Для тоге, чтобы найти абсолютное ускорение точки, продифференцируем равенство (3) предыдущего параграфа по времени. В результате получим
Если х, у, z, постоянны, то их первые и вторые производные равны нулю и первые четыре слагаемых формулы (1) дают ускорение точки, неизменно связанной с подвижной системой координат, т.е. переносное ускорение
С другой стороны, ускорение точки свободного твердого тела
Заметим, что формулу (3) можно получить, дифференцируя формулу (5) предыдущего параграфа. Следующая группа, состоящая из трех слагаемых, представляет относительное ускорение
Наконец, чтобы выяснить смысл последней группы слагаемых в соотношении (1) вспомним, что
Тогда, заменяя в этой формуле р на Vr с компонентами х, у, z, получим
Ускорение, определяемое равенством (5). называют поворотным, или ускорением Кориолиса:
В формуле (6) омега е = омега, здесь мы ввели новее обозначение, чтобы подчеркнуть связь со с переносным движением. Итак, имеем
Формула (7) выражает следующую теорему о сложении ускорений: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисового ускорений.
При использовании формулы необходимо помнить, что переносное ускорение следует вычислять методами кинематики твердого тела при различных случаях его движения.
Относительное ускорение определяется в относительной системе координат по правилам кинематики точки, при этом подвижная система координат считается неподвижной.
В частном случае поступательного переносного движения омега е = 0 и, следовательно, Ас = 0. В этом случае
Этот результат аналогичен теореме о сложении скоростей.
38.Мгновенный центр скоростей.
1, Пусть скорости Va и Vb любых двух течек А к В параллельны друг другу и при этом линия АВ не перпендикулярна к VA, а следовательно, и к VA (рис. 2.34). Из теоремы о проекциях скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки, следует, что но а = B, поэтому VB = VA и, следовательно, Vb = VA.
Таким образом, в рассматриваемом случае скорости всех точек плоской фигуры в данный момент равны и по модулю, и по направлению. Такое состояние плоской фигуры называется мгновенно поступательным. Так как перпендикуляры, восстановленные из точек А и В к скоростям этих точек, не пересекаются, то в рассматриваемом случае в данный момент мгновенный центр скоростей находится в бесконечности. Угловая скорость со плоской фигуры в этот момент равна нулю.
2. Пусть скорости VA и Vb точек А и В параллельны друг другу и эти точки лежат на одном перпендикуляре к данным скоростям. В этом случае при VA не = Vb мгновенный центр скоростей Р определяется построениями, показанными на рис. 2.35, а и б.
Справедливость построения следует из пропорции (6) предыдущего параграфа. Е этом случае для нахождения мгновенного центра скоростей Р нужно, кроме направлений, знать еще и модули скоростей Va и Vb.
3. Е практических задачах часто приходится иметь дело со случаем, когда плоская фигура катится без скольжения по некоторой неподвижной кривой MN (рис. 2.36).
В этом случае скорость точки касания контура плоской фигуры с кривой MN равна нулю, так как точки касания обоих тел при отсутствии скольжения должны иметь одинаковые скорости, а кривая MN неподвижна. Отсюда следует, что точка касания Р является мгновенным центром скоростей плоской фигуры. В качестве примера на рис. 2.37 показано распределение скоростей точек колеса, которое катится без скольжения по неподвижному прямолинейному рельсу.
МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР УСКОРЕНИЙ
При непоступательном движении плоской фигуры у нее в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Определяется положение центра Q, если известны ускорение аА какой-нибудь точки А фигуры и величины омега и эпсолон, следующим путем:
1) находим значение угла из формулы tg µ =?/??;
2) от точки А под углом µ, к вектору аА проводим прямую АЕ (рис. 168); ври этом прямая АЕ должна быть отклонена от аА в сторону вращения фигуры, если вращение является ускоренным, и против вращения, если оно является замедленным, т. е. в сторону направления углового ускорения?;
3) откладываем вдоль линии АЕ отрезок AQ, равный АQ=аА/sqrt(??+?4). Построенная таким путем точка Q и будет мгновенным центром ускорений.
Сложное движение точки.
До сих пор мы рассматривали движение точки относительно одной заданной системы отсчета, которую считали неподвижной. Однако часто при решении задач механики приходится исследовать движение точки одновременно относительно двух (или более) систем координат, при этом одна из них считается основной или условно неподвижной, а другая определенным образом движется относительно первой. Движение, совершаемое при этом точкой, называют составным или сложным.
Предположим, что движение точки М в пространстве рассматривается в двух движущихся по отношению к друг другу системах координат: Oxyz и O1x1y1z1зависимости от условия задачи, одну из этих систем, например, O1X1y1z1 примем за основную, условно неподвижную и назовем абсолютной системой координат (рис. 2.56). Движение, совершаемое точкой М относительно неподвижной системы координат О1Х1у1z1 называется абсолютным Траектория этого движения называется абсолютной траекторией, скорость - абсолютной скоростью и ускорение - абсолютным ускорением. Абсолютные скорость и ускорение обозначаются Va, aa
Другую систему, Oxyz, которая движется относительно системы O1X1y1Z1 назовем относительной.
Движение точки М относительно подвижной системы координат Oxyz называется относительным движением. Такое движение будет видеть Наблюдатель, связанный с подвижными осями и перемещающийся вместе с ними. Траектория точки, описываемая в относительном движении, называется относительной траекторией. Понятно, что относительная траектория точки не остается неподвижной, а перемещается в пространстве вместе с подвижной системой координат.
Скорость точки М относительно подвижной системы координат называется относительной скоростью, а ускорение -относительным ускорением. Относительные скорости и ускорения обозначаются так: vr и аr. Из определения относительного движения следует, что при вычислении vr и ar необходимо мысленно движение осей Oxyz остановить, т.е. рассматривать оси Oxyz как неподвижные и воспользоваться правилами и формулами кинематики точки.
Движение, совершаемое подвижной системой координат Oxyz вместе с неизменно связанным с ней пространством и движущейся в нем точкой относительно неподвижной системы O1X1y1Z1 называется переносным движением.
Скорость той точки т пространства, связанного с подвижной системой координат, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая точка М, называется переносной скоростью, а ускорение - переносным ускорением. Переносные скорость и ускорение обозначают соответственно Ve и ае
Так как разные, неизменно связанные с подвижной системой отсчета, точки в общем случае имеют разные траектории, то говорить о переносной траектории точки М нельзя.
Основная задача кинематики сложного движения точки состоит в том, чтобы, зная относительное движение точки и переносное движение, т.е. движение подвижной системы координат, найти абсолютное движение точки и, следовательно, определить ее траекторию, скорость и ускорение в этом движении.