КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНООГО ОБУЧЕНИЯ.
«Устойчивость линейных систем».
1. Цель работы:
1.1. Изучить алгебраические критерии устойчивости.
1.2. Изучить частотные критерии устойчивости.
2. Общие сведения.
Критериями устойчивости называют признаки, позволяющие определить знак корней характеристического уравнения, то есть решить вопрос устойчивости, не находя самих корней.
Существуют следующие критерии устойчивости линейных систем:
1) Алгебраические критерии устойчивости:
- критерий Гурвица;
- критерий Рауса;
- критерий Вышнеградского.
2) Частотные критерии устойчивости:
- критерий Найквиста;
- критерий Михайлова.
Критерий Гурвица.
Составляем характеристическое уравнение системы,
а0 > 0
a0 рn + a1 рn-1 + … + an-1 р + an = 0
Затем составляем систему определителей:
Для того, чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при а0 > 0 все определители Гурвица были больше нуля:
| 
| |
Следствием будет являться необходимое условие устойчивости:
ai > 0 – коэффициенты характеристического уравнения
Отрицательность коэффициентов однозначно указывает на неустойчивость системы.
Критерий Михайлова.
Характеристическое уравнение системы, а0 > 0
a0 рn + a1 рn-1 + … + an-1 р + an = 0
Составляется вектор Михайлова:
M(jω) = a0 (jω) n + a1 (jω) n-1 + … + an = U(ω) + j V(ω)
Система будет устойчивой, если годограф Михайлова (рис. 2), начинаясь с положительной вещественной полуоси будет описан вектором, вращающимся в положительном направлении, нигде не обращающемся в нуль и последовательно проходящем n квадрантов, где n – степень характеристического уравнения.
Критерий Найквиста.
Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по КЧХ разомкнутой системы
Рис. 1. Структурная схема замкнутой системы с обратной связью.
Строится КЧХ разомкнутой системы. Если разомкнутая система устойчива или нейтральна и ее КЧХ при изменении частоты
Рис.2. Годограф Михайлова.
от 0 до ¥ не охватывает в комплексной плоскости точку
(-1; j0), то замкнутая система устойчива.
Охватываемой областью считается область, лежащая справа от КЧХ при движении по ней в сторону увеличения частоты. Это область замкнута при рассмотрении -¥ < ω < ¥.
Рис.3. КЧХ разомкнутой системы.
Задание к контрольной работе.
Замкнутая система автоматического регулирования (САР) состоит из трех последовательно соединенных звеньев (см. рис 1). Второе звено охвачено местной обратной связью, где:
W1(p) - колебательное звено (электрический двигатель постоянного тока, центробежный маятник, электромашинный усилитель поперечного поля, контур RLC и т.п.), W2(p) - апериодическое звено (термопары, электрические генераторы и двигатели, цепи RL и RC и т.п.), W3(p) - интегрирующее звено (поршневой гидравлический сервомотор, двигатель с независимым возбуждением и т.п.), W4(p) - безинерционное звено (усилитель, рычаг и т.п.) с передаточными функциями:
W1(p) = k1/(Т12 p2 + Т2 p + 1);
W2(p) = k2/(Т3 p + 1);
W3(p) = k3/p;
Wос(p) = k4.
Определить устойчивость системы по критерию Гурвица и по критерию Михайлова.
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ПРИВЕДЕНЫВ ТАБЛИЦЕ 1.
ТАБЛИЦА 1.
| № варианта | k1 | k2 | k3 | k4 | Т12 | Т2 | Т3 | Примечание |
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ:
W1(p) = 4/(6p2 + 10p + 1);
W2(p) = 16/(7 p + 1);
W3(p) = 10/p;
Wос(p) = 15.
1. Определяем передаточную функцию второго звена, охваченного обратной связью:
W2ос(p) = W2(p)/(1 + W2(p) Wос(p)) =
= (16/(7 p + 1))/(1 + (16/(7 p + 1)*15) = 16/(7 p + 241)
2. Определяем передаточную функцию разомкнутой системы:
Wраз(p) = W1(p) W2(p) W3(p) = (4/(6p2 + 10p + 1))*(16/(7 p + 1)* 10/p = 640/(42р4 + 76р3 + 17р2 + р);
3. Определяем передаточную функцию замкнутой системы:
Wзам(p) = Wраз(p)/(1 + Wраз(p)) =
= (640/(42р4 + 76р3 + 17р2 + р))/(1+ 640/(42р4 + 76р3 + 17р2 + р)) =
= 640/(42р4 + 76р3 + 17р2 + р + 640);
4. Определяем характеристическое уравнение для замкнутой САР.
(знаменатель Wзам(p), приравненный к нулю):
42р4 + 76р3 + 17р2 + р + 640 = а0р4 + а1р3 + а2р2 + а3р + а4 = 0, где:
а0 = 42;
а1 = 76;
а2 = 17;
а3 = 1;
а4 = 640.
5. Составляем определитель Гурвица.
Все коэффициенты от а1 до а4 располагаются по главной диагонали в порядке возрастания индексов. Вверх от главной диагонали в столбцах записываются коэффициенты характеристического уравнения с последовательно возрастающими, а вниз – с убывающими индексами. На месте коэффициентов, индексы которых больше 4, и меньше, чем нуль, проставляются нули.
Составляем определитель из коэффициентов характеристического уравнения:
Δ4 = а1 а3 а5 а7 = 76 1 0 0
а0 а2 а4 а6 42 17 640 0
0 а1 а3 а5 0 76 1 0
0 а0 а2 а4 0 42 17 640
6. Находим величины второго и предпоследнего (третьего) определителей Гурвица:
Δ2 = а1 а3 = а1*а2 – а0*а3 = 76 1 = 76*17 – 1*42 = 1250 > 0
а0 а2 42 17
Δ3 = а1 а3 а5 = 76 1 0
а0 а2 а4 42 17 640
0 а1 а3 0 76 1 =
= 76*(17*1 – 640*76) – 1*(42*1) = - 3695390
Δ3 < 0
7. По критерию Гурвица система устойчива только тогда, когда все коэффициенты характеристического уравнения и все определители Гурвица до (n – 1) порядка больше нуля.
8. Вывод: т.к. Δ3 < 0, то САР неустойчивая.
9. Подбираем коэффициент а2 таким, чтобы САР была устойчива:
76*(а2*1 – 640*76) – 1*(42*1) > 0
а2 > (1*(42*1) + 76*76*640)/1*76 = 48640.6
10. При а2 > 48640.6 САР будет устойчивой.
Определяем устойчивость по критерию Михайлова:
1.Имеем характеристический полином (знаменатель передаточной функции замкнутой САР):
М(р) = 42р4 + 76р3 + 17р2 + р + 640.
2. Заменяем в этом полиноме оператор р на (jω) и выделяем действительную и мнимую части полученного выражения:
М(р) = 42р4 + 76р3 + 17р2 + 1р + 640 =
= 42(jω) 4 + 76(jω) 3 + 17(jω) 2 + (jω) + 640 =
= 42(ω) 4 – j76(ω) 3 - 17(ω) 2 + j (ω) + 640 =
= ((ω) 2*(42(ω) 2 – 17) + 640) - j(ω)*(76*(ω)2 - 1))
3. Отсюда, действительная часть:
Re(ω) = (ω) 2*(42(ω) 2 – 17) + 640
4. Мнимая часть:
Im(ω) = (jω)*(- 76*ω2 - 1).
5. Задавая значения частоты от нуля до бесконечности в (рад/с), находим значения действительной и мнимой частей вектора Михайлова (см. табл. № 1).
Таблица № 1.
| ω | 0.1 | 0.5 | 0.64 | ∞ | |||||
| Re(ω) | 639.83 | 638.38 | ∞ | ||||||
| Im(ω) | - 0.176 | - 10 | - 20.56 | - 77 | - 610 | - 76010 | - ∞ |
6. По данным табл. № 1 на рис. 2. строим годограф Михайлова.
7. Вывод:
По критерию Михайлова, т.к. годограф Михайлова не проходит последовательно квадранты комплексной плоскости, то
САР не устойчивая.
5. Контрольные вопросы.
1. Сформулируйте критерий Гурвица.
2. Устойчивость каких систем возможно определить с помощью критериев Михайлова и Найквиста?