Интегралы. Справочный материал
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Свойства.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
Некоторые неопределенные интегралы.
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
9. 
. 10. 
.
11. 
. 12. 
.
13. 
. 14. 
.
15. 
. 16. 
.
17. 
. 18. 
.
19. 
.
20. 
.
21. 
.
22. 
.
23. 
.
24. 
.
25. 
Задача 1
Интегрирование по частям.
Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл
.
План решения. Пусть 
имеет очевидную первообразную 
, а 
– дифференцируемая функция, причем ее производная 
является более простой функцией, чем . Тогда применяем формулу интегрирования по частям
.
Если метод избран удачно, то интеграл в правой части этого равенства оказывается табличным или известным образом сводится к табличному, например, повторным интегрированием по частям.
Примечание 1. Чаще всего в учебниках и справочных пособиях встречается следующая формула интегрирования по частям (обозначения которой мы и используем в решениях):
.
Примечание 2. В случае определенного интеграла имеем формулу
.
Задача 1. Найти неопределенные интегралы.
Задача 2
Интегрирование по частям.
Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл
.
План решения. Пусть имеет очевидную первообразную , а – дифференцируемая функция, причем ее производная является более простой функцией, чем . Тогда применяем формулу интегрирования по частям
.
Если метод избран удачно, то интеграл в правой части этого равенства оказывается табличным или известным образом сводится к табличному, например, повторным интегрированием по частям.
Примечание 1. Чаще всего в учебниках и справочных пособиях встречается следующая формула интегрирования по частям (обозначения которой мы и используем в решениях):
.
Примечание 2. В случае определенного интеграла имеем формулу
.
Задача 2. Вычислить определенные интегралы.
Задача 3
Интегрирование подведением под знак дифференциала.
Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл
План решения. Пусть имеет очевидную первообразную , а есть функция этой первообразной, т.е. 
. Тогда
.
Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала.
Если метод избран удачно, то последний интеграл оказывается таблицным или известным образом сводится к табличному.
Задача 3. Найти неопределенные интегралы.
Интегрирование подведением под знак дифференциала.
Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл
План решения. Пусть имеет очевидную первообразную , а есть функция этой первообразной, т.е. . Тогда
.
Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала.
Если метод избран удачно, то последний интеграл оказывается таблицным или известным образом сводится к табличному.
Примечание. В случае определенного интеграла все аналогично, только необходимо подставить пределы интегрирования.
Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя.
Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл
.
План решения.
1. Введем обозначения:
,
.
Сравним степени числителя 
и знаменателя 
.
Если подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, т.е. степень числителя 
больше или равна степени знаменателя 
, то сначала выделяем целую часть рациональной функции, поделив числитель на знаменатель:
Здесь многочлен 
– остаток от деления на , причем степень меньше степени .
2. Разложим правильную рациональную дробь
на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые вещественные корни 
, т.е. 
, то разложение на элементарные дроби имеет вид
.
3. Для вычисления неопределенных коэффициентов 
приводим к общему знаменателю дроби в правой части равенства, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях 
в числителях слева и справа. Получим систему уравнений с неизвестными, которая имеет единственное решение.
4. Интегрируем целую часть (если она есть) и элементарные дроби, используя табличные интегралы, и записываем ответ
,
где 
– многочлен степени 
.
Задача 4. Найти неопределенные интегралы.
