Тригонометрия.
I. Логико–математический анализ
А) Ранее изученный материал
Знакомство с тригонометрическими функциями начинается в курсе геометрии 8 класса, когда изучаются понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла через отношение сторон. В 9 классе происходит знакомство с основным тригонометрическим тождеством и связью между данными функциями для одного и того жеугла.
Б) Теоретический материал темы
1. Тригонометрические формулы
Радианная мера угла.
Поворот точки вокруг начала координат
Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Тригонометрическая окружность.
Знаки синуса, косинуса и тангенса
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Тригонометрические тождества
Синус, косинус и тангенс углов а и –а. Четность и нечетность.
Формулы приведения
Формулы сложения
Синус, косинус и тангенс двойного угла
Формулы понижения степени
Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов
Тригонометрические функции
Свойства функции у = cos x и её график
Свойства функции у = sin x и её график
Свойства функции у = tg x и её график
Обратные тригонометрические функции
2. Тригонометрические уравнения и неравенства.
Методы изучения
А) Простейшие (стандартные уравнения). Частные случаи.
Б) Уравнения, сводящиеся к простейшим
В) Однородные уравнения
Методы решения
А) Преобразования, приводящие уравнение к простейшим.
Б) Решение полученных уравнений с помощью тригонометрической окружности, формулы
С) Применение изученного материала
Для решения задач:
-на доказательство
-на построение
-на вычисления
-преобразование выражений
-решение уравнений и неравенств
Применение в курсе стереомтрии.
Применение в курсе физики при изучении таких тем как баллистика, механическая работа, электромагнитное поле, геометрическая и волновая оптика и др.
Математический аппарат при изучении астрономии.
D) Основные методы изучения материала
- постоянная связь с геометрией
- доказательный (вывод и доказательство формул)
- дедуктивный
- установление взаимосвязей между функциями
II. Место раздела в учебном плане
Курс тригонометрии изучается в 10 классе.
III. Цели изучения курса тригонометрии.
Образовательные цели:
- овладение системой знаний и умений в области тригонометрии, необходимых для продолжения образования и применения в практической деятельности.
Развивающие цели:
- развитие алгоритмической культуры;
- развитие математической культуры
- развитие критичности мышления, математической интуиции, логического мышления.
Воспитательные цели:
- воспитание интереса к математике, стремления к использованию математических знаний (в частности, знаний в области тригонометрии) в повседневной жизни,
- воспитание средствами математики культуры личности, отношения к математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.
III. Примеры учебных и математических задач.
1. Задачи на вычисление
2. Задачи на доказательство
3. Преобразование выражений
4. Построение графиков
5. Уравнения
6. Неравенства
Применение в астрономии
Расстояние до ближайшей звезды а Центавра D = 206 265": 0,75" = 270 000 а. е. Свет проходит расстояние до а Центавра за 4 года, тогда как от Солнца до Земли он идет только 8 мин а от Луны около 1 с.
Учебные задачи
1. Познакомиться с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенсы и их взаимосвязью.
2. Познакомиться с тригонометрическими функциями, их графиками и свойствами.
3. Научиться применять полученный теоретический материал при решении различных задач, в том числе и на других предметах.
Основные положения методики
В изучении тригонометрических функций в школе можно выделить два основных этапа:
Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями углового аргумента в курсе геометрии (8-9 класс).
Систематизация и расширение знаний о тригонометрических функциях в курсе алгебры и начал анализа (10-11 класс).
Изучение новых математических понятий и определений.
1. Радианная мера угла
2. Единичная (тригонометрическая окружность)
3. Определения синуса, косинуса и тангенса и их взаимосвязь
4. Тригонометрические формулы
5. Тригонометрические функции их графики и свойства
Понятие об обратных тригонометрических функциях и некоторые математические операции с ними рассматриваются только в связи с необходимостью решения уравнений и неравенств.
6. Уравнения и неравенства
Изучение материала происходит в виде лекционных и практических занятий, на которых полученная теоретическая подготовка должна находить практическое применение при решении задач из различных областей школьного образования.
Основные трудности
- тяжелое осмысление понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса введенного с помощью единичной окружности
- большой объем материала, новых понятий и определений (формулы)
- трудность вызывает понятие периодичности функции
- при решении уравнений и неравенств, не подходят многие преобразования применяемые в других разделах.