Обобщенное плоское напряженное состояние

Рассмотрим тонкую пластину толщиной 2h (рис. 9.1), нагружен­ную только по ее контуру поверхностными силами t₁ и t₂, симметрич­ными относительно срединной плоскости пластины, с которой совме­щена координатная плоскость Ох₁х₂. При таком нагружении пластины в ее внутренних точках все компоненты тензора напряжений, вообще говоря, будут отличны от нуля и должны удовлетворять трем однородным уравнениям равновесия (принимается, что массовые силы f₁ = f₂ = f₃= 0):

(9.1)

(9.2)

Однако по условию нагружения на торцовых плоскостях пласти­ны,

т. е. во всех точках (х₁, х₂, ± h), должно быть

(9.3)

Отсюда, в частности, следует, что во всех точках (х₁, х₂ ± h)

(9.4)

поэтому из уравнения равновесия (9.2) для этих точек получим

(9.5)

Рис.9.1

По формуле Тейлора разложим функцию (х₁, х₂, х₃)в ряд по х₃, при фиксированных значениях х₁ и х₂:

(х₁, х₂, х₃)=

Учитывая (9.3) и (9.5), имеем

(х₁, х₂, х₃)= (9.6)

Следовательно, для тонкой пла­стины компонента весьма ма­ла и с достаточным приближе­нием можно считать = 0 во всех точках пластины.

Остальные компоненты тензо­ра напряжений представим их средними значениями по формуле

(9.7)

По условию, пластина нагружена симметрично относительно ее срединной плоскости, поэтому компоненты — четные функ­ции относительно x₃ компоненты и — нечетные. Отсюда выте­кает, что средние значения компонент и равны нулю:

(9.8)

Таким образом, при замене компонент тенора напряжений их средними значениями отличными от нуля и независимыми от х₃ будут только три компоненты (i = 1, 2; j = 1, 2), т. е. при осреднении компонент тензора напряжений рассматриваемая пластина приближенно будет находиться в плоском напряженном состоянии, кото­рое принято называть обобщенным плоским напряженным состоянием.

Поскольку , уравнения равновесия при ис­пользовании средних значений принимают вид

(9.9)

а соотношения закона Гука будут следующими:

(9.10)

где - постоянная, определяемая равенствами (7.10);

(9.11)

(9.12)

Так как среднее значение компонент тензора напряжений не зависят от x₃, то уравнения равновесия (9.9) можно удовлетворить введением фукции Эри Ф(x₁, x₂):

(9.13)

Функция должна подчиняться условиям совместности Бельтрами, а функция Эри, следовательно, должна быть бигармонической.

Граничные условия для функции Ф(x₁, x₂) на контуре L пластины выражаются равенствами

(9.14)

где

(9.15)

Если на контуре L заданы не внешние силы, а перемещения т. е.
граничные условия

(9.16)

то в этом случае задачу удобнее решать в перемещениях, используя
уравнения равновесия Ламе, которые для задачи о плоской деформации имеют вид

(9.17)

а для задачи о плоском напряженном состоянии

(9.18)

где постоянная на основании соотношений (7.10)

(9.19)

Из сопоставления основных уравнений задачи о плоской деформа­ции с соответствующими уравнениями задачи об обобщенном плавком напряженном состоянии видно, что они математически, идентичны. Заменив в уравнениях первой задачи компоненты и их средними значениями по формуле типа (9.7) а коэффициент Ламе λ — постоянной λ*, определяемой равенствами (7.10), получим уравнения второй задачи. Эти две различные по содержанию задачи сводятся к одной и той же бигармонической краевой задаче, ко­торая называется плоской задачей теории упругости.

Приведем еще формулы закона Гука, определяющие деформации
по компонентам тензора напряжений. || *^

В случае плоского напряженного состояния имеем

получим

(9.20)

В случае плоской деформации

найдем:

(9.21)

где

(9.22)

Формулы закона Гука для плоского напряженного состояния и
для плоской деформации можно привести соответственно к следующим видам:

(9.23)

(9.24)

В дальнейшем рассматривается, как правило, задача о плоской де­формации, при этом не имеющий значения размер тела вдоль оси х₃ принимается равным единице длины. Имея решение задачи о плоской деформации, путем указанной замены получим решение соответствую­щей задачи об обобщенном плоском напряженном состоянии при тех же граничных условиях.