Подтвердите или опровергните следующие утверждения: Да или Нет
1.Многогранник, составленный из n-угольника и n-треугольников называется пирамидой
2.Высота пирамиды - это перпендикуляр, проведённый из вершины к основанию.
3. Пирамида может иметь 3 грани, перпендикулярные к плоскости основания.
4.Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?
5.Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?
6.Общая точка боковых граней пирамиды называется вершиной.
7.Боковая грань пирамиды - квадрат.
8.Основанием треугольной пирамиды является треугольник.
1. Теоретический материал:
1.Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис» или «пирамидос». Греки в свою очередь позаимствовали это слово из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово «пирамис» в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от формы хлебцев в Древней Греции («пирос» - рожь). В связи с тем, что форма пламени напоминает образ пирамиды, некоторые ученые считали, что термин происходит от греческого слова «пир» - огонь. В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид.
2.Сейчас же пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основание пирамиды; точки, не лежащей в плоскости основания – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания – боковыми ребрами. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания (используйте модель пирамиды, изготовленную дома). Треугольная пирамида называется тетраэдром.
3.При изучении понятия правильной пирамиды обратите внимание на два момента: основание пирамиды – правильный многоугольник, и отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой пирамиды. Устно докажите, что боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Доказательство данных фактов проводится устно:
1. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу высота пирамиды, а другим – радиус описанной около основания окружности. Эти прямоугольные треугольники равны. Следовательно, равны их гипотенузы.
2. Так как боковые ребра правильной пирамиды равны, то ее боковые грани - равнобедренные треугольники.
Так как А1А2…Аn – правильный многоугольник, то основания этих треугольников также равны друг другу. Значит, боковые грани равны (по трем сторонам прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит).
4. После этого изучите понятие апофемы правильной пирамиды (высота боковой грани правильной пирамиды, проведенной из ее вершины), при этом нужно подчеркнуть, что этот термин употребляется только для правильной пирамиды, хотя у неправильной пирамиды также могут быть равны высоты боковых граней.
5. При изучении теоремы о площади боковой поверхности правильной пирамиды полезна символическая запись доказательства. Пусть сторона основания n-угольной пирамиды равна а, апофема равна d, S∆ - площадь боковой грани. Тогда Sбок=n∙ S∆, Sбок=n∙ad, Sбок=(n∙a)∙d, Sбок= Pd, где P –периметр.
Презентация на тему: «Пирамида»: https://infourok.ru/prezentaciya-na-temu-piramida-10-klass-4312482.html
Мы продолжаем знакомство с многогранниками.
Напомню, что пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник. Высотой такой пирамиды называется отрезок, проведённый из вершины в центр основания.
1.Изобразим произвольную пирамиду SA1 A2… An.
2. Проведём секущую плоскость параллельно основанию, пересекающую боковые рёбра пирамиды в точках В1 В2… Вn.
3.Секущая плоскость разбила пирамиду на два многогранника, один из которых так же является пирамидой., а другой называется усечённой пирамидой.
Итак, усечённой пирамидой называется многогранник, гранями которого являются многоугольники А1 А2… Аn и В1 В2… Вn(верхнее и нижнее основания), расположенных на параллельных плоскостях и четырёхугольников А1 А2 В1 В2, А2 А3 В2 В3,…Аn-1 Аn Вn-1 Вn(боковые грани).
Отрезки, соединяющие вершины оснований называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды.
На чертеже изображена усечённая пирамида ABCDA1 B1 C1 D1.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из любой точки основания к плоскости другого.
Рассмотрим боковую грань А А1 В В1 усечённой пирамиды.
Рассмотрим боковую грань А А1 В В1 усечённой пирамиды.
Стороны А А1 и В В1 параллельны, так как принадлежат параллельным прямым по которым плоскость S АА1 пересекается с параллельными плоскостями альфа и бета.
Стороны А В и А1 В1 не параллельны, так как их продолжения пересекаются в точке S.
Таким образом мы доказали, что боковая грань правильной усечённой пирамиды
А А1 В В1 -является трапецией.
Очевидно, что все боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями.
Если усечённая пирамида получена путём сечения параллельно основанию правильной пирамиды, то усеченная пирамида будет так же правильной.
Основания правильной усечённой пирамиды –это правильные многоугольники, а боковые грани- равнобедренные трапеции.
Высота боковой грани называется апофемой.
Сумма площадей боковых граней называется площадью боковой поверхности усечённой пирамиды. Эта площадь равна произведению апофемы на полусумму периметров.
Доказательство следует из того, что боковые грани усечённой пирамиды- это равные равнобедренные трапеции, площади которых равны произведению полусуммы оснований на высоту- апофему. Вынося за скобку общий множитель –апофему и, в скобках получим сумму оснований. А это в свою очередь есть периметр оснований- правильных многоугольников.
В прикреплённой ссылке на учебник стр.69 Параграф 32, 33, 34.
Домашнее задание: задача№239.