Перейдем к рассмотрению случая, когда старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя.
Пример 8
Найти неопределенный интеграл.
Совершенно очевидно, что данная дробь является неправильной: 
Основной метод решения интеграла с неправильной дробно-рациональной функций – это деление числителя на знаменатель. Да-да, делить будем столбиком, как самые обычные числа в школе.
Напоминаю алгоритм. Сначала рисуем «заготовку» для деления:
ВСЕ недостающие степени (и (или) свободные члены) без пропусков записываем в ОБОИХ многочленах с нулевыми коэффициентами.
Теперь маленькая задачка, на какой множитель нужно умножить 
, чтобы получить 
? Очевидно, что на 
:
Далее умножаем сначала на , потом – на 
, потом – на 
, потом – на 0 и записываем результаты слева:
Проводим черточку и производим вычитание (из верха вычитаем низ):
Старшая степень остатка 
равна двум, старшая степень делителя 
– больше, она равна трём, значит, больше разделить не удастся. Если бы изначально у нас был в числителе многочлен пятой степени, то то алгоритм деления увеличился бы на один шаг.
Итак, наше решение принимает следующий вид:
Делим числитель на знаменатель:
(1) Что дало деление? Много хорошего: теперь у нас два слагаемых, первое – интегрируется совсем просто, а второе – правильная дробь, которую мы решать уже умеем.
После деления всегда желательно выполнять проверку.
В рассматриваемом примере можно привести к общему знаменателю 
, и в результате получится в точности исходная неправильная дробь 
(2) От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель дроби раскладываем на множители
Дальше всё идет по накатанной схеме:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Готово.
И, наконец, заключительный пример для самостоятельного решения. Он очень интересен, рекомендую всем!
Пример 9
Найти неопределенный интеграл.
Только что обратил внимание, что во всех примерах урока в ходе решения систем у нас получались «хорошие» целые коэффициенты 
. По той причине, что почти все интегралы я взял из сборника Рябушко. На практике же, когда автор методички придумает какой-нибудь корявый интеграл, часто будут появляться разные нехорошести.
Таким образом, если в ходе решения интеграла от дробно-рациональной функции у Вас получаются дробные значения коэффициентов , то в этом нет ничего страшного, ситуация даже обыденна.
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Комментарий: в правой части у нас нет слагаемого с 
, поэтому в первом уравнении системы ставим справа ноль.
Пример 4: Решение:
Пример 1
Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями 
, 
вокруг оси 
.
Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости 
необходимо построить фигуру, ограниченную линиями , , при этом не забываем, что уравнение задаёт ось . Как рациональнее и быстрее выполнить чертёж, можно узнать на страницах Графики и свойства Элементарных функций и Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры. Это китайское напоминание, и на данном моменте я больше не останавливаюсь.
Чертёж здесь довольно прост:
Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси . В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка, которая симметрична относительно оси . На самом деле у тела есть математическое название, но в справочнике что-то лень смотреть, поэтому едем дальше.