Теорема о движении центра масс

Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. F^e –общ обозначение внешней силы (экстерьер – снаружи), Fⁱ – общее обозначение внутренних сил (интерьер – внутри) Ma_C= ∑F^e_i Центр масс системы движется, как материальная т, масса которой равна массе всей системы, и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему. (2 формулировки т о движ центра масс)

73. Закон сохранения движения центра масс.

Если сумма всех внешних сил, действ на систему= то центр масс этой системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью, т.е. равномерно и прямолинейно.

Вывод: если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-либо ось=0, то проекция скорости центра масс системы на эту ось, есть величина постоянная.

74. 75.Теорема об изменении количества движения системы.

Кол-во движения сист – векторная величина Q, равная геом сумме (гл вектору) количеств движения всех т системы Q= ∑m_iV_i V – первая производная от радиус вектора. dr_i/dt Q=M*V_C Кол-во движений системы= произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.

Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. dQ/dt= ∑F^e_i Q-Q₀= ₀^t1∫ F^e_i dt Сила на время – импульс. Q-Q₀= ∑S^e Изменение кол-ва движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на сист внешних сил за этот же промежуток времени.

76. Закон сохранения количества движения.

1) Если сумма всех внешних сил, действующих на сист = 0, то вектор кол-ва движения системы будет постоянен по модулю и направлению 2) Если сумма проекций всех действ сил на какую-либо ось =0, то проекция кол-ва движения системы на эту ось, есть величина постоянная.

77. Кинематическая энергия.

Кинетич энергия сист – скалярная величина Т = сумме кинетич энергий всех точек системы. T= ∑m_iV²_i является характеристикой поступательного и вращательного движения.

78. Поступательное движение.

V_i=V_C все скорости равны по модулю и направлению скорости центра масс. T= ∑m_iV²_i /2= ∑m_iV²_C /2= MV²_C/2 Кинетическая энергия при поступательном движении равна ½ произведения массы тела (сист) на квадрат скорости центра масс.

79. Вращательное движение

V_i= ωh_i, T= ∑m_ih²_i ω²/2 = J ω²/2 Кинетич эн-я при вращательном движении = ½ произведения момента инерции тела(сист), относительно оси на квадрат его угловой скорости.

80. Плоскопараллельное движение

При этом движении скорости всех т тела распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси ┴ пл-ти движения и проходящей ч/з мгновенный центр скоростей Р (МЦС), тогда T= J_P* ω²/2, J_P – меняется в каждый момент врмени. По т Гюйгенса: J_P=J_C+Md², d=PC = от МЦС до центра масс. V_C= ω*PC. T=J_C* ω²/2+M V²_C /2 при плоско-параллельном движении кинетическая энергия системы= энергии поступательного движения со скоростью центра масс сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг этого центра масс.

81. Теорема об изменении кинетической энергии системы.

dT= ∑A^e_i + ∑Aⁱ_i сумма внеш и внутр работ

d(∑m_iV²_i /2)=∑A^e_i + ∑Aⁱ_i, T-T₀=∑A^e_i + ∑Aⁱ_i Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении = сумме работ на этом перемещении всех приложенных внешних и внутренних сил. Рассм 2 случая: 1) Неизменная система – механич сист в к-й расстояние между двумя взаимодействующими т все время движения остается постоянным. T-T₀=∑A^e_i, ∑Aⁱ_i =0

2) Сист с идеальными связями. Рассм сист на к-ю наложены связи, не изменяющиеся со временем. Изменение кинетической энергии системы с идеальными связями при любом ее перемещении, приложенных к сист внешних и внутренних активных сил T-T₀=∑A^a_i, A^a_i - активные силы

82. Принцип Даламбера для точки и механической системы.

Пусть на мат т массой m действует сист активных сил, равнодействующая к-й равна R^a, реакция связи N, если точка несвободна, а – ускорение, с которым будет двигаться точка под действием этих сил. Векторная величина, равная по модулю произведению массы на ускорение и направленная, противоположно этому ускорению – Сила инерции. – ma=F_И, - указывает на противопол направл.

Принцип Даламбера

В каждый момент времени все силы, действующие на точку уравновешиваются силой инерции (Ф –сила инерции, F_И), Р – внеш силы, ∑(Р+F_И)=0 – тогда сист в равновесии.

Принц Даламбера для мат т. Если в любой момент времени, к действующей на т системе активных сил и реакций связей, присоединить силу инерции, то полученная система будет уравновешенной. R^a+N+F_И=0

Рассм мех сист сост из n мат т, выделим какую-либо мат т с массой m_i. Под действием приложенных к ней внутр и внеш сил(акт сил и реакций связей) точка будет двигаться по отношению к инерциальной сист отсчета с некоторым ускорением a_i. Fⁱ_И= - m_ia_i, По принципу Даламбера: F^e_i +Fⁱ_i +F^И_i=0

Принцип Даламбера для системы: Если в любой момент времени к кажд из т сист кроме действ на нее внешн и внутр сил, присоединить соответств силы инерции то полученная система будет уравновешенной – к ней можно будет применять уравнения статики.

Геометрическая сумма сил, находящихся в равновесии и сумма их моментов, относительно любого цетра т О равны 0 – это справедливо не только для твердого тела, но и для любой изменяемой мех сист.
∑ (F^e_i +Fⁱ_i +F^И_i)=0, ∑ m₀(F^e_i)+ ∑m₀(Fⁱ_i) + ∑m₀(F^И_i)=0, ∑F^И_i=R^И – сумма сил инерции для точек, равна равнодействующей инерции. ∑m₀(F^И_i)=M^И₀ Главный вектор и главный момент инерции относительно центра О системы сил: ∑F^e_i +R^И=0 ∑m₀(F^e_i)+ M^И_i=0 - выражения для принципа Даламбера

83. Главный вектор. Главный момент сил инерции.

Главный вектор сил инерции мех сист равен произведению массы сист на ускорение центра масс, направлен противоположно этому ускорению R^И= -Ma_C R^И_τ = -Ma^τ_C, R^И_n= -Maⁿ_C Главный момент сил инерции мех сис-мы относительно некоторого центра О или оси oz равен взятой со знаком «– » производной по времени от кинетического момента системы относительно того же центра или той же оси: M^И₀= - dK₀/ dt M^И_Z= - dk_Z /dt, k_o – кинетический момент

Главным моментом кол-ва движения (или кинетическим моментом) сис-мы относительно данного центра О, наз-ся величина k₀, равная геометрической сумме моментов кол-в движения всех т сист, относительно этого центра: k₀= ∑m₀(m_iV_i), k₀ – кинетический момент вращательного движения тела, относительно оси вращения равен произведению моента инерции этого тела на угловую скорость тела, относительно оси вращения k_Z=J_Z ω.

Поступательное движение В этом случае ускорения всех т тела одинаковы и равны ускорению центра масс тела. a_i=a_C Тогда все силы инерции образуют сист параллельных сил и имеют равнодействующую, проходящую ч/з т С (центр сил тяж-ти). Следовательно при поступат движении F_И (силы инерции) приводятся к равнодействующей R_И, проходящей ч/з центр.

Вращательное движение Пусть твердое тело имеет плоскость материальной симметрии Oxy (пл-ть относит к-й материя распределяется симметрично. Центр масс на этой пл-ти) и вращается вокруг оси oz, перпендикулярно этой пл-ти. Если привести силы инерции к центру т О, то вследствие симметрии результирующая сила и пара сил будут лежать в пл-ти oxy и момент пары сил будет равен M^и_Z= - d(J_Z ω)/dt= -J_Z* ε, - J_Z↑↓ ε

Вращение вокруг оси, проходящей ч/з центр масс тела: Если тело вращается вокруг оси oz, проходящей ч/з центр масс тела С, то результирующая сил инерции =0 (т.к. a_C=0, R^И=0), следовательно в этом случае система сил инерции приводится к одной только паре сил с моментом (M^И_Z) инерции относительно оси oz, лежащей в пл-ти симметрии.

Плоско параллельное движение Если тело имеет пл-ть симметрии и движется || этой пл-ти, то сист сил инерции приведется к лежащим в пл-ти равнодействующей R^И, приложенной в центре масс и паре с моментом M^И_Z=J_{C Z} ε

84. Принцип возможных перемещений.

Классификация связей: Связями наз-ся любого вида ограничения, к-е налагаются на положение и скорости точек мех сист и выполняются независимо от того, к-е на сист действуют силы.

Связи не изменяющиеся со временем, называются стационарными, а изменяющиеся – не стационарными.

Связи, накладывающие ограничения на положение (координаты) т сист – наз-ся геометрическими, а накладывающие огр еще и на скорости т сист – кинематическими или дифференциальными.

Связи делят на удерживающие(накладываемые ими ограничения сохраняются при любом положении сист) и не удерживающие (от таких связей сист может «освободиться»)

Возможные перемещения должны удовлетворять условиям: 1) быть элементарными (т.к. при конечном перемещении сис-ма может придти в положение, где эффект наложенных связей будет другим) 2) быть такими,чтобы все наложенные в данный момент связи сохранялись, иначе может измениться вид мех сист.

Возм перемещ мех сист наз-ся любая совокупность элементарных перемещений точек этой сист, из занимаемого в данный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными на сист-му связями. Возможные перемещения – воображаемые, бесконечно малые перемещения, к-е могут быть у точек системы в данный фиксируемый момент времени без нарушения связей, наложенных на систему. ∑F_iδr_i=0 – условие равновесия сист. Число независимых между собой возможных перемещений сист называют числом степеней свободы этой сист. Рассм т на пл-ти – независ коорд 2 – (х,у) {x=f(t), y=f(t)} У мех сист с геометр связями число независ координат определяющих положение системы совпадает с числом ее степеней свободы.

Принцип возм перемещений Идеальными наз-ся связи, для к-х сумма элементарных работ их реакций на любом возможном перемещении сист равна 0 ∑ δ A^r_i=0 Докажем, что если мех сист с идеальными связями находится под действием приложенных сил в равновесии, то при любом возм перемещении системы должно выполняться равенство: ∑ δ A^a_i=0 (Сумма элем работ акт сил =0 –необх и дост усл равновесия сист) δA=F δr_i, δA=F δS_i*cos α_i Тогда ∑ δA^a_i = ∑F^a_i δS_icos α_i =0, α угол между силой и возм перемещением.

Обозначим равнодействующие всех (внеш и внут) активных сил и р-й связей, действующих на какую-нибудб т из сист B_i через R_a- равнодейств акт сил, действ на точку, N_i – равнод р-й связей. R^a+N_i=0 → Вывод сумма работ этих сил при любом перемещении т В также удет равна 0.

Для равновесия мех сист с идеальн связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была =0.

Принцип возможных перемещений

Если данное положение системы подчинено идеальным, голономным, стационарным и удерживающим связям, является ее положением равновесия, то сумма работ всех активных сил сист на любом возможном перемещении системы= 0

85. Общее уравнение динамики.

Слияние принципа возм перемещений и принципа Даламбера. Принцип возм перемещений дает общий метод решения задач статики. Принцип Даламбера позволяет использовать методы сттики для решения задач динамики. Следовательно: Применяя эти два принципа одновременно можно получить общий метод решения задач динамики.

Рассм сист мат точек, на к-ю наложены идеальные связи. Если по всем точкам системы, кроме действующих на них активных сил и р-й связей прибавить соотв силы инерции, то согласно принципу Даламбера, полученная система сил будет находиться в равновесии, т.е используя принцип возм перемещений получим: ∑δA^a_i+ ∑δA^r_i + ∑δA(F^И_i)=0, ∑δA^r_i=0, т.к. действие р-й связей не дают элемент перемещения, сохраняют в нач сост., ∑δA^a_i+ ∑δA(F^И_i)=0,

Принцип Даламбера-Лагранжа(общ ур-е динамики) при движении мех сист с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарынх работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна 0

86. Условие равновесия системы в обобщенных координатах.

Равновесие - сумма эл работ действ акт сил=0 ∑ δA_i= Q₁δq₁+ Q₂δq₂+ ….+Q_nδq_n =0 Силы =0 т.к. δq не может быть =0 – оно есть. Для равновесия мех сист необх и дост чтобы все обобщенные силы соответствующие выбранным обобщенным координатам были =0.

87. Уравнения движения системы в обобщенных координатах.

Число параметров, определяющих положение системы зависит: кол-ва точек или тел, а также от числа и характера связей.( от характера р-й связей, от числа р-й связей, от кол-ва тел (точек) в данной системе)

Независимые между собой параметры любой размерности, число к-х равно числу степеней свободы системы и к-е однозначно определяют ее положение, называют обобщенными координатами системы. q_S.

Множество обобщенных координат: - Каждая предоставит независ, свободн перемещение, зависящее от этой коорд и ни от чего другого. x_i=x_i(q₁,q₂,…q_S), r_K=r_K(q₁,q₂,…q_S) – радиус вектор. Имеет геом смысл – задает положение в пр-ве. q=f(t), q₁=f₁(t),…q_S=f_S(t) - кинематические ур-я движения системы в обобщенных координатах. q’=f(t) - обобщенная скорость q’=dq/dt

Рассм мех-ю сист, состоящую из N материальных точек, на к-ю действует сист сил (F₁,…F_n) Пусть сист имеет S степеней свободы. Ее положение задано q_S. Сообщим системе такое независимое перемещение. При к-м координата q₁,будет иметь приращение δ q₁, а остальные обобщенные координаты не изменятся. r_i→(δr_i)₁ – элементарное приращение, к-е радиус-вектор r_i получает при изменении только координаты q₁ на величину δq₁. Соответственно: (δr_i)₁=dr_i/ dq₁ *δq₁. Сумму элементарных работ всех действ сил на рассматриваемом перемещении вычислим и обозначим δA₁. Тогда сумма эл работ = произведению силы на перемещение: δA_i=F₁(δr₁)₁+ F₂(δr₂)₁+ ….+F_n(δr_n)₁ Заменим r_i на частн производные: δA_i=F₁(dr₁ /dq₁)* δq₁+ F₂(dr₂ /dq₁) δq₁+ ….+F_n(dr_n /dq₁) δq₁ Обозначим произведение силы на производную координаты, как Q₁=∑F_i (dr_i /dq₁) δA₁=Q₁δq₁ Величину Q₁ называют обобщенной силой, соответствующей координате q₁. δA₂=Q₂δq₂ Если сообщить системе такое возможное перемещение, при котором одновременно изменяются все ее обобщенные координаты, то сумма ее элементарных работ равна ∑ δA_i=Q₁δq₁+ Q₂δq₂+ ….+Q_nδq_n. – выражение полной элементарной работы всех действующих сил в обобщенных координатах.

88. Примеры потенциальных полей.

89. Уравнение Лагранжа второго рода для консервативных механических систем.

Коэффициент трения качения – в см, остальные безразмерные

Центр тяжести простых фигур – шпоры формулы написать.