Вопросы к экзамену по математике. 1 курс.
Множество действительных чисел.
1. Множества и операции над ними. Подмножества.
2. Натуральные и целые числа. Рациональные числа.
3. Множество действительных чисел. Десятичные приближения действительных чисел.
4. Приближенные вычисления и погрешности приближений.
5. Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Системы уравнений и неравенств
1. Квадратные уравнения. Уравнения с одним неизвестным.
2. Уравнения и системы уравнений с двумя неизвестными. Правила преобразования систем уравнений.
3. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Геометрическая иллюстрация решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
4. Определители второго порядка. Свойства определителей второго порядка. Формулы Крамера.
5. Матрицы и определители третьего порядка. Свойства определителей третьего порядка.
6. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
7. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
8. Неравенства с одним неизвестным. Линейные неравенства.
9. Квадратные неравенства.Неравенства с модулем.
10. Рациональные неравенства.Системы неравенств.
11. Понятие о задачах линейного программирования.
Функции. Последовательности. Пределы.
1. Понятие функции. Числовые функции. Область определения и множество значений функции.
2. Способы задания функции.Функция, обратная к данной.Сложная функция.
3. Четные и нечетные функции. Функции общего вида. Периодические функции. Монотонные функции.
4. Построение графиков функций.Простейшие преобразования графика функции.
5. Числовые последовательности. Монотонные последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности.
6. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся числовые последовательности.
7. Предел функции в точке. Теорема о единственности предела.Основные теоремы о пределах.
8. Пределы функции при х→±∞. Бесконечный предел функции.Изучение односторонних пределов.
9. Непрерывные функции. Точки разрыва.
Элементарные функции.
1. Арифметические корни. Основные свойства арифметического корня n-ой степени.
2. Степень с рациональным показателем. Степень с действительным показателем.
3. Логарифмы. Основные свойства логарифмов.
4. Показательная функция. Основные свойства показательной функции.
5. Логарифмическая функция. Основные свойства логарифмической функции.
6. Степенная функция. Основные свойства степенной функции.
7. Построение графиков показательной, логарифмической и степенной функции.
8. Показательные уравнения. Логарифмические уравнения.
9. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства.
10. Радианное измерение углов и дуг. Синус и косинус действительного числа. Тангенс и котангенс действительного числа.
11. Знаки значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
12. Тригонометрические функции и их простейшие свойства.
13. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов.
14. Формулы приведения. Таблица формул приведения.
15. Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов.
16. Свойства и графики функций y=sin x и y=cos x.
17. Свойства и графики функций y=tg x и y=ctg x.
18. Обратные тригонометрические функции. Функция арксинус и ее график.мФункция арккосинус и ее график.
19. Функции арктангенс и арккотангенс и их графики. Значения арктангенса и арккотангенса.
20. Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Уравнения, однородные относительно sin x и cos x.
Дифференциальное исчисление
1. Производная функции. Непрерывность дифференцируемой функции.
2. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.
3. Производная сложной и обратной функций.
4. Производные элементарных функций. Производная показательной и логарифмической функции.
5. Производная степенной функции. Производная тригонометрических функций. Таблица основных производных.
6. Производная обратных тригонометрических функций. Производные высших порядков.
7. Определение касательной и нормали к кривой. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой.
8. Приложение производной к исследованию возрастания и убывания функции. Исследование экстремумов функций.
9. Построение графиков функций с использованиемпонятия производной.
10. Применение производной к решению физических задач.
Векторы на плоскости.
1. Векторы. Угол между векторами. Сумма векторов.
2. Противоположные векторы. Разность векторов. Умножение вектора на число.
3. Коллинеарные векторы. Разложение вектора на плоскости.
4. Базис на плоскости. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
5. Ортогональный базис. Длина вектора, заданного координатами в ортогональном базисе.
6. Прямоугольная декартова система координат. Координаты вектора. Длина вектора.
7. Скалярное произведение двух векторов. Свойства скалярного произведения.
8. Угол между векторами.
9. Полярная система координат.
Прямые и плоскости в пространстве.
1. Основные аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом.
2. Перпендикулярные прямые в пространстве.
3. Трехгранные и многогранные углы. Пирамида.
4. Параллельность прямых в пространстве. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.
5. Параллельность плоскостей в пространстве. Свойства параллельных сечений пирамиды.
6. Призма. Параллелепипед.
7. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная к плоскости.
8. Теорема о трех перпендикулярах. Двухгранные углы. Перпендикулярность плоскостей.
9. Правильные многогранники.
10. Высота пирамиды, усеченной пирамиды и призмы.
11. Ортогональная проекция фигур. Проекция фигуры. Площадь проекции многоугольника.