Тема: ПЕРВООБРАЗНАЯ. ИНТЕГРАЛ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Определение. Если для любого 
из множества Х выполняется равенство 
, то функцию 
называют первообразной для функции 
на данном промежутке.
| Функция
| Первообразная
| Функция
| Первообразная
|
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
| 
|
Криволинейной трапецией называют фигуру ограниченную графиком этой функции, отрезком [a;b] и прямыми 
и 
.
Формула нахождения неопределенного интеграла:
Формула Ньютона –Лейбница:
Формула вычисления площади криволинейной трапеции:
Формула вычисления объема тела вращения:
| Правила нахождения первообразных | Правила нахождения интеграла. |
Постоянный множитель можно вынести за знак производной:
 где  ,
   .
|
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
 где
|
Производная суммы
|
Интеграл от суммы равен сумме интегралов;
|
Производная сложной функции
|
Формула замены переменной:
 где 
 и  - постоянные
|
УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИИЯМИ
Пример1. Вычислите интеграл: 
Решение: Одной из первообразных для подинтегральной функции будет 
. Следовательно, имеем 
.
Пример2. Найти одну из первообразных функции 
Решение: Используя, правила интегрирования и таблицу первообразных для функции 
при 
и для ,находим одну из первообразных данной функции:
Ответ: 
.
Пример 3. Для функции 
найти первообразную, график которой проходит через точку 
.
Решение: Общим видом первообразных для 
является функция 
.Решая уравнение: 
Таким образом,искомая первообразная есть функция
Ответ: 
.
Пример 4. Найдите неопределенный интеграл: 
.
Решение: Для первообразной является .Поэтому по правилу 3 получаем: 
.
Пример 5. Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: 
и 
Решение: Построим на координатной плоскости параболу с вершиной в точке 
и ветвями, направленными вверх. Проведем прямые 
,параллельные оси 
,проходящие соответственно через точки А(2;0) и В(3:0), а прямая у=0 совпадает с осью 
.
Тогда получим криволинейную трапецию АВСД, ограниченную сверху графиком функции ,прямыми и осью ,площадь которой можно вычислить,используя формулу вычисления площади криволинейной трапеции: 
.
Так как ,то, используя первое и второе правила нахождения первообразных, имеем 
.
Учитывая, что в данном случае 
,по формуле вычисления площади криволинейной трапеции получим:
.
Ответ: 
кв.ед.
Пример 6. Вычислим интеграл: 
Решение: Для функции первообразная равна , поэтому для функции 
первообразной является 
. Следовательно,
= 
.
Пример 7.
Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями 
Решение:
Рис.
V=V1 –V2 , где V1-объём тела,полученного при вращении криволинейной трапеции ОВСД, а V2 –объём тела полученного при вращении прямоугольника ОВРЕ вокруг оси абсцисс.
.
Ответ: 
.
Пример 8. Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени от 
до 
,если скорость точки меняется по закону υ(t)=3t2+2t+1.
Решение: Путь, пройденный точкой за промежуток времени от t=0 до t=5, есть 
.
РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО И СВЕРТЕ С ОТВЕТОМ.
1. Найдите, первообразную функции: 
Ответ: 
.
2. Найдите, первообразную функции: 
.
Ответ: 
3. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми 
осью 
и графиком функции 
.
Ответ: 6
4. Для функции найдите, первообразную, принимающее заданное значение в указанной точке: 
.
Ответ: 
5. Найдите, общий вид первообразных для функции: 
Ответ: 
6. Вычислите интеграл: 
.
Ответ: 
7. Решите уравнение: 
Ответ: 1
ТЕСТ №1
1. Найдите, первообразную функции 
:
А) 
В) 
С) 
D) 
Е) 
2. Найдите, первообразную функции 
А) 
В) 
С) 
D) 
Е) 
3. Вычислите интеграл: 
А) 
В) 
С) 
D) 
Е) 
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: 
А) 
В) 
С) 
D) 
Е) 
5. Вычислите интеграл, преобразуя подынтегральную функцию: 
А) В) 
С) 
D) 
Е) 
6. Тело движется прямолинейно со скоростью υ(t)=2t2+t(м/с),t1=1,t2=3. Вычислите путь пройденный телом за промежуток времени от t=t1 до t=t2:
А) 
В) 
С) 
D) 
Е) 
7. Вычислите интегралы: 
А) 10 В) 20 С)30 D)40 Е)50
8. При каких значениях 
выполняется равенство: 
А) 
В) 
С) 
D) 
Е) 
9. Вычислите: 
А) 
В) 
С) 
D) 
Е) 
10. Найдите, множество первообразных для функции: 
А) 
; В) 
;С) 
; D) 
; Е) 
.
ТЕСТ №2
1. Найдите, первообразную функции 
:
А) 
; В) 
; С) 
; D) 
; Е) 
.
2. Найдите, первообразную функции 
А) 
В) 
С) 
D) 
Е) 
3. Вычислите интеграл: 
А) 
В) 
С) 
D) 
Е) 
4. Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции 
прямыми 
А) 
В) 
С) 
D) 
Е) 
5. Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции: 
А) 
В) -2 С)3 D)-3 Е)0
6. Скорость прямолинейно движущегося тела равна υ(t)=4t-t2. Вычислите путь, пройденным телом от начала движения до остановки.
А) 
В) 
С) 
D) 
Е) 
7. Вычислите интеграл: 
.
А) 24 В) 44 С)42 D)22 Е) 0
8. Для функции 
, найти первообразную 
,график которой проходит через точку М (0;1)
А) 
В) 
С) 
D) 
Е) 
9. По заданной площади криволинейной трапеции найдите значение параметра 
,если 
А) 
В) 
С) D) 
Е) 
10. Найдите площадь фигуры ограниченной линиями: 
и 
.
А) 
В) 
С) D) 
Е) .
ОТВЕТЫ