Свойства СЗ и СВ матрицы




Вопрос №1. ЧМ решения задачи на собственные значения и собственные векторы матриц

 

Постановка задачи. Пусть дана невырожденная квадратная матрица . Требуется найти её собственные значения и собственные вектора.

Определение. Вектор , удовлетворяющий уравнению , называется собственным вектором (СВ) матрицы . Число называется собственным значением (СЗ). Совокупность собственных значений оператора образует его спектр. Собственное значение и соответствующий собственный вектор образуют собственную пару .

 

Свойства СЗ и СВ матрицы

1) Собственные вектора определяются с точностью до множителя: если – собственная пара, то для любой неравной нулю константы – тоже является собственной парой.

2) Если – собственная пара оператора , то – собственная пара оператора .

3) Если – собственная пара оператора , то – собственная пара оператора .

4) Спектр диагональных и треугольных матриц состоит из диагональных элементов этих матриц.

5) Определитель матрицы равен произведению ее собственных значений.

6) Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям линейно независимы. Кратному собственному значению соответствует от 1 до k линейно независимых собственных векторов. Если матрица имеет полный набор различных собственных значений, то собственные векторы образуют в пространстве базис, в котором матрица оператора имеет диагональный вид.

Определение. с невырожденной матрицей С называется преобразованием подобия, а матрицы F и A называются подобными. Преобразование подобия не изменяет собственных значений матрицы.

 

Из определения следует, что для определения собственного вектора необходимо найти нетривиальные решения однородного уравнения:

- характеристическое уравнение

где - след матрицы

То есть задача нахождения собственных значений матрицы сводится к нахождению корней характеристического уравнения.

 

           
   
 
   
 

 


Различают полную и частичную (неполную) проблемы решения задачи. В полной определяют все СЗ и соответствующие им СВ. К методам, решающим полную проблему, относятся: метод Данилевского, метод вращений Якоби, метод LU-алгоритма. В неполной находят некоторые СЗ и соответствующие им СВ. К методам, решающим неполную проблему, относятся: степенной метод, обратно степенной метод.

 

 
 

 


Методы нахождения СЗ и СВ бывают точные (прямые) и итерационные. В прямых методах, как правило, строят характеристическое уравнение и, решая его каким-либо известным методом, находят СЗ и по найденным собственным числам находят СВ. Итерационные вычисления носят итерационный характер, не строят характеристическое уравнение, и СЗ находят вместе с СВ. Точные методы решают полную проблему собственных значений. Итерационные методы могут решать как полную, так и частичную проблемы.

Точные методы: метод Данилевского, метод Леверье

Итерационные методы: метод вращений Якоби, степенной метод, метод QR – разложения, метод Стьюрта(Для вычисления группы собственных значений применяются так наз. методы одновременных итераций. Они представляют собой обобщение степенного метода, где вместо итераций одного вектора фактически строятся итерации матрицей А целого подпространства.)

 

Рассмотрим точный метод нахождения СЗ и СВ - метод Данилевского. В его основе лежит понятие преобразования подобия.

 

Метод А.М. Данилевского

В конце тридцатых годов прошлого века А.М. Данилевским был предложен метод сведения исходной матрицы к нормальной форме Фробениуса с помощью преобразований подобия вида с невырожденной матрицей .

- матрица Фробениуса или нормальная форма Фробениуса.

Поскольку

, то спектры матриц и совпадают, но, как было показано выше, характеристический многочлен матрицы Фробениуса легко может быть выписан. Следовательно, задача сводится к нахождению матрицы .

Данилевский предложил преобразовывать матрицу путем () –го преобразования подобия, последовательно преобразуя строки матрицы , начиная с нижних, в строки матрицы Фробениуса.

Приведем последнюю строку матрицы в строку вида . Предположим, что разрешающий элемент , разделим элементы () –го столбца матрицы на . В этом случае последняя строка примет вид . Новый ()–й столбец, умноженный соответственно на числа , , , вычтем из остальных столбцов матрицы. Данные элементарные преобразования над столбцами матрицы реализуются умножением справа матрицы на матрицу , определитель которой

существует и отличен от нуля, при , и, следовательно, существует обратная матрица . Нетрудно проверить, что .

Сделаем преобразование подобия . Матрица будет иметь вид: . На этом первый шаг преобразования заканчивается.

Второй шаг заключается в приведении предпоследней строки матрицы к виду предпоследней строки матрицы Фробениуса и аналогичен первому шагу в предположении, что . Матрица преобразуется: , где матрицы и формируются аналогично. Если все разрешающие элементы отличны от нуля (так называемый регулярный случай), то за шаг данного процесса, получим форму Фробениуса: .

Здесь . (1)

В нерегулярном случае: пусть сделано шагов преобразования, в результате которых получена матрица и на -м шаге метода, в строке с номером , разрешающий элемент обратился в ноль – .

Здесь возможны два случая:

1) Левее элемента в строке найдется ненулевой элемент, например .

Переставим -й и -й столбцы и, одновременно -ю и -ю строки матрицы . Полученная матрица будет подобна . Продолжим применение метода Данилевского для матрицы .

2) Все элементы -й строки, находящиеся левее элемента равны нулю.

В этом случае имеем блочно-треугольное представление и . Но матрица уже имеет вид Фробениуса и ее характеристический многочлен может быть выписан. Следовательно, необходимо применить метод Данилевского для матрицы порядка .

Метод позволяет найти собственные векторы матрицы , не решая СЛАУ . Собственные векторы матрицы и собственные векторы матрицы Фробениуса связаны соотношением

, (2)

где определяется формулой (1).

Действительно, . Умножая на матрицу слева, получим . Сравнение с формулой , дает .

Считая, что собственные значения найдены, найдем собственный вектор матрицы Фробениуса, соответствующий некоторому собственному значению .

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид: .

Из системы видно, что у собственного вектора формы Фробениуса все компоненты не нулевые (в противном случае вектор был бы нулевым, и следовательно, не мог бы быть собственным). Т.к. собственный вектор определяется с точностью до константы, то можно осуществить нормировку вектора так, чтобы его последняя компонента стала равной единице.

Пусть , тогда из последнего уравнения системы получим , из предпоследнего определим и т.д. Второе уравнение даст. Т.о., собственный вектор . Первое уравнение системы при этом должно тождественно выполняться. Это тождество используют для проверки правильности счета.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: