Разложение рациональной дроби на простейшие.
Известно, что
[I] во множестве комплексных чисел С полином степени n:
[1]
- имеет ровно n корней 
, среди которых могут быть кратные; - представляется в виде произведения
[2]
, в котором корню 
кратности r соответствует множитель (x-a)r.
[II] Полином с вещественными коэффициентами 
(1) имеет либо вещественные 
,либопопарно-сопряженные комплексные корни:
(2) В представлении [2] вещественному корню x=a∊R кратности r ≥ 1 соответствует множитель (x-a)r, а паре корней 
кратности k ≥ 1 соответствует множитель – квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами и отрицательным дискриминантом
è 
(3) Целые корни 
полинома 
с целыми коэффициентами 
являются делителями коэффициента с0:
è 
(4) Два полинома равны тождественно (
, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.
Например, 
Пусть Pm(x), Qn(x) полиномы степеней n и m.
Определение 1. Функция 
называется рациональной дробью (РД), причем
РД называется правильной (ПРД), если n>m, и неправильной (НРД), если если m ≥ n.
НРД после деления полинома числителя на полином знаменателя («уголком») представляется в виде суммы целой части – полинома Sm-n(x) и соответствующей правильной ПРД: 
Например, 
Определение 2. Разложением Правильной РД на простейшие называется ее представление в виде суммы «простейших » Рациональных Дробей вида
[3]
АЛГОРИТМ разложения Рациональной Дроби на простейшие.
0) В Неправильной РД ом, первообразная дляению подвального помещения в надлежащее санитарное состояние и будет проведена дезинсекция.
ещенвыделить ее целую часть и соответствующую Правильную РД.
1) Записать с неопределенными коэффициентами разложение ПРД в виде суммы простейших дробей [3]; в которой
- каждому множителю (x – a)1 и (x2+px+q)1, D<0 полинома Qn(x) в [2] соответствует одно слагаемое,
- каждому множителю (x – b)k≥2 и (x2+px+q) k≥2, D<0 соответствует К слагаемых,
| Множитель | Слагаемые | Множитель | Слагаемые |
(x – a)1; 
|
|
(x – b)k≥2; 
|
|
| x2+px+q, D<0 |
| (x2+px+q)k, D<0; k≥2 |
|
Например, 
2) Привести разложение к общему знаменателю 
и записать тождественное равенство полиномов числителей обеих частей равенства
3) Записать для “n” коэффициентов разложения СЛАУ (n уравнений с n неизвестными), приравняв коэффициенты при одинаковых степенях хк, к=0,1,.., n-1,
и найти ее решение методом Жордана-Гаусса
4) Записать полученное разложение РД на простейшие
Замечание. Коэффициент A К, соответствующий слагаемому 
, 
, может быть вычислен до решения СЛАУ по формуле
Например, 
Интегрирование рациональных дробей.
Пусть задана РД 
После выделения целой части и разложения ПРД на простейшие интегрирование рациональной дроби сводится к «табличному» интегрированию степенных функций и простейших рациональных дробей.
4. Интегралы 
после выделения полного квадрата и замены переменной 
приводятся к табличным:
4.1 
4.2 
4.3 или находятся по рекуррентной формуле 
Например, 
Таким образом, первообразная рациональной дроби выражается через четыре элементарные функции: полином, рациональная дробь, логарифм и арктангенс.
Пример.
