Основные числовые характеристики случайных величин.

Входной контроль для студентов магистратуры

По эконометрике.

 

Имеется показатель х и другой показатель y.

Необходимо установить зависимость, что между х и y существует связь и линейная зависимость.

После того как установили, что переменные х₁, х₂, …, х_n влияют на состояние y, можно определить количественное значение y.

 

y = а + в ₁х_{1 + … +} в_n х_n

 

 

Тема: Случайные величины и их оценки.

 

Вопросы:

1. Случайные величины и способы их описания.

_2. Основные числовые характеристики случайных величин.

_3. Оценки случайных величин и их свойства.

_4. Характеристики связей и разброса случайных величин (ковариация, дисперсия, корреляция).

 

1. Случайные величины и способы их описания.

 

 

СВ (дискретные и непрерывные).

Х: х є Ω – (из множества Ω).

 

Дискретные: непрерывные:

Каждый бросок температура воздуха

игральной кости - 50 ÷ + 50⁰ С

 

Описываются СВ с помощью закона распределения.

Используются правила.

 

Для дискретной СВ – закон распределения записывается с помощью ряда распределения.

 

Табл. значений х_i и их вероятности:

Х	Х1	Х2	…	Хn
Р	Р1	Р2	…	Рn

 

Для кубика составляем ряд распределения:

Х
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

 

Непрерывная СВ принимает бесконечные значения.

Закон распределения непрерывной СВ записывается с помощью функции распределения:

F (x) = Р { Х < х } – СВ примет значение не больше х.

 

x

Свойства функции:

 

1. она не убывает. Если х > х₂ то и F(x₁) > F(x₂)

 

 

F(x₂) x₂ F(x₁) x₁ x

P(x₂ < x < x₁)

 

2. F(- ∞) = 0.

3. F(+ ∞) = 1.

 

Вероятность попадания на интервал (один из способов задания СВ):

 

P(x₂ < x < x₁) = F(x₁) - F(x₂)

 

Другой способ описания СВ:

 

f (x) = F¹(x) – производная от функции распределения.

 

Она обладает тем свойством, что плотность распределения не отрицательна т. к. функция неубывающая.

 

 

Основные числовые характеристики случайных величин.

 

Числовые характеристики – числа, в сжатой форме выражающие наиболее существенные черты распределения случайной величины(CВ).

В силу определения, числовые характеристики СВ являются числами Н Е С Л У Ч А Й Н ЫМ И, определенными.

 

Наиболее важными являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и др.

 

Математическое ожидание (МО).

МО характеризует положение СВ.

f(x)

 

 

x

m_x

 

Математическим ожиданием (МО) или средним значением М(x) дискретной СВ Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

n

М(X) = Σ х_i р_i

i=1

_

(Для МО используются также обозначения: Е(x), Х.)

 

Для ряда распределения кубика МО определяется следующим образом:

М(X) = m_x = Σ х_i р_i

i=1

 

 

Х
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

 

Решение:

М(X) = 1* 1/6 + 2* 1/6 + 3* 1/6 + 4* 1/6 + 5* 1/6 + 6* 1/6 =

= 0.167 + 0.333 + 0.501 + 0.668 + 0.835 + 1.002 = 3.506

 

Полученный результат означает, что средний выигрыш

составит 3.506.

 

При n → ∞ МО представляет сумму ряда

∞

М(X) = m_x = Σ х_i р_{i ,} если он абсолютно сходится.

i=1

Свойства МО:

1) М(С) = C, где C – постоянная величина;

2) М(kX)=kM(X);

3) М(X ± Y)=M(X) ± M(Y);

4) М(X Y)=M(X) * M(Y), где X,Y – независимые СВ;

5) М(X ± С)=M(X) ± С;

6) М(X - a)= 0, где а = M(X).

 

Дисперсия СВ D(X). Дисперсия (ДСВ) характеризует отклонение (разброс, рассеяние, вариацию) значений СВ относительно среднего значения.

 

Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

D(X) = М[X - M(X)]²,

или D(X) = М[X -а]², где а = М(X),

или может использоваться формула D(X) = М[X² ] - m_x ² .

 

Если СВ Х - дискретная с конечным числом значений, то

 

n

D (X) = Σ (х_i - a_i)² р_i

i=1

 

Дисперсия D (X) имеет размерность квадрата СВ, что не всегда удобно.

 

Дисперсия также используется в качестве показателя

рассеивания СВ.

 

Любую СВ можно представить как Х = m_x + ε,

где ε – (эпсилон)- разброс. М(ε) = 0; D(X) = D(ε). Дисперсия СВ и ее разброс совпадают.

 

характеризует разброс СВ от ее МО.

 

f(x)

 

разброс

 

 

x

m_x

↔

 

 

Свойства дисперсии СВ:

1. D (С) =0, где С – постоянная величина;

2. D(kX)=k² D(X);

3. D(X) = М(X²) -а², где а = M(X);

4. D(X + Y)= D(X) + D(Y), где Х и У – независимые случайные величины.

 

Среднее квадратическое отклонение (СКО) σ_{х .}

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) σ_х случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из дисперсии:

σ_х = √ D (X) = √ Σ (х_i –m_x)² * р_i