Момент инерции тел правильной геометрической формы
Момент инерции материальной точки и абсолютно твёрдого тела
| Определение. Произведение массы i -той точки  на квадрат расстояния ( ) от точки до оси называют моментом инерции материальной точки  .
Момент инерции АТТ (тело рассматриваем как систему МТ) относительно оси равен сумме моментов инерции точек, составляющих АТТ  .
| ||
| Для определения момента инерции тела правильной геометрической формы необходимо мысленно разбить это тело на множество материальных точек  ; найти момент инерции каждой точки  , а затем вычислить сумму этих моментов (т.е. проинтегрировать, если масса распределена непрерывно)  .
| ||
2. Момент инерции тонкого стержня длиной l относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню
Пусть масса стержня 
равномерно распределена по его длине с линейной плотностью 
(равной массе единицы длины).
| Выберем элемент стержня массой dm. Момент инерции этой МТ  , где  .
Тогда момент инерции стержня вычисляется
|
3. Момент инерции тонкого стержня длиной l относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню
|
Рассуждая аналогично п.2, получим
|
4. Момент инерции тонкого кольца (масса 
) относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца
Выберем элемент массы кольца , он находится на расстоянии  от оси вращения. Момент инерции этого элемента  . После интегрирования по всему кольцу, получим
 .
| 
|
Момент инерции тонкого диска (цилиндра) относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска (по оси цилиндра)
Пусть масса диска равномерно распределена по его поверхности с поверхностной плотностью 
(равной массе единицы площади).
Разобьём диск на элементарные кольца массой 
, тогда 
- момент инерции элементарного кольца радиуса r и толщиной dr.
| Масса такого элементарного кольца запишется
 ,
где площадь элементарного кольца вычисляется по формуле  .
|
После интегрирования, получим формулу для вычисления момента инерции диска
.
Заметим, что цилиндр можно представить как совокупность дисков одинакового радиуса R, следовательно, момент инерции цилиндра относительно его оси также выражается формулой 
.
6. Момент инерции кольца (внутренний радиус 
, внешний радиус 
) относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца
Пусть масса 
пластинки равномерно распределена по его поверхности с поверхностной плотностью 
(равной массе единицы площади).
|
Разобьём кольцо на элементарные кольца массой  ,
здесь  .
|
После интегрирования получим
.
Для справки. Без вывода приводим формулу для вычисления момента инерции шара относительно оси, проходящей через его центр, 
.
7. Момент инерции тонкой однородной прямоугольной пластинки массой c размерами 
и 
относительно оси, проходящей через её центр масс и середину стороны
Пусть масса пластинки равномерно распределена по её поверхности с поверхностной плотностью 
.
|
Разобьём пластинку на элементарные пластинки массой  .
|
После интегрирования получим 
.
Пропущенные преобразования выполните самостоятельно.
8. Момент инерции тонкой однородной прямоугольной пластинки массой c размерами и относительно оси, проходящей через её центр масс и середину стороны
Пусть масса пластинки равномерно распределена по её поверхности с поверхностной плотностью 
.
|
Разобьём пластинку на элементарные пластинки массой  .
|
После интегрирования получим 
.
Пропущенные преобразования выполните самостоятельно.
9. Момент инерции тонкой однородной прямоугольной пластинки массой c размерами и относительно стороны
Пусть масса пластинки равномерно распределена по её поверхности с поверхностной плотностью .
|
Разобьём пластинку на элементарные пластинки массой  .
|
После интегрирования получим 
.
Пропущенные преобразования выполните самостоятельно.
10. Момент инерции тонкой однородной прямоугольной пластинки массой 
c размерами и относительно стороны
Пусть масса пластинки равномерно распределена по её поверхности с поверхностной плотностью 
.
|
Разобьём пластинку на элементарные пластинки массой  .
|
После интегрирования получим 
.
Пропущенные преобразования выполните самостоятельно.