Функция Лапласа, ее свойства; вероятность попадания в интервал для нормального распределения С.В.
СВ называется нормально распределенной, если ее плотность распределения имеет вид
f(x)=(1/s Ö (2p))*e-(x-a)2/2s 2; s >0.
Функцией Лапласа называется функция вида(Z=x-a/s)
Ф(Х)=
.
Аргумент—переменная верхнего предела.
Св-ва;
1. Функция Ф(х)—нечетная, т.е. Ф(-х_=-Ф(х)
2. Функция монотонно возрастает, т.е. х2>x1 следовательно, Ф(х2)>Ф(х1)
Ф(х2)=
—> Ф(х2)>Ф(х1)
3.Ф(+¥)=0,5.Доказательство.
Ф(¥)=
Ф-ция Ф(Х) возрастает и стремится к 0,5.
Вероятность попадания в интервал для НРСВ.
Пусть x —НРСВ с пар. а и s (s >0).
| 22.Неравенство Чебышева.
Если известна дисперсия С.В., то с ее помощью можно оценить вероятность отклонения этой величины на заданное значение от своего мат. ожидания, причем оценка вероятности отклонения зависит лишь от дисперсии. Соответствующую оценку вероятности дает неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева является частным случаем более общего неравенства, позволяющего оценить вероятность события, состоящего в том, что С.В. Х превзойдет по модулю произвольное число t>0. P{|X – MX|>=t}<=1/t*2 M(X – MX)*2=1/t*2 DX – неравенство Чебышева. Оно справедливо для любых С.В., имеющих дисперсию; оценка вероятности в нем не зависит от закона распределения С.В. Х.
23.Теорема Чебышева.
Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых С.В. Х1,Х2,Х3,…,Xn,… имеет конечные мат. ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое С.В. сходится по вероятности к среднему арифметическому их мат. ожиданий, т.е. если эпселен – любое положительное число, то: lim при n стремящемся к бесконечности P(|1/n сумма по i от 1 до n Xi – 1/n сумма по i от 1 до n M(Xi)|<эпселен)=1. В частности, среднее арифметическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены и которые имеют одно и тоже мат. ожидание а, сходится по вероятности к мат. ожиданию а, т.е. если эпселен – любое положительное число, то: lim при n стремящемся к бесконечности P(|1/n сумма по i от 1 до n Xi – a|<эпселен)=1.
Теорема Чебышева: Если дисперсии независимых случайных величин Х1,Х2,…,Хn ограничены сверху числом В, то для произвольного, сколь угодно малого ε>0 справедливы неравенство
Р{|∑Xi/n - ∑M(Xi)/n| <=ε}> 1 – B/nε2
и предельное равенство limP{|∑Xi/n - ∑M(Xi)/n| <=ε} = 1
24.Центральная предельная теорема. следствия (теорема Муавра-Лапласа).
Центральная предельная теорема: Пусть Х1,Х2,…,Хn – независимые случайные величины, имеющие конечный третий абсолютный момент (дисперсию σ2). Положим ai = M(Xi), σi2 = D(Xi), Ci3 = M|Xi-ai|3, i=1,2,3,.... Тогда если
То при n→∞ для x(-∞<x< ∞) имеет место стр 157. (5.3.2)
25. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0<p<1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n). Pn(k)=1/(корень из npq)*фи(х). Здесь Фи(х)=1/(корень из 2пи)*е в степени –х*2/2, x=k – np/(корень из npq). Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0<p<1), событие наступит не меньше k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна: P(k1;k2)=Ф(х’’) – Ф(х’). Здесь Ф(х)=1/(корень из 2пи) * интеграл от0 до х е в степени –(z*2/2)dz – функция Лапласа, х’=(k1 – np)/(корень из npq), х’’=(k2 – np)/(корень из npq).
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р успеха в каждом испытании отлична от 0 и 1, а число испытаний n достаточно велико, то для расчета Рn(k) можно пользоваться приближенной формулой
Рn(k) = (1/√np(1-p)) * φ(u) (k=0,1,2,...),
Где φ(u)=(1/√2π) * e-u2/2, u=k-np/√np(1-p)
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р успеха в каждом испытании отлична от 0 и 1, а число испытание n достаточно велико, то для расчета вероятности Рn(k1,k2) того, что число успехов в серии из n испытаний будет заключено в промежутке [k1,k2), можно пользоваться приближенной формулой
Рn(k1,k2) = Ф0(u2) – Ф0(u1) (k1 = 0,1,2,..; k2>k1),
где Ф0(u) = (1/√2π) * ∫е-z2/2dz, u1,2 = k1,2 – np/√np(1-p)
28. Моделирование непрерывной случ. величины..
31 Условное математическое ожидание. парная корреляция.
32. коэффициент корреляции и его с-ва.
Кx h =m x h /s (x)*s (h) Коэффициент корреляции не зависит от разностей СВ x и h и только показывает степень линейной зависимости между x и h, обусловленную только вероятностными свойствами x и h. Коэффициент корреляции определяет наклон прямой на графике в системе координат (x,h) Свойства коэффициента корреляции.
1. -1<=Кx h <=1
Если Кx h =± 1, то линейная зависимость между x и h и они не СВ.
2. Кx h >0, то с ростом одной составляющей, вторая также в среднем растет.
Кx h <0, то с убыванием одной составляющей, вторая в среднем убывает.
3. D(x ± h)=D(x)+D(h)± 2m x h
Зависимость случайных величин. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их свойства.
Степень зависимости случайных величин измеряется с помощью ковариации случайных величин X и Y: cov(X,Y) = M(XY) – M(X)*M(Y)
Ковариация может принимать произвольные вещественные значения, поэтому не вполне пригодна к использованию в качестве меры связи случайных величин. В этом смысле более пригоден коэффициент корреляции случайных величин Х и Y
ρ(Х,Y) = M(XY) – M(X)*M(Y)/σxσy
Если коэффициент корреляции ρ(Х,Y)=0, то это не обязательно означает независимость случайных величин Х и Y. В этом случае говорят, что данные случайные величины некоррелированны.
Коррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент отличен от нуля.
Корреляционным моментом μ1,1 порядка 1+1:
μxy = М{[X – M(X)] * {Y-M(Y)]}
Раздел 2.
1. Примеры случайных процессов и экономических систем. Марковские случайные процессы.
Предположим, что дана система S. Предп., что состояние этой сис-мы хар-ся параметрами состояний. Если состояние системы меняется во времени случайно, то говорят, что в сис-ме протекает случайный процесс. Сис-ма —аудитория. Для хар-ки состояния используется параметр—число студентов, тогда эта система с дискретными состояниями. Будем рассматривать системы с дискретными состояниями и непрерывным t: сис-ма мгновенно в произвольные сегменты t скачками меняет состояние. Если параметр t принимает дискретные значения (t=1,2,3,...), то происходит процесс с дискретным временем (случайная последовательность), если же t изменяется на некотором интервале, то процесс с непрерывным временем. Если случайные величины семейства принимают дискретные значения, то имеет место процесс с дискретными значениями, если же непрерывное, то с непрерывными значениями. Предположим, что рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным t. Пусть S1, S2,...,Sn —возможные состояния сис-мы. Для описания процесса, происх. в сис-ме, надо знать вер-ти каждого состояния на произвольный момент t. Р1(t)—вер-ть того, что в момент t сис-ма находится в 1-ом состоянии. Процесс, протекающий в системе, наз. марковским, если для него вероятность попасть в состояние Xi=Si в момент ti зависит не от всего прошлого, а лишь от состояния Xi-1=Si, в котором процесс был в предыдущий момент времени ti-1.
3. Система дифф. уравнений Колмогорова для вероятностей состояний.
Пусть дан марковский случайный процесс. Рi(t)—вер-ти состояний: i=1,n(все с чертой), тогда для Рi(t) выполняется следующее дифференциальное уравнение
d Рi(t)/dt=å (от i<>k,k=1 до n) l ki* Рi(t)—å (от j<>1,j=i до n) l ij*Pi(t); i=1,n(все с чертой) (1) Система из n уравнений, т.к. для любого момента t å (от i=1 до n) Pi(t), то в системе (1) одно любое уравнение м-но отбросить. И, задав начальное условие на момент t=t0, P1(t0)=1, Pi(t0)=0, i=1,n(все с чертой).
В итоге м-но решить сис-му дифф. ур-ний и найти все вер-ти состояний Pi(t), i=1,n(все с чертой).
4. Предельные вероятности состояний. Нахождение предельных вероятностей.
Предположим, что дан марковский случайный процесс, тогда, используя уравнение Колмогорова, можно найти Рi(t); i =
Предельными или финальными вероятностями называют пределы, если эти вероятности существуют, т.е. = Рi.
Если эти предельные вероятности существуют, то в системе устанавливается стационарный режим, при котором состояние системы меняется случайным образом, но вероятность каждого состояния остается неизменной.
Предельная вероятность в марковском случайном процессе существует, если этот процесс удовлетворяет свойству транзитивности. Процесс в протекающей системе называется транзитивным, если существует интервал времени t, в течение которого система может перейти из любого состояния Si в любое другое состояние Sj.
Алгебраические уравнения для предельной вероятности состояний
Пусть марковский случайный процесс удовлетворяет свойству транзитивности, тогда для него при t ® ¥ существуют предельные вероятности состояний Pi=const., Þ, в этом случае вместо дифференциального уравнения Колмогорова получили систему линейных уравнений относительно вероятности состояний
Одно уравнение отбрасывается, остается n уравнений, решая эту систему получаем Р1, Р2,..., Рn.
5. Процессы гибели и размножения.
Мы предполагаем, что все потоки, переводящие систему из любого Si в Si+1 и из Si в Si-1 являются простейшими.
l i, i+1, l i, i-1 - интенсивность потока
Процессы такого типа называются процессами гибели и размножения.
Составим систему уравнений для нахождения предельной вероятности состояний:
S0: l 01P0 = l 10P1 S1: l 10P1 + l 12P1 = l 01P0 + l 21P2 S2: l 21P2 + l 23P2 = l 12P1 + l 32P3... Sn: l n, n-1 Pn = l n-1, n Pn-1 P0 + P1 + P2 +... + Pn = 1
6. Потоки событий. Простейший поток и его свойства.
Потоком событий называется последовательность каких-то однородных событий, следующих друг за другом через случайные интервалы времени, т.е. в произвольные моменты времени.
Потоки избираются на числовой оси, представляющей ось времени, точками, соответствующими моменту наступления событий.
Например: - поток вызовов, поступающих на станцию скорой помощи;
- поток автомобилей, пересекающих перекресток.
Среднее число событий, происходящих в единицу времени называется интенсивностью потока. l - среднее число событий в потоке, происходящее за единицу времени. Свойства потока:
1. Поток называется стационарным, если вероятность наступления того или иного числа событий за интервал времени длины а зависит от длины этого интервала и не зависит от того, в какой момент времени начинается отсчет этого интервала.
t2 – t1 = a
2. Поток событий называется потоком без последействия (без последствия), если для любых непересекающихся интервалов времени длины t 1 и t 2.
Вероятность появления того или иного числа событий в интервале t 2 не зависит от того, какое число событий произошло в интервале t 1.
Иначе, отсутствие последствия означает независимость наступления событий во времени.
3. Поток называется ординарным, если вероятность наступления двух и более событий за некоторый достаточно малый интервал времени t пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события за этот интервал.
Поток, обладающий всеми тремя перечисленными свойствами называется простейшим.
7. Закон распределения числа событий за фиксированный промежуток времени и закон распределения интервала времени между событиями в простейшем потоке.
Пусть рассматривается какой-то поток событий. С ним всегда можно связать дискретную СВ – число событий, происходящих за интервал длины t. Эта СВ дискретна. С этим же потоком можно связать НСВ – интервал времени между событиями. Т – интервал времени между событиями в потоке. Для простейшего потока доказано, что число событий, попадающих на интервал длины t является ДСВ, распределенной по закону Пуассона. Вероятность того, что за время t произойдет ровно k событий. (a > 0)
a = t l, l - интенсивность простейшего потока
при t = 1
Найдем закон распределения интервала времени между событиями простейшего потока. Выведем закон распределения интервала времени между событиями в потоке.
F(t) =?
Fт(t) = P(T<t) = 1 – P(T ³ t) = 1 – Pt(k=0) = 1 - = 1 – e-l t, t ³ 0
Fт(t) = l e-l t
Всякий простейший поток можно задать интенсивностью, либо задать среднее значение времени между событиями в потоке (Т).
Средняя продолжительность интервала времени; М(Т) = = Þ l =
11.Многоканальная СМО с ограниченным числом мест в очереди.
СМО— система, предназначенная для обслуживания какого-то потока поступающих на вход в систему заявок. Система характеризуется наличием того или иного числа каналов обслуживания. Если в системе несколько каналов, то мы считаем эти каналы равноправными, и они имеют одинаковые хар-ки (среднее число заявок, обслуж. 1-им каналом при непрерывной работе за единицу времени—одно и то же для всех каналов). Пусть дана сис-ма с простейшим потоком, инт-ть которого l, один канал в среднем может обслужить m заявок в единицу времени. Пусть в сис-ме имеется m мест для постановки заявок в очередь. Предположим, что заявка, заставшая в момент своего поступления один канал свободным, тут же обслуж. Если же в момент поступления заявки все каналы заняты, но имеется хотя бы одно свободное место в очереди, то заявка становится в очередь на обслуживание, при этом как только один из каналов освобождается, одна заявка из очереди поступает на обслуживание. Если заявка, поступившая в систему, застает занятыми все каналы и места в очереди, то она получает отказ в обслуживании и покидает систему. Возможные состояния системы: S0—заявок нет S1—одна заявка, n-1 канал свободен, все места в очереди свободны Sn—n заявок, все каналы заняты, все места в очереди свободны Sn+1—все каналы заняты, 1 заявка в очереди, m-1 мест в очереди свободны Sn+m—все каналы заняты, m мест (все) в очереди заняты.
Предельные вероятности состояний:
Р0=(1+
1.Ротказа=Рn+m=
2.Относительная пропускная сп-ть q=1—Pn+m 3.Абсолютная пропускная сп-ть A=l q 4.Среднее число заявок в очереди
|