Случайным событием называется любое явление, которое может произойти или не произойти в результате стохастического эксперимента.

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Основные понятия и определения

Стохастическим называется эксперимент (опыт, испытание) результат которого заранее (до его проведения) предугадать нельзя.

Случайным событием называется любое явление, которое может произойти или не произойти в результате стохастического эксперимента.

Пример 1. Проводится опыт с бросанием двух игральных костей (кубики, каждая грань которых имеет метки - очки, соответствующие цифрам 1, 2, 3, 4, 5 и 6). Результатом этого опыта - событием может быть появление одной из пар чисел - (1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6), где первые и вторые числа равны числу очков, выпавших соответственно на первой и второй костях. Можно рассматривать и другие события, заключающиеся, например, в том, что сумма выпавших очков равна пяти, чётна, делится на три, и так далее.

Система событий называется совокупностью элементарных событий, если: в результате опыта происходит одно и только одно элементарное событие; каково бы ни было случайное событие А, по наступившему элементарному событию можно сказать о том, произошло или не произошло А.

Событие называется достоверным (W), если оно наступает в результате появления любого элементарного события.

Событие называется невозможным (Æ), если оно не наступает ни при каком элементарном событии.

Суммой (объединением) двух событий А и В называется событие
А+В или (А È В), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А, или В.

Произведением (пересечением) двух событий А и В называется событие АВ или (А Ç В), происходящее тогда и только тогда, когда происходит и А, и В.

Два события называются несовместными, если их одновременное появление в опыте не возможно. В этом случае АВ = Æ.

Событие называется противоположным к А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

Справедливы следующие свойства: , ,

Для лучшего восприятия введенных понятий и операций полезна геометрическая интерпретация - диаграммы Венна: пространство элементарных событий W изображается в виде квадрата, каждой точке которого соответствует элементарное событие. Тогда случайные события изображаются в виде некоторых фигур, лежащих в этом квадрате.

Пример 2. Случайные события А и В - некоторые фигуры на квадрате. Указать (заштриховать соответствующую область) события
А + В, АВ, , (рис.1)

А + В	АВ
Рис. 1.

Пример 3. Производятся два выстрела по цели. Пусть событие А - попадание в цель при первом выстреле, В - при втором, тогда и промах соответственно при первом и втором выстрелах. Пусть событие С - поражение цели, при условии, что для этого достаточно хотя бы одного попадания. Выразить С через А и В.

Решение. Цель будет поражена в следующих случаях: попадание при первом и промах при втором, промах при первом и попадание при втором, попадание при первом и втором выстрелах. Интересующие нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов (хотя бы одного). Используя введённые выше операции, получим: . С другой стороны событие , противоположное С, есть промах при двух выстрелах, то есть , отсюда искомое событие С можно запасать в виде . Возможность различного выражения искомого события часто оказывается полезной при решении задач.

Пусть W - пространство элементарных событий, соответствующих стохастическому эксперименту и пусть F - некоторая система случайных событий. Система событий F - называется алгеброй событий, если выполняются условия: ; из того, что А и В Î F следует, что: Î F, А + В Î F и А×В Î F. Следовательно, применяя любые из введенных операций к произвольной системе событий из F, получим событие также принадлежащее F.

Определение вероятности

Если при многократном проведении одного и того же стохастического эксперимента событие А произошло m (A) раз, то относительной частотой называется отношение , где n - число проведенных опытов.

Если при увеличении числа опытов относительная частота события n (А) стремиться к некоторому фиксированному числу р (А), то событие А стохастически устойчиво, а это число называют вероятностью события А.

Решение. Очевидно, первую цифру можно набрать 10 способами, вторую - 9, так как одна цифра уже использована,..., седьмую - 4. Согласно правилу произведения общее число возможных номеров равно 10×9×8×7×6×5×4=604800.

Если из некоторого множества, состоящего из n различимых элементов, отбираются в определённом порядке m элементов, то возможные варианты называют размещениями из n элементов по m и их число равно

При n = m говорят о перестановках из n элементов, их число равно

Если порядок отбираемых m элементов из n элементов не играет роли, то говорят о сочетаниях из n элементов по m и их число равно

Пример 5. Сколькими способами можно из 20 присяжных заседателей отобрать трёх для участия в судебном процессе.

Решение. Поскольку не существенно в каком порядке отобраны кандидатуры, число вариантов равно .

Пример 6. Сколькими способами можно из 20 членов правления фирмы отобрать трёх для замещения вакансий вице-президентов, отвечающих за производство, финансы, реализацию продукции.

Решение. Поскольку порядок при таком выборе играет существенную роль, то число вариантов равно .

При большом n подсчёт числа вариантов по этим формулам требует громоздких вычислений , в этом случае пользуются асимптотической формулой Стирлинга .

Пример 7. К экзамену подготовлены 30 теоретических вопросов и 50 задач. Определить вероятность того, что студент получит отлично, для этого надо правильно ответить на два вопроса и решить три задачи, выбранные случайным образом, если студент выучил 20 вопросов и умеет решать 30 задач.

Решение. В качестве пространства элементарных событий этого опыта возьём множество всех наборов из двух вопросов и трёх задач. Поскольку выбор случаен, то все исходы равновозможны и применимо классическое определение вероятности. Для подсчёта n - числа исходов заметим, что два теоретических вопроса можно выбрать , а три задачи способами (порядок следования здесь не важен). По правилу произведения общее число таких наборов будет равно . Событие А - отличная оценка реализуется тогда, когда оба вопроса будут из 20 выученных и все три задачи из 30 ему известных. Число таких наборов - благоприятствующих А исходов находится аналогично. Поэтому искомая вероятность равна

Пример 8. Среди K поставленных единиц данного товара L не удовлетворяют предъявляемым условиям. Найти вероятность того, что среди k £ K, отобранных для выборочного контроля качества ровно l £ L не будут удовлетворять этим требованиям.

Решение. Опыт заключается в случайном отборе k образцов. Следовательно, исходы этого испытания равновозможны и их общее число равно . Событие А состоит в том, что из k отобранных ровно l не будут удовлетворять этим требованиям. Число исходов, благоприятствующих А, согласно правилу произведения равно
, здесь первый множитель даёт число вариантов отбора хороших, а второй - плохих образцов. Отсюда искомая вероятность равна

Аксиоматическое определение вероятности. Пусть W - пространство элементарных событий некоторого стохастического эксперимента и в W выделена система F событий, являющаяся алгеброй событий. Это означает, что выполняются условия: ; из того, что А и В Î F следует, что: F, А+В Î F и А×В Î F. Пусть каждому событию А Î F поставлено в соответствие число Р (А) - и верны свойства:

P(A)≥ 0 для любого А Î F;

Пример 9. Два лица - M и D договорились встретиться в определённом месте между 19 и 20 часами, причём появление любого из них равновозможно в любой момент этого часа. Найти вероятность того, что встреча состоится, если: первым на место встречи приходит M, то ждёт не более 20 минут; первой приходит D, то ждёт не более 10 минут.

Решение. Пусть моменты прихода (отсчёт времени будем проводить в минутах от начала часа) M и D на место встречи будут x и y. Интересующее нас событие А произойдёт, если будет выполнена система неравенств:

где x и y определяют координаты точки в квадрате со стороной 60. По условию любое положение этой точки в квадрате равновозможно, поэтому вероятность события А - попадания точки в область
А (рис.2) согласно геометрической схеме равна