Задача1.1.
| Масса груза и диска  , радиус диска  , жесткость пружин  . Длины пружин в ненапряжённом состоянии  . Считать, что расстояние между крайними точками крепления пружин  .
1. Составить уравнения малых колебаний системы около положения равновесия.
2. Записать решение уравнений колебаний.
3. Найти коэффициенты гармонического влияния.
В качестве обобщённых координат выбрать абсолютные координаты  груза и центра масс диска.
|
Решение.
1. Уравнения малых колебаний.
Если пренебречь размерами груза, то текущие длины пружин (слева направо) 
.
Их удлинения: 
.
Потенциальная энергия пружин
.
В положении равновесия первые производные равны нулю, уравнения равновесия
,
Решение уравнений равновесия определяет значения обобщённых координат в положении равновесия
.
Вторые производные потенциальной энергии в положении равновесия
.
Матрица жесткостей, равная 
, положительно определена.
Кинетическая энергия 
.
Матрица инерции для вектора переменных 
равна 
Уравнения малых колебаний для отклонений от положения равновесия 
В матричной форме 
, или 
, где матрица системы
, 
- оператор дифференцирования по времени.
2. Решение уравнений малых колебаний.
Характеристическое уравнение
.
Корни характеристического уравнения
.
Замечание 1: в случае устойчивой консервативной системы, когда матрица жесткостей положительно определена, следует записывать частотное уравнение
.
Решение частотного уравнения определяет собственные частоты колебаний
.
Общее решение уравнений малых (линейных) собственных колебаний устойчивой консервативной системы с двумя степенями свободы имеет вид
,
Для определения модальных столбцов 
запишем матрицу 
, присоединённую к матрице системы 
.
Подставляя в присоединённую матрицу значения собственных частот 
, получим
Замечание 2:
Обратите внимание на то, что модальные столбцы записаны без постоянного для всех элемента множителя 
. Это упрощает дальнейшие выкладки.
Замечание 3:
Знаки элементов модального столбца 
одинаковы, что свидетельствует о том, что колебания с первой, меньшей частотой – синфазные, противоположные знаки элементов модального столбца 
говорят о том, что колебания со второй частотой происходят в противофазе.
Окончательно, решение уравнений будет
Константы 
имеют размерность метра.
3. Гармонические коэффициенты влияния.
Модальная матрица системы (матрица, составленная из модальных столбцов)
.
Обратите внимание на то, что эта матрица не особая, 
Приведённые массы 
положительны
Нормированная модальная матрица
.
В соответствии с данной на лекции формулой 
, где 
элементы 
-го столбца 
-ой и 
-ой строк соответственно, гармонические коэффициенты влияния равны
Коэффициент 
равен с точностью до множителя амплитуде колебаний по первой обобщённой координате, если возбуждение происходит по первой же обобщённой координате и амплитуда гармонического возмущения равна 1. В данной задаче это означает, что к грузу приложена сила 
, а 
.
Амплитуда вынужденных колебаний по первой обобщённой координате при возмущении по первой обобщённой координате, согласно лекционному материалу, равна 
. Размерность равна 
, при умножении на ньютон получим метр, что отвечает размерности амплитуды обобщённой координаты 
.
Если частота возмущения 
равна 
, амплитуда вынужденных колебаний по первой обобщённой координате равна нулю. Несложно убедиться в том, что частота антирезонанса лежит между собственными частотами.
Коэффициент 
равен с точностью до множителя амплитуде колебаний по второй обобщённой координате, если возбуждение происходит по второй же обобщённой координате и амплитуда гармонического возмущения равна 1. Если частота возмущения равна 
, амплитуда вынужденных колебаний по второй обобщённой координате равна нулю.
Коэффициент 
равен с точностью до множителя амплитуде колебаний по первой обобщённой координате, если возбуждение происходит по второй обобщённой координате и амплитуда гармонического возмущения равна 1. Или наоборот: амплитуде колебаний по второй обобщённой координате, если возбуждение происходит по первой обобщённой координате. Антирезонансные частоты отсутствуют.
Ниже приведены характерные графики 
Задача 1.2. (отличается от предыдущей задачи выбором обобщённых координат)
| Масса груза и диска  , радиус диска  , жесткость пружин  . Длины пружин в ненапряжённом состоянии  . Считать, что расстояние между крайними точками крепления пружин  , размерами груза пренебречь.
1. Составить уравнения малых колебаний системы около положения равновесия.
2. Записать решение уравнений колебаний
3. Найти коэффициенты гармонического влияния.
В качестве обобщённых координат выбрать  - координату груза,  - угол поворота диска (против часовой стрелки). Считать, что при напряжённых пружинах угол  равен нулю.
|
Решение.
1. Уравнения малых колебаний.
Удлинения пружин (слева направо): 
.
Потенциальная энергия пружин
.
В положении равновесия первые производные 
равны нулю, уравнения равновесия
,
Решение уравнений равновесия определяет значения обобщённых координат в положении равновесия
.
Вторые производные потенциальной энергии в положении равновесия
.
Матрица жесткостей, равная
,
положительно определена.
Кинетическая энергия 
.
Матрица инерции для вектора переменных 
: 
.
Уравнения малых колебаний для отклонений от положения равновесия 
Или в матричной форме 
, или 
, где матрица системы
, 
- оператор дифференцирования по времени.
2. Решение уравнений малых колебаний.
Частотное уравнение
.
Решение частотного уравнения определяет собственные частоты колебаний
.
Для определения модальных столбцов 
запишем матрицу 
, присоединённую к матрице системы 
.
Подставляя в присоединённую матрицу значения собственных частот 
, получим
Замечание 4:
Обратите внимание, что элементы модальных столбцов имеют разную размерность. И это естественно, так как первая координата линейная, а вторая угловая, и размерности элементов модальных столбцов вполне этому соответствуют.
Замечание 5:
Знаки элементов модального столбца 
противоположны, что свидетельствует о том, что колебания с первой, меньшей частотой при таком выборе обобщённых координат – противофазные, одинаковые знаки элементов модального столбца 
говорят о том, что колебания со второй частотой – синфазные.
Решение уравнений имеет вид
Константы 
безразмерные.
3. Гармонические коэффициенты влияния.
Модальная матрица системы (матрица, составленная из модальных столбцов)
.
Приведённые массы 
положительны
Нормированная модальная матрица
.
В соответствии с данной на лекции формулой 
, где 
элементы 
-го столбца 
-ой и 
-ой строк соответственно, гармонические коэффициенты влияния равны
Коэффициент 
равен с точностью до множителя амплитуде колебаний по первой обобщённой координате, если возбуждение происходит по первой же обобщённой координате и амплитуда гармонического возмущения равна 1. В данной задаче это означает, что к грузу приложена сила 
, а 
.
Амплитуда вынужденных колебаний по первой обобщённой координате при возмущении по первой обобщённой координате, согласно лекционному материалу, равна 
. Размерность равна 
, при умножении на ньютон получим метр, что отвечает размерности амплитуды обобщённой координаты 
.
Если частота возмущения 
равна 
, амплитуда вынужденных колебаний по первой обобщённой координате равна нулю. Несложно убедиться в том, что частота антирезонанса лежит между собственными частотами.
Коэффициент 
равен с точностью до множителя амплитуде колебаний по второй обобщённой координате, если возбуждение происходит по второй же обобщённой координате и амплитуда гармонического возмущения равна 1. В данной задаче это означает, что к диску приложен момент 
, а 
.
Амплитуда вынужденных колебаний по второй обобщённой координате при возмущении по второй обобщённой координате, согласно лекционному материалу, равна 
. Размерность равна 
, при умножении на 
, получим безразмерную величину, что отвечает размерности амплитуды обобщённой координаты 
.
Если частота возмущения равна 
, амплитуда вынужденных колебаний по второй обобщённой координате равна нулю.
Коэффициент 
равен с точностью до множителя амплитуде колебаний по первой обобщённой координате, если возбуждение происходит по второй обобщённой координате и амплитуда гармонического возмущения равна 1. Или наоборот: амплитуде колебаний по второй обобщённой координате, если возбуждение происходит по первой обобщённой координате. Антирезонансные частоты отсутствуют.
Если к диску приложен момент , , то амплитуда вынужденных колебаний по первой обобщенной координате (амплитуда колебаний груза) равна 
. Размерность 
равна 
, при умножении на , получим величину, имеющую размерность метра, что отвечает размерности амплитуды обобщённой координаты 
.
Задача 2. (неустойчивая консервативная система)
| Рассматриваются колебания около вертикали перевёрнутого маятника с подвижной точкой подвеса. Масса груза и точечной массы на конце невесомого стержня длины  равны  , жесткость пружин  . Длины пружин в ненапряжённом состоянии  . Считать, что расстояние между крайними точками крепления пружин  , размерами груза пренебречь.
1. Составить уравнения малых колебаний системы около положения равновесия.
2. Записать решение уравнений колебаний
В качестве обобщённых координат выбрать  - координату груза,  - угол отклонения маятника (против часовой стрелки).
|
Решение.
1. Уравнения малых колебаний.
Удлинения пружин (слева направо): 
.
Потенциальная энергия пружин 
. Потенциальная энергия силы тяжести 
. Итого 
.
В положении равновесия первые производные 
равны нулю, уравнения равновесия
,
Верхнему положению равновесия соответствуют значения обобщённых координат
.
Вторые производные потенциальной энергии в положении равновесия
.
Матрица жесткостей, равная
,
не является положительно определенной.
Кинетическая энергия системы равна 
, где 
квадрат скорости точечной массы, причем
Тогда кинетическая энергия 
.
Матрица инерции (переменная) для вектора переменных 
:
.
Для составления линейных уравнений берём матрицу инерции 
в положении равновесия
.
Уравнения малых колебаний для отклонений от положения равновесия 
Или в матричной форме 
, или 
, где матрица системы
.
2. Решение уравнений малых колебаний.
Характеристическое уравнение
.
Или
Квадраты корней характеристического уравнения, как и следовало ожидать, действительны и имеют различные знаки
.
Значит, имеем пару мнимых корней и пару действительных противоположных знаков
В данном случае общее решение уравнений малых (линейных) собственных колебаний имеет вид
,
Для определения модальных столбцов 
запишем матрицу 
, присоединённую к матрице системы 
.
Подставляя в присоединённую матрицу значения квадратов корней характеристического уравнения 
, получим
Например, если допустить, что 
, то квадраты корней характеристического уравнения и модальные столбцы будут
Общее решение уравнений имеет вид
Константы 
безразмерные.
2. Домашнее задание
Задача.
| Масса груза и диска  , радиус диска  , жесткость пружин  . Длины пружин в ненапряжённом состоянии . Считать, что расстояние между крайними точками крепления пружин  , размерами груза пренебречь.
1. Составить уравнения малых колебаний системы около положения равновесия.
2. Записать решение уравнений колебаний
3. Найти коэффициенты гармонического влияния.
В качестве обобщённых координат выбрать абсолютную координату груза  и относительную координату  центра диска.
|
3. Исправление результатов тестирования. Для тех, кто писал тест.
В этих задачах составить инерционную матрицу и матрицу жесткостей. Построить решение системы. Результаты выслать. Я выбрала работы, в которых было допущено много ошибок и двойки, конечно.
ВАРИАНТ 1 Клинков
Составить инерционную матрицу и матрицу жесткостей. Найти собственные частоты.
Моменты инерции дисков  ; крутильные жесткости валов  .
В качестве обобщенных координат выбрать абсолютные углы  поворота дисков. Угловая скорость второго диска  .
|
ВАРИАНТ 2 Дай Цяо
Составить инерционную матрицу и матрицу жесткостей. Найти собственные частоты.
Моменты инерции , крутильные жесткости валов .
В качестве обобщенных координат выбрать угол  поворота первого диска и угол поворота  второго диска относительно первого.
|
ВАРИАНТ 3 Гриневич
Составить инерционную матрицу и матрицу жесткостей. Найти собственные частоты.
Массы грузов  и  ; жесткости пружин .
В качестве обобщенных координат выбрать абсолютные координаты  грузов.
|
ВАРИАНТ 4 Зацепин
Составить инерционную матрицу и матрицу жесткостей. Найти собственные частоты.
Моменты инерции дисков: первый  , второй  ; крутильные жесткости валов  .
В качестве обобщенных координат выбрать абсолютные углы поворота дисков.
|
ВАРИАНТ 5 Беленов
Составить инерционную матрицу и матрицу жесткостей. Найти собственные частоты.
Массы грузов  , жесткости пружин  .
В качестве обобщенных координат выбрать координату  первого груза и координату  второго груза относительно первого. Скорость второго груза 
|
ВАРИАНТ 6 Камаламба
Составить инерционную матрицу и матрицу жесткостей. Найти собственные частоты.
Моменты инерции дисков: первый , второй ; крутильные жесткости валов .
В качестве обобщенных координат выбрать угол поворота первого диска и угол поворота  второго диска относительно первого.
|
ВАРИАНТ 8 Нэту
Составить инерционную матрицу и матрицу жесткостей. Найти собственные частоты.
Массы грузов , жесткости пружин  .
В качестве обобщенных координат выбрать абсолютные координаты грузов.
|
ВАРИАНТ 9 НевскийДопущены ошибки при решении частотного уравнения
Составить инерционную матрицу и матрицу жесткостей. Найти собственные частоты.
Массы диска и груза , радиус диска  , жесткости пружин  .
В качестве обобщенных координат выбрать координату груза и координату  центра диска относительно груза.
|
ВАРИАНТ 10 Шаграй
Составить инерционную матрицу и матрицу жесткостей. Найти собственные частоты.
Массы диска и груза , радиус диска , жесткости пружин .
В качестве обобщенных координат выбрать координату  груза и угол  поворота диска.
|
ВАРИАНТ 11 Лущенко
Составить инерционную матрицу и матрицу жесткостей. Определить условие устойчивости положения равновесия. Найти собственные частоты.
Стержни невесомые длины  , точечные массы на концах стержней , жесткости пружин  .
В положении равновесия маятники занимают вертикальное положение, пружины не напряжены.
В качестве обобщенных координат выбрать углы  отклонения маятников.
|
ВАРИАНТ 12 Шестаков
Составить инерционную матрицу и матрицу жесткостей. Определить условие устойчивости положения равновесия. Найти собственные частоты.
Стержни невесомые длины , точечные массы на концах стержней , жесткости пружин .
В положении равновесия маятники занимают вертикальное положение, пружины не напряжены.
В качестве обобщенных координат выбрать углы отклонения маятников.
|
ВАРИАНТ 13 Малышев
Составить инерционную матрицу и матрицу жесткостей. Определить условие устойчивости положения равновесия. Найти собственные частоты.
Стержень невесомый длины , масса груза и точечной массы на конце стержня  , жесткости пружин . В положении равновесия маятник занимает вертикальное положение, пружины не напряжены.
В качестве обобщенных координат выбрать координату груза и угол отклонения маятника.
|
ВАРИАНТ 15 Носенко
Составить инерционную матрицу и матрицу жесткостей. Определить условие устойчивости положения равновесия. Найти собственные частоты.
Стержень невесомый длины , масса груза и точечной массы на конце стержня , жесткости пружин . В положении равновесия маятник занимает вертикальное положение, пружины не напряжены.
В качестве обобщенных координат выбрать координату груза и угол отклонения маятника.
|
ВАРИАНТ 17 Назаркин
Составить инерционную матрицу и матрицу жесткостей. Определить условие устойчивости положения равновесия. Найти собственные частоты.
Стержень невесомый длины , масса груза и точечной массы на конце стержня , жесткости пружин . В положении равновесия маятник занимает вертикальное положение, пружины не напряжены.
В качестве обобщенных координат выбрать координату груза и угол отклонения маятника.
|