Вопрос №1. ЧМ решения задачи на собственные значения и собственные векторы матриц
Постановка задачи. Пусть дана невырожденная квадратная матрица . Требуется найти её собственные значения
и собственные вектора.
Определение. Вектор , удовлетворяющий уравнению
, называется собственным вектором (СВ) матрицы
. Число
называется собственным значением (СЗ). Совокупность собственных значений оператора образует его спектр. Собственное значение и соответствующий собственный вектор образуют собственную пару
.
Свойства СЗ и СВ матрицы
1) Собственные вектора определяются с точностью до множителя: если – собственная пара, то для любой неравной нулю константы
– тоже является собственной парой.
2) Если – собственная пара оператора
, то
– собственная пара оператора
.
3) Если – собственная пара оператора
, то
– собственная пара оператора
.
4) Спектр диагональных и треугольных матриц состоит из диагональных элементов этих матриц.
5) Определитель матрицы равен произведению ее собственных значений.
6) Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям линейно независимы. Кратному собственному значению соответствует от 1 до k линейно независимых собственных векторов. Если матрица имеет полный набор различных собственных значений, то собственные векторы образуют в пространстве базис, в котором матрица оператора имеет диагональный вид.
Определение. с невырожденной матрицей С называется преобразованием подобия, а матрицы F и A называются подобными. Преобразование подобия не изменяет собственных значений матрицы.
Из определения следует, что для определения собственного вектора необходимо найти нетривиальные решения однородного уравнения:
|
- характеристическое уравнение
где - след матрицы
То есть задача нахождения собственных значений матрицы сводится к нахождению корней характеристического уравнения.
![]() | |||||
![]() | ![]() | ||||
Различают полную и частичную (неполную) проблемы решения задачи. В полной определяют все СЗ и соответствующие им СВ. К методам, решающим полную проблему, относятся: метод Данилевского, метод вращений Якоби, метод LU-алгоритма. В неполной находят некоторые СЗ и соответствующие им СВ. К методам, решающим неполную проблему, относятся: степенной метод, обратно степенной метод.
![]() |
Методы нахождения СЗ и СВ бывают точные (прямые) и итерационные. В прямых методах, как правило, строят характеристическое уравнение и, решая его каким-либо известным методом, находят СЗ и по найденным собственным числам находят СВ. Итерационные вычисления носят итерационный характер, не строят характеристическое уравнение, и СЗ находят вместе с СВ. Точные методы решают полную проблему собственных значений. Итерационные методы могут решать как полную, так и частичную проблемы.
Точные методы: метод Данилевского, метод Леверье
Итерационные методы: метод вращений Якоби, степенной метод, метод QR – разложения, метод Стьюрта(Для вычисления группы собственных значений применяются так наз. методы одновременных итераций. Они представляют собой обобщение степенного метода, где вместо итераций одного вектора фактически строятся итерации матрицей А целого подпространства.)
|
Рассмотрим точный метод нахождения СЗ и СВ - метод Данилевского. В его основе лежит понятие преобразования подобия.
Метод А.М. Данилевского
В конце тридцатых годов прошлого века А.М. Данилевским был предложен метод сведения исходной матрицы к нормальной форме Фробениуса
с помощью преобразований подобия вида
с невырожденной матрицей
.
- матрица Фробениуса или нормальная форма Фробениуса.
Поскольку
, то спектры матриц
и
совпадают, но, как было показано выше, характеристический многочлен матрицы Фробениуса легко может быть выписан. Следовательно, задача сводится к нахождению матрицы
.
Данилевский предложил преобразовывать матрицу путем (
) –го преобразования подобия, последовательно преобразуя строки матрицы
, начиная с нижних, в строки матрицы Фробениуса.
Приведем последнюю строку матрицы в строку вида
. Предположим, что разрешающий элемент
, разделим элементы (
) –го столбца матрицы
на
. В этом случае последняя строка примет вид
. Новый (
)–й столбец, умноженный соответственно на числа
,
,
,
вычтем из остальных столбцов матрицы. Данные элементарные преобразования над столбцами матрицы
реализуются умножением справа матрицы
на матрицу
, определитель которой
–
существует и отличен от нуля, при , и, следовательно, существует обратная матрица
. Нетрудно проверить, что
.
Сделаем преобразование подобия . Матрица
будет иметь вид:
. На этом первый шаг преобразования заканчивается.
Второй шаг заключается в приведении предпоследней строки матрицы к виду предпоследней строки матрицы Фробениуса и аналогичен первому шагу в предположении, что
. Матрица
преобразуется:
, где матрицы
и
формируются аналогично. Если все разрешающие элементы отличны от нуля (так называемый регулярный случай), то за
шаг данного процесса, получим форму Фробениуса:
.
|
Здесь . (1)
В нерегулярном случае: пусть сделано шагов преобразования, в результате которых получена матрица
и на
-м шаге метода, в строке с номером
, разрешающий элемент обратился в ноль –
.
Здесь возможны два случая:
1) Левее элемента в строке найдется ненулевой элемент, например
.
Переставим -й и
-й столбцы и, одновременно
-ю и
-ю строки матрицы
. Полученная матрица
будет подобна
. Продолжим применение метода Данилевского для матрицы
.
2) Все элементы -й строки, находящиеся левее элемента
равны нулю.
В этом случае имеем блочно-треугольное представление и
. Но матрица
уже имеет вид Фробениуса и ее характеристический многочлен может быть выписан. Следовательно, необходимо применить метод Данилевского для матрицы
порядка
.
Метод позволяет найти собственные векторы матрицы , не решая СЛАУ
. Собственные векторы
матрицы
и собственные векторы
матрицы Фробениуса
связаны соотношением
, (2)
где определяется формулой (1).
Действительно, . Умножая на матрицу
слева, получим
. Сравнение с формулой
, дает
.
Считая, что собственные значения найдены, найдем собственный вектор
матрицы Фробениуса, соответствующий некоторому собственному значению
.
Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:
.
Из системы видно, что у собственного вектора формы Фробениуса все компоненты не нулевые (в противном случае вектор был бы нулевым, и следовательно, не мог бы быть собственным). Т.к. собственный вектор определяется с точностью до константы, то можно осуществить нормировку вектора так, чтобы его последняя компонента стала равной единице.
Пусть , тогда из последнего уравнения системы получим
, из предпоследнего определим
и т.д. Второе уравнение даст. Т.о., собственный вектор
. Первое уравнение системы при этом должно тождественно выполняться. Это тождество используют для проверки правильности счета.