Скалярное произведение векторов

Линейные действия над векторами

1. n -мерным вектором называется упорядоченный набор из n вещественных чисел a ₁, a ₂, …, a_n, называемых координатами или компонентами вектора .

= (a ₁, a ₂, …, a_n) – координатная форма записи вектора .

Иногда векторы записываются в виде упорядоченных столбцов (векторы-столбцы): .

Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым вектором: = (0, 0, …, 0). При записи нулевого вектора стрелка часто опускается. Записи и = 0 – эквивалентны.

Векторы удобно представлять (особенно в двух- и трехмерных пространствах) в виде направленных отрезков. Если А (х ₁, х ₂, …, х_n) – начало, а В (у ₁, у ₂, …, у_n) – конец вектора , то = (y ₁ – x ₁, y ₂ – x ₂,…, y_n – x_n).

2. Вектор = (a ₁, a ₂, …, a_n) равен вектору = (b ₁, b ₂, …, b_n), если a ₁ = b ₁, a ₂ = b ₂,…, a_n = b_n. Последнее часто кратко записывают так: a_i = b_i, i = .

3. Произведение вектора = (a ₁, a ₂, …, a_n) на скаляр (число) k есть вектор k = (ka ₁, ka ₂, …, ka_n). Векторы и k , если , называются коллинеарными. Вектор = (– a ₁, – a ₂, …, – a_n) называется противоположным вектору .

4. Условие коллинеарности векторов = (a ₁, a ₂, …, a_n) и = (b ₁, b ₂, …, b_n): .

5. Сумма векторов = (a ₁, a ₂, …, a_n) и = (b ₁, b ₂, …, b_n) есть вектор + = (a ₁ + b ₁, a ₂ + b ₂, …, a_n + b_n); разность векторов и есть вектор – = (a ₁ – b ₁, a ₂ – b ₂, …, a_n – b_n).

6. Линейной комбинацией векторов ₁, ₂, …, _m называется вектор k _{1 1} + k _{2 2} + …+ k_{m m}; при этом числа k ₁, k ₂, …, k_m называются коэффициентами линейной комбинации.

7. Векторы ₁, ₂, …, _m называются линейно зависимыми, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных или, что то же самое, если существуют числа k ₁, k ₂, …, k_m, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что k _{1 1} + k _{2 2} + …+ k_{m m} = 0.

Векторы ₁, ₂, …, _m называются линейно независимыми, если равенство k _{1 1} + k _{2 2} + …+ k_{m m} = 0 возможно только при k ₁ = k ₂ = …= k_m = 0 или, что то же самое, если ни один из векторов не является линейной комбинацией остальных.

8. Если А (х ₁, у ₁, z ₁) и В (х ₂, у ₂, z ₂) – концы отрезка АВ, а точка М (х, у, z) делит этот отрезок в отношении , то координаты этой точки:

; ; .

Если М (х, у, z) – середина отрезка АВ, то и

, , .

Скалярное произведение векторов

1. Скалярным произведением векторов = (a ₁, a ₂, …, a_n) и = (b ₁, b ₂, …, b_n) называется число, обозначаемое × или (, ), равное сумме произведений одноименных координат:

(, ) = × = a ₁× b ₁ + a ₂× b ₂ + … + a_n × b_n.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

(, ) = (, );

( + , ) = (, ) + (, );

(k ₁ , k ₂ ) = k ₁ k ₂(, ).

2. Под длиной вектора понимается число, обозначаемое a или , равное: .

3. Расстояние между точками А (a ₁, a ₂, …, a_n) и В (b ₁, b ₂, …, b_n) определяется как длина вектора :

.

4. Углом между векторами и называется угол , косинус которого определяется равенством: .

5. Для скалярного произведения векторов справедливо равенство:

.

6. Векторы и называются ортогональными (перпендикулярными), если .

 

3. Векторное произведение векторов (в R³)

1. Векторным произведением векторов и называется такой вектор который:

а) перпендикулярен каждому из векторов и ;

б) направлен так, что если смотреть с его конца, то поворот первого вектора (т. е. вектора ) ко второму (т. е. к вектору ) на кратчайший угол проходит против часовой стрелки;

в) длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, т. е. .

Для векторного произведения векторов и используется также обозначение .

2. Основные свойства векторного произведения векторов:

а) ,

б) ,

в) ,

г) если векторы и коллинеарны, то . В частности, .

3. Если векторы и заданы в координатной форме: = (a ₁, a ₂, a ₃), = (b ₁, b ₂, b ₃), то

.

Для вычисления векторного произведения векторов удобно пользоваться следующей таблицей:

4. Площадь параллелограмма S_{парал .}, построенного на векторах и численно равна длине вектора :

.

5. Площадь треугольника S_треуг., построенного на векторах и :

.

4. Смешанное произведение векторов (в R³)

1. Смешанным произведением векторов , и называется число, обозначаемое и определяемое формулой:

.

2. Объем параллелепипеда (), построенного на векторах , и определяется формулой: .

3. Объем пирамиды , построенной на векторах , и :

.

4. Условие компланарности векторов , и :

.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Решение типових задач

Пример 1. Записать в координатной форме вектор , если А (2, 1, –3), В (5, –2, 4).

Решение. = (5 – 2, –2 – 1, 4 – (–3)) = (3, –3, 7).

 

Пример 2. Коллинеарны ли векторы = (4, –1, 3) и = (8, –2, –6)?

Решение. Так как , , , то . Следовательно, векторы и не коллинеарны.

 

Пример 3. Даны точки А (2, –1, 4), В (х, 2, 1), С (3, y, –1) и D (–1, 3, –2). При каких значениях х и у векторы и будут коллинеарными?

Решение. = (х – 2, 3, –3), = (–4, 3 – у, –1). Эти векторы будут коллинеарными при условии, что . Следовательно, должны выполняться равенства:

Пример 4. А (3, –1, 2), В (–2, 3, 4) и С (1, 2, –3) – три последовательные вершины параллелограмма АВСD. Найти координаты вершины D.

Решение. Обозначим координаты вершины D через х, у и z. Рассмотрим векторы = (–5, 4, 2) и = (1 – х, 2 – у, –3 – z).

Так как векторы и равны, то

D (6, –2, –5).

 

Пример 5. Даны векторы = (2, 3, –4, 1) и = (–1, 2, 2, –3). Найти

вектор = 2 –3 .

Решение. = 2 –3 = (4, 6, –8, 2) + (3, –6, –6, 9) = (7, 0, –14, 11).

 

Пример 6. Показать, что векторы ₁ = (1, 0, 0, 0), ₂ = (1, 2, 0, 0),

₃ = (1, 2, 3, 0) и ₄ = (1, 2, 3, 4) линейно независимы.

Решение. Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее

нулю: k _{1 1} + k _{2 2} + k _{3 3} + k _{4 4} = (k ₁, 0, 0, 0) + (k ₂, 2 k ₂, 0, 0) +

+ (k ₃, 2 k ₃, 3 k ₃, 0) + (k ₄, 2 k ₄, 3 k ₄, 4 k ₄) =

= (k ₁ + k ₂ + k ₃ + k ₄, 2 k ₂ + 2 k ₃ + 2 k ₄, 3 k ₃ + 3 k ₄, 4 k ₄) = 0,

 

Так как линейная комбинация этих векторов обращается в нуль только при условии k ₁ = k ₂ = k ₃ = k ₄ = 0, то векторы ₁, ₂, ₃, ₄ – линейно независимы.

 

Пример 7. Даны точки А (2, –3, 1) и В (12, 7, 11). Найти точку М (х, у, z),

делящую отрезок АВ в отношении .

Решение. В нашем случае . Следовательно:

; ; .

Значит, М (6, 1, 5).

 

Пример 8. Предприятие выпускает четыре вида продукции. Производственные мощности предприятия позволяют выпускать в сутки 300 ед. продукции первого вида, 460 ед. продукции второго, 540 ед. третьего и 260 ед. четвертого вида. После проведенной модернизации производства производственные мощности предприятия увеличились на 20%. Сколько единиц каждого вида продукции в состоянии выпускать предприятие после реконструкции?

Решение. Запишем объем суточного выпуска (до реконструкции) всех видов продукции в виде вектора = (300, 460, 540, 260). Так как после реконструкции производственные мощности предприятия увеличились на 20%, то предприятие увеличило суточный выпуск продукции в 1,2 раза. Следовательно, объем выпуска каждого вида продукции может быть получен как

1,2× = 1,2×(300, 460, 540, 260) = (360, 552, 648, 312).

Значит, после реконструкции предприятие в состоянии выпускать 360 ед. продукции первого вида, 552 ед. – второго, 648 ед. – третьего и 312 ед. четвертого вида.

Пример 9. Вычислить скалярное произведение векторов = (2, –1, 0, 3, –5) и = (1, 2, 4, –3, 2).

Решение.

.

 

Пример 10. Вычислить скалярное произведение (, ), если , , m = 1, n = 2, .

Решение. Используя свойства скалярного произведения, получаем:

 

Пример 11. Найти длину вектора = (3, 2, 1, –1, –1).

Решение. .

 

Пример 12. Найти длину вектора , если m = 2, n = 3, .

Решение. Вычислим .

Следовательно, .

 

Пример 13. Есть ли среди векторов ₁ = (2, –1, 3, 0, 2), ₂ = (1, 1, 2, 4, –1) и ₃ = (0, 2, –1, 1, 4) ортогональные?

Решение. Вычислим скалярные произведения этих векторов:

; ;

. Векторы ₂ и ₃ ортогональные.

 

Пример 14. Найти угол между векторами = (2, –1, 2) и = (2, 4, 4).

Решение. Найдем косинус угла между векторами и :

.

Следовательно, .

 

Пример 15. Найти длины сторон треугольника АВС и угол Ð ВАС, зная координаты его вершин: А (3, –5, 2), В (4, –6, 2), С (4, –7, 4).

Решение. Введем в рассмотрение векторы:

= (4 – 3, –6 – (–5), 2 – 2) = (1, –1, 0),

= (4 – 3, –7 – (–5), 4 – 2) = (1, –2, 2),

= (4 – 4, –7 – (–6), 4 – 2) = (0, –1, 2).

Находим длины сторон треугольника:

, ,

.

Угол Ð ВАС = образован векторами и . Поэтому,

.

Следовательно, .

Пример 16. Вычислить векторное произведение векторов = (2, –1, 3) и = (3, 2, –4).

Решение.

.

 

Пример 17. Вычислить векторное произведение векторов и .

Решение. Используя свойства векторного произведения векторов получаем: .

Так как , то

.

 

Пример 18. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах = (–3, 2, 5) и = (1, 3, –2).

Решение. Сначала вычислим векторное произведение векторов и :

.

.

 

Пример 19. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и , если m = 1, n = 2, .

Решение. .

Так как , то .

.

 

Пример 20. Найти площадь треугольника АВС, если известны координаты его вершин: А (1, –1, 2), В (–3, 2, –1), С (4, 2, 1).

Решение. Можно считать, что треугольник АВС построен на векторах и . Вычислим векторное произведение этих векторов: .

Теперь найдем площадь треугольника АВС:

.

Пример 21. Вычислить смешанное произведение векторов = (2, –1, 3), = (1, 4, –2) и = (–3, 2, 5).

Решение. Сначала вычислим векторное произведение векторов и :

.

Теперь вычислим смешанное произведение векторов , и :

.

 

Пример 22. А (3, –2, 5), В (1, 3, –2), С (0, 1, 1) и D (–4, 0, –3) – вершины пирамиды АВСD. Найти ее объем.

Решение. Можно считать, что пирамида АВСD построена на векторах , и . Вычислим векторное произведение векторов и :

,

а затем смешанное произведение векторов , и :

.

Теперь найдем объем пирамиды АВСD:

.

 

Пример 23. Лежат ли точки А (3, –1, 2), В (–2, 2, 5), С (1, 4, 2) и D (0, 1, –2) в одной плоскости?

Решение. Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то векторы , и – компланарны. В этом случае смешанное произведение векторов должно быть равным нулю. Вычислим смешанное произведение векторов , и :

,

.

Следовательно, векторы , и не компланарны и, значит, точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.

 

ЗАДАНИЯ

1.1. Найти вектор :

а) k = 2, = (2, –1, 3, 0, 4); г) k = 0,5, = (2, 3, 4, 0, –1);

б) k = –3, = (–3, 0, 2, –1, 5); д) k = 2,5, = (1,5; 2,3; –0,4; –1,2);

в) k = –1,5, = (4, 1, 0, –2, 3); е) k = –1,3, = (2,1; –1,2; –0,3; 3,4).

 

1.2. Найти вектор :

а) k ₁ = 2, k ₂ = –3, = (–1, 2, 0, 3, 5), = (2, –1, –2, 4, –3);

б) k ₁ = –1, k ₂ = 2, = (5, –1, 2, –4, 3), = (2, 0, 3, –2, 5);

в) k ₁ = –1,5, k ₂ = 2,3, = (2, 0, –1, –2, 4), = (1, –2, 0, 3, –4);

г) k ₁ = 0,3, k ₂ = –2,2, = (3,1; –1,2; 0; 2,5), = (0,4; –1,2; –0,5; 3,1).

 

1.3. Коллинеарны ли векторы и ?

а) = (1, 2, 3), = (–2, –4, 6);

б) = (2, 0, –1), = (–4, 0, 2);

в) = (0, 2, –1, 3), = (0, –6, 3, –9);

г) = (1, –2, 3, 2), = (4, –8, 12, 8).

 

 

1.4. При каких значениях у и z векторы и будут коллинеарными?

а) A (1, 3, 2), B (2, 1, –1), C (3, 2, –2), D (–1, y, z);

б) A (2, y, z), B (–1, 1, 0), C (1, –2, 1), D (0, 2, –1);

в) A (–1, 2, z), B (1, y, 1), C (0, 2, 3), D (5, –2, 1);

г) A (4, 3, 1), B (0, 0, 2), C (3, y, 2), D (–1, 2, z).

 

1.5. Зная координаты трех верших параллелограмма АВСD, найти координаты его четвертой вершины:

а) A (2, –1, 3), B (0, 2, 5), C (3, 1, 2);

б) B (–1, –2, 1), C (4, 1, –2), D (5, 4, 2);

в) A (3, 1, 1), C (2, 3, –4), D (–1, 1, 5);

г) A (4, 2, 0), B (3, 0, –4), D (2, –2, 1).

 

1.6. Найти координаты середин сторон треугольника АВС:

а) A (2, 1, 1), B (0, 3, 5), C (4, –1, 3);

б) A (1, 2, 3), B (7, 4, –1), C (3, –8, 5).

 

1.7. На отрезке АВ найти точку С, делящую отрезок АВ в отношении :

а) A (2, –1, 0), B (5, 2, 3), ; б) A (1, 2, –3), B (6, 7, 2), .

 

1.8. Показать, что векторы , и линейно независимы:

а) = (1, 0, 0), = (0, 1, 0), = (0, 0, 1);

б) = (1, 0, 0), = (1, 1, 0), = (1, 1, 1);

в) = (1, 0, –1, 0), = (0, 1, 0, 2), = (1, 2, 3, 4);

г) = (2, –2, 1, –1), = (1, 0, 2, 0), = (0, 2, –2, 0).

1.9. Вычислить скалярные произведения векторов и :

а) = (2, –5, 4), = (3, 1, 5);

б) = (0, 2, –3), = (–1, 2, –2);

в) = (–1, 2, 1, 0), = (2, 3, –1, 4);

г) = (3, –1, 4, 3), = (–1, 3, –3, 2);

д) = (2, 0, –1, 3, 5), = (1, 5, 4, 2, 3);

е) = (1, 2, 0, 3, –1), = (0, 2, 1, –2, 3).

 

1.10. Вычислить скалярные произведения векторов и :

а) , , m = 1, n = 2, ;

б) , , m = , n = 1, ;

в) , , m = 2, n = , ;

г) , , m = 1, n = 3, .

 

1.11. Есть ли среди векторов ₁, ₂, ₃ и ₄ ортогональные?

а) ₁ = (2, –1, 3, 0), ₂ = (–1, 1, –1, –2), ₃ = (1, –1, –1, 3),

₄ = (2, 1, 1, 0);

б) ₁ = (2, 2, 1, 0), ₂ = (1, –1, 2, 1), ₃ = (0, 1, –1, 1),

₄ = (2, –1, –2, 3);

в) ₁ = (2, 2, 1, 0, 3, –1), ₂ = (–1, 0, 2, 1, –1, 2),

₃ = (2, 3, 1, 2, 2, –4), ₄ = (3, 2, –1, 1, 0, 2).

 

1.12. Найти длины векторов:

а) = (–4, 2, –2, 1); б) = (4, 3, –3, 1);

в) = (3, –1, 1, –1, 2); г) = (–1, 1, 2, –3, 3, –6);

д) = (–1, 3, –1, –3, 0, 3, 5).

 

1.13. Найти угол между векторами и :

а) = (0, 1, –1, 0, 1, 1), = (1, 3, 1, 1, 2, 0);

б) = (3, 2, 1, 1, 1, 0), = (2, 1, –1, 1, 0, –1).

 

1.14. Найти длины сторон и угол А треугольника АВС:

а) A (3, 1, 2), B (5, –1, 3), C (3, 0, 3);

б) A (–1, 2, –2), B (1, 2, 0), C (–1, 1, –1);

в) A (2, 2, –1), B (2, 5, –1), C (6, 2, –1);

г) A (0, 1, 2), B (2, –1, 3), C (0, 2, 1).

 

1.15. На оси 0 z найти точку, равноудаленную от точек А и В:

а) A (1, –2, 1), B (2, 1, 5); б) A (3, –1, 4), B (1, 3, –2).

 

1.16. Вычислить векторное произведение векторов и :

а) = (1, 2, 3), = (–2, 1, 4); б) = (2, –3, 1), = (0, 2, –3);

в) = (1, –1, 2), = (–3, 3, –6); г) = (2, 0, –3), = (–4, 0, 6).

 

1.17. Вычислить векторное произведение векторов и :

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

 

1.18. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

а) = (1, 2, –4), = (3, 0, 1); б) = (1, –3, 1), = (2, –1, 3);

в) = (2, –3, 5), = (1, –1, 3); г) = (3, –1, 5), = (2, –1, 3).

 

1.19. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

а) , , m = 1, n = 1, ;

б) ,