |
| b3,1 = | ∙ | + | ∙ | + | ∙ | = | + | + | = |
| b3,2 = | ∙ | + | ∙ | + | ∙ | = | + | + | = |
| b3,3 = | ∙ | + | ∙ | + | ∙ | = | + | + | = |
Результирующая матрица:. Как показывают расчет, задача решена верно.