Угол между прямой и плоскостью.

Тема: «Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трёх перпендикулярах »

План

1. Расстояние от точки до плоскости.

2. Расстояние между параллельными плоскостями.

3. Расстояние между прямой и плоскостью.

4. Теорема о трёх перпендикулярах.

5. Угол между прямой и плоскостью.

6. Решение задач.

Расстояние от точки до плоскости.

Рассмотрим плоскость α и точку А, которая лежит вне

этой плоскости. Как известно, из точки А можно провести

единственную прямую АH перпендикулярную плоскости α.

Проведем прямую АН перпендикулярно плоскости α, .

Определение. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α. То есть, перпендикуляр – это отрезок.

Определение. Пусть точка М другая произвольная точка плоскости α. Тогда отрезок АМ называется наклонной, а отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α.

Определение. Расстоянием от точки А до плоскости α называют длину перпендикуляра АН. Обозначается: ρ(А; α) = АН. Заметим, что АН – наименьшее из расстояний между точкой А и любой точкой плоскости. Действительно, в прямоугольном треугольнике АНМ перпендикуляр (катет АН) короче наклонной (гипотенузы АМ).

Таким образом, чтобы найти расстояние между точкой и плоскостью, нужно найти длину перпендикуляра от точки до плоскости.

 

Расстояние между параллельными плоскостями.

Плоскость α и плоскость β параллельны. На плоскости β

выберем произвольную точку А. Из точки А опустим

перпендикуляр АА₀ на плоскость α.

Перпендикуляр АА₀ - расстоянием между плоскостями α и β.

Заметим, что длина этого перпендикуляра не зависит от того,

какую точку мы выбрали.

Например, выберем другую точку В, опустим перпендикуляр ВВ₀. Прямые АА₀ и ВВ₀ перпендикулярны одной и той же плоскости, значит, прямые АА₀ и ВВ₀ параллельны. Тогда из свойств параллельных плоскостей отрезки АА₀ и ВВ₀ равны.

Расстояние между прямой и плоскостью.

Расстояние между прямой и плоскостью определяется в

случаях, когда прямая параллельна плоскости. Тогда все точки прямой а равноудалены от плоскости α. Выберем любую точку А на прямой а, опустим перпендикуляр АА₀ на плоскость α. Длина перпендикуляра АА₀ и называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью α.

Обозначается: АА₀= р(а; α ).

 

Теорема о трёх перпендикулярах.

Теорема. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярная к самой наклонной.

 

 

D

 

Доказательство.

Докажем, что прямая CD перпендикулярна прямой АС:

1.Известно, что прямая АВ перпендикулярна плоскости α, АС-наклонная к плоскости α, ВС-проекция наклонной АС, прямая CD принадлежит плоскости альфа, а так же прямая CD перпендикулярна прямой ВС по построению.

2.Рассмотрим плоскость АСВ: прямая CD перпендикулярна прямой ВС по условию, а так как прямая АВ перпендикулярна плоскости альфа, значит прямая АВ будет перпендикулярна и прямой CD, лежащей в этой плоскости (по теореме о перпендилурности прямой и плоскости).

3.Прямая CD перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АВ и ВС, принадлежащим плоскости АВС, значит прямая будет перпендикулярна и самой плоскости АВС - по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

4.Из признака перпендикулярности прямой и плоскости следует, что прямая CD перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АВС, значит прямая CD перпендикулярна прямой АС ч.т.д.

Существует так же и обратная теорема: Если провести прямую в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, то данная прямая будет перпендикулярна и к ее проекции.

Угол между прямой и плоскостью.

Определение. Проекция точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости.

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется

угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость,

достаточно опустить из любых двух ее точек

перпендикуляры на плоскость (спроектировать

эти точки), после чего провести через них

прямую – это и будет проекция.

Так, проекции всех точек данной прямой будут

лежать на одной прямой.

Доказательство. Пусть А - точка пересечения

прямой а и плоскости α. В и С - точки на прямой а,

и их проекции на плоскость α. Докажем, что А,

и лежат на одной прямой b.

Заметим, , так как , . Значит

если рассмотреть плоскость , то точки В и

будут принадлежать ей. Но плоскость

пересекает исходную плоскость по некоторой

прямой.

Значит раз точки А, и принадлежат обеим плоскостям, то они лежат на этой прямой, что и требовалось доказать.

 

6. Решение задач.

Задача 1. Рассмотрим куб .

1) Необходимо найти угол между прямой и плоскостью

ABC.

Искомый угол – это угол между самой прямой и ее проекцией.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно

взять две точки. Одной из них будет точка пересечения прямой и плоскости – точка А. Второй – проекция точки – точка D, т. к. боковое ребро куба перпендикулярно плоскости основания.

Значит, искомый угол – это угол , а он равен , так как это угол между диагональю и стороной квадрата.

2) Чему равен угол между и ?

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно взять две точки. Одной из них будет точка пересечения прямой и плоскости – точка . Второй – проекция точки D – точка A, т. к. боковое ребро куба перпендикулярно плоскости основания. Значит, искомый угол – .

Его можно найти из треугольника . Треугольник

Прямоугольный, так как , . Значит

.

Если взять сторону куба за 1, тогда AD=1, ,

Задача 2. Отрезок АД перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ =АС=5 см, ВС=6 см. АД=12 см.Найти расстояние от концов отрезка АД до прямой ВС.

Дано: ΔАВС-равнобедренный

АВ=АС=5 см, ВС=6 см, АD=12 см.

Найти: АЕ, DЕ.

Решение:

1.Д.п.АЕ ВС

2.ΔАВС-равнобедренный→АЕ-высота и медиана→

ВЕ=ЕС=3 см

3. АЕ= = =4 см.

4.ВС АЕ, ВС DА→ВС DЕ(по т.т.п.)

5. DЕ= = см.

Ответ: АЕ=4 см. DE= см.

Задача 3. Прямая ВД перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно, что ВД=9см, АС=10 см, ВС=ВА=13 см.

Найти расстояние:

а)от точки Д до прямой АС;

б)площадь треугольника АСД.

Дано: ВD (АВС), ВD=9см

АС=10 см, ВС=ВА=13 см

Найти: DЕ, S_ACD

Решение:

1.Проведём ВЕ перпендикулярно АС (ВЕ АС).

2.Так как треугольник АВС равнобедренный, то ВЕ –высота и медиана, значит СЕ=ЕА=5 см.

3.ВD АС, ВЕ АС→DЕ АС (по теореме о трёх перпендикулярах)

4.Расстояние от точки Д до прямой АС это отрезок ДЕ. Так как треугольник ВЕД прямоугольный, то по теореме Пифагора

=

В свою очередь ВЕ можно найти из прямоугольного треугольника СВЕ:

ВЕ= = =12 см.

5.В треугольнике АСД: АС-основание, ДЕ - высота, тогда по формуле нахождения площади треугольника(половина произведения основания и высоты) найдем площадь треугольника АДС:

S_ACD= АС*ДЕ= *10*15=75см²

Ответ:DE=15см, S_ACD=75см²

 

Контрольные вопросы

1. Что такое перпендикуляр?

2. Дайте определение наклонной.

3. Как найти расстояние между точкой и плоскостью?

4. Как найти расстояние между прямой и плоскостью?

5. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.

6. Дайте определение п роекции точки на плоскость.

7. Сформулируйте определение угла между прямой и плоскостью.

Литература

1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.].- 3-е изд.- М.: Просвещение, 2016.- 255с.

Дополнительная литература

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.