МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Самарский государственный технический университет»
В г. Сызрани
__________________________________________________________________
Кафедра «Информатика и системы управления»
Лабораторная работа
«ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ»
По дисциплине
«Теоретические основы автоматизированного управления»
Вариант 6
Выполнил студент гр. ЭВМБЗ-402
Чертов К. В.
Проверил доц. Дремов Ф. В.
Сызрань 2015г.
Цель работы: Приобретение и закрепление навыков применения преобразования Лапласа для расчета переходных режимов в системах автоматического управления.
Общие сведения о преобразовании Лапласа
Преобразование Лапласа является основой операторных методов анализа переходных и установившихся режимов в автоматических системах.
Интегральное преобразование вида
(1)
является прямым преобразованием Лапласа, а интегральное преобразование
, t > 0 (2)
называется обратным преобразованием Лапласа.
В выражениях (1) 
(2) функция 
является оригиналом, F(s) – изображением оригинала, 
- комплексная переменная.
Для наиболее используемых функций изображения по Лапласу получены (см. приложение, табл.1). Более полный список функций и их изображений можно найти в специальной литературе.
Для перехода от дифференциального уравнения к операторному уравнению используют свойства линейности преобразования Лапласа и правило получения изображений производных:
, (3)
, (4)
где 
- начальные условия.
В частном случае для первой, второй и третьей производных имеем следующие выражения:
(5)
(6)
. (7)
Задание. Записать в операторной форме дифференциальное уравнение
при начальных условиях 
.
Применяя к обеим частям уравнения преобразование Лапласа, получим
или с учетом значений начальных условий
.
Далее операторное уравнение разрешают относительно Y(s):
= 
= 
. (*)
Получение решения в функции времени сводятся к применению обратного преобразования Лапласа (2). В общем случае это очень сложная задача. Поэтому в инженерной практике упрощают ее путем разложения выражения
,
на элементарные (простейшие) дроби.
Здесь ki – кратность полюса si, причем k1+k2+…+kl=n – порядок A(s),
Если корни знаменателя (полюсы) простые, то разложение имеет следующий вид:
,
где ri – коэффициенты определяемые с помощью вычетов;
.
Если имеется полюс si кратности ki, то разложение на простые дроби включает члены
.
Формула вычетов имеет следующий вид:
. (8)
Если полюса простые, то выражение (8) значительно упрощается:
. (9)
Если полюса si имеет кратность равную двум, то вычет
.
Определение вычетов, особенно, для кратных корней является довольно трудоемкой процедурой. Поэтому в MATLAB для решения задачи разложения операторного выражения на простые дроби используется специальная функция residue(). Она имеет следующий синтаксис:
[r, p, q]= residue(b, a),
где r – вектор-столбец вычетов, p – вектор-столбец полюсов, q – целая часть;
b, a – соответственно массивы коэффициентов полиномов числителя и знаменателя F(s).
Решим рассматриваемый пример с применением данной функции:
>> A=conv([1 0 9], [1 10 16])
A =
1 10 25 90 144
>> B=[1 4 9]
B =
1 4 9
>> [r,p,q]=residue(B,A)
r =
-0.0936
0.0148 - 0.0632i
0.0148 + 0.0632i
0.0641
p =
-8.0000
0.0000 + 3.0000i
0.0000 - 3.0000i
-2.0000
q =
[]
Таким образом, получено разложение, которое можно переписать в следующем виде
=
= 
=
= 
=
= 
По этому выражению, используя таблицу преобразования Лапласа (см. Приложение), можно записать выражение для y(t):
y(t) = -0.0936 
+0.0641 
+0.0296cos(3t)+0.1264sin(3t)
По полученному соотношению можно построить график переходного процесса, создав m-файл в виде сценария (script) следующего содержания:
>> t = 0:0.01:3;
>> y = -0.0936*exp(-8*t)+0.0641
*exp(-2*t)+0.0296*cos(3*t)+0.1264*sin(3*t);
>> plot(t, y, 'k'), grid on
Результат выполнения данного сценария приведен на рис.1.
Рис. 1.
Для получения решения д.у., систем д.у. в MatLab удобно использовать функцию
ilaplace (F(s), t),
где F(s), - изображение решения.
Имея изображение решения (*) д.у. можем сразу получить решение и его график используя следующие команды MatLab:
>> syms a b s t Y;
>> Y = (s^2+4*s+9)/((s^2+9)*(s^2+10*s+16))
Y =
(s^2 + 4*s + 9)/((s^2 + 9)*(s^2 + 10*s + 16))
>> y = ilaplace (Y, t)
y =
(28*cos(3*t))/949 + 5/(78*exp(2*t)) - 41/(438*exp(8*t)) + (120*sin(3*t))/949
>> t = 0:0.1:3;
>> y = -41/438*exp(-8*t)+28/949*cos(3*t)+120/949*sin(3*t)+5/78*exp(-2*t)
>> plot(t, y); grid on;
Рис.2.
Вывод: Приобрели и закрепили навыки применения преобразования Лапласа для расчета переходных режимов в системах автоматического управления.