Локальная теорема Муавра-Лапласа и формула Пуассона

Оглавление

Оглавление. 1

Вступление. 2

Биография Абрахам де Муавр. 3

Локальная теорема Муавра-Лапласа и формула Пуассона. 6

Список литературы.. 9

 

Вступление

Абрахам де Муавр внес значительный вклад в развитие аналитической тригонометрии и теории вероятностей. Есть легенда, согласно которой Муавр точно предсказал день собственной смерти: он обнаружил, что продолжительность его сна стала увеличиваться в арифметической прогрессии, и легко вычислил, когда она достигнет 24 часов, и, как всегда, не ошибся…

 

 

Биография Абрахам де Муавр

Родился 26 мая 1667 года во Франции в недворянской семье врача-гугенота; частицу де перед своей фамилией он добавил по собственной инициативе. В 11 лет поступил в Протестанскую академию в Седане, где успел проучиться 4 года, затем чего академия была запрещена властями (1682). Муавр продолжил образование в Сомюре (2 года). Вероятно, в это время он познакомился с теорией вероятностей по трудам Гюйгенса.

Далее примерно года Муавр слушал лекции по физике и математике в Париже, но в 1685 году Людовик XIV официально отменил Нантский эдикт, возобновились притеснения протестантов, а сам Муавр попал в тюрьму. Подробности его заключения неизвестны, но так или по-другому, он вынужден был оставить родину.

В 1688 году он осел в Лондоне, где и прожил всю оставшуюся бытие. На бытие зарабатывал частным преподаванием. Вскоре Муавр стал известен как одаренный математик, при всем при том как иноземец не имел никаких шансов на кафедру в английском учебном заведении. Религиозная дискриминация сменилась национальной.

Незадолго до его приезда вышла книжка Ньютона «Математические начала натуральной философии» в трёх томах. Она так увлекла Муавра, что он разобрал её по листам и стабильно носил с собой очередную порцию для чтения, чтобы не лишаться времени при переездах от одного ученика к другому.

1692: познакомился с Галлеем, а сквозь него — с Ньютоном. Вскоре они стали близкими друзьями. Ньютон отчаянно приподнято ценил Муавра. Если доверять сплетням той поры, Ньютон выпроваживал посетителей, досаждавших ему мелкими делами математического характера, с помощью следующей фразы: «Идите к де Муавру, он разбирается в этом лучше меня». Муавр ещё все время помогал Ньютону в издании и редактировании трудов (в особенности «Оптики»).

1695: опубликован первостепеннный работа Муавра по анализу, «Метод флюксий».

1697: Муавр избран членом Лондонского королевского общества.

1710: участвует в комиссии, разбиравшей приоритетный спор Ньютона с Лейбницем.

1718: публикует свой основной работа по теории вероятностей: «The Doctrine of Chance: A method of calculating the probabilities of events in play». Книга вызвала здоровенный заинтересованность и выдержала 3 издания.

1722: публикует формулу Муавра.

1724: вероятностно-статистическое изыскание «Annuities on lives» (переиздано четырежды).

1730: Муавр возвращается к анализу и публикует работа «Miscellanea Analytica», где впервой появляется формула Стирлинга.

По легенде, Муавр метко предсказал день собственной смерти. Обнаружив, что продолжительность его сна стала увеличиваться в арифметической прогрессии; он несложно вычислил, когда она достигнет 24 часов, и, как вечно, не ошибся.

Научная занятие

Муавр открыл (1707) формулу Муавра для возведения в уровень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

Он основополагающий стал применять возведение в уровень бесконечных рядов.

Ему и Дж. Стирлингу принадлежит асимптотическое представление факториала, носящее наименование формулы Стирлинга.

Помимо анализа, Муавр внёс немалый вклад в теорию вероятностей. Доказал приватный случаи теоремы Лапласа. Провёл вероятностное изыскание азартных игр и ряда статистических данных по народонаселению. Кроме нормального, он использовал равномерное распределение. Для дискретного случая использовал и сильно исследовал последовательности, названные им рекуррентными (возвратными). Большинство результатов де Муавра были вскоре перекрыты трудами Лапласа; уровень возможного влияния де Муавра на Лапласа неясна.

Член Лондонского королевского общества (1697), Парижской (1754) и Берлинской (1735) академий.

 

Локальная теорема Муавра-Лапласа и формула Пуассона

Если вероятность наступления события А в каждом испытании по­стоянна, то вероятность того, что в n независимых испытаниях оно состоится т раз, при любом числе испытаний n определяется формулой Бернулли. Во всех рассмотренных примерах число испыта­ний было небольшим. Если же число испытаний велико, то вычисле­ния искомых вероятностей по формуле Бернулли становятся очень громоздкими.

Например, если вероятность поражения мишени при одном выстре­ле равна 0,4, то вероятность того, что при 600 выстрелах мишень бу­дет поражена 250 раз, согласно формуле Бернулли можно получить формальный ответ. Но нахождение численного значения его даже с помощью таблиц логарифмов связано с серьезными труд­ностями. Кроме того, вычисления оказываются неточными, так как при сложении логарифмов, которые являются приближенными чис­лами, ошибка накапливается. Поэтому, когда число испытаний вели­ко, для нахождения вероятностей, нецелесообразно применять формулу Бернулли. Нужны формулы, по которым достаточно точные значения вероятностей находились бы при сравнительно неслож­ных вычислениях. Поставленная задача имеет положительное реше­ние. Такими формулами являются формулы Муавра — Лапласа и Пу­ассона,

Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточ­но велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна:

.

где функция f(x) определяется равенством:

.

Формула называется формулой Муавра — Лапласа. С воз­растанием n относительная точность значений вероятностей, по­лучаемых по ней, возрастает. В этом и заключается содержание ло­кальной теоремы Муавра — Лапласа.

Для упрощения расчетов, связанных с применением формулы, составлена таблица значений функции f(x). Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду свойства функции, а именно:

1. Функция f(х) является четной, т. е. f (-х) = f (х). Поэтому в таблице приведены значения функции лишь для положительных значений аргумента.

2. Функция f(х) — монотонно убывающая при положительных зна­чениях х. Предел f(х) при равен нулю.

3. Если х > 5, то можно считать, что . Функция f(х) уже при х = 5 очень мала: f(5) =0,0000015. Поэтому таблица значений функции f(х) не продолжена для значений х > 5.

Пример. Найти вероятность того, что при 600 выстрелах мишень будет поражена 250 раз, если вероятность поражения мишени при одном выстреле рав­на 0,4.

Решение. P=f(0.833)/12=0.0235.

Пример. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероят­ность того, что из 200 новорожденных будет 95 девочек.

Решение. Поскольку необходимо найти вероятность того, что будет 95 девочек, то в формулах через р должна обозначаться вероятность рождения девочки, при этом р = 1—0,515 == 0,485. При n = 200, р == 0,485 и q = 0,515 значение х, соответствующее m= 95, равно –0,283. По таблице находим, что f(0,283) = 0,3833. Поэтому окончательно имеем: P=0.3833/7.068=0.054.

 

Если вероятность р наступления события в отдельном испытании близка к нулю, то даже при большом числе испытаний т, но при не­большой величине произведения np, получаемые по формуле Муав­ра — Лапласа значения вероятностей оказываются недостаточ­но точными и возникает потребность в другой приближенной форму­ле для таких случаев.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каж­дом испытании постоянна, но мала, число независимых испытаний n достаточно велико, но произведение остается небольшим, то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит m раз,

.

Формула называется формулой Пуассона. Для упрощения расчетов, связанных с применением ее, составлена таблица значений функции Пуассона.

Пример. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется пять нестан­дартных.

Решение. Здесь n = 1000, р = 0,004, а = nр = 1000 • 0,004= 4. Все три числа удовлетворяют требованиям только что доказанной теоремы, а по­этому для нахождения вероятности искомого события применяем фор­мулу Пуассона. По таблице значений функции Пуассона при =4 и m = 5 сразу получаем: P=0,1563.

 

 

Список литературы

1. https://newsland.com/news/detail/id/374931/?marketgid=pay

2. https://www.people.su/77122

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Муавр,_Абрахам_де

4. https://zfdasoa.ho.ua/matemat/text1.html

5. https://turboreferat.ru/statistics/vklad-uchenyh-v-raz..