1 Классические теории прочности
1.1 Теория максимальных нормальных напряжений
Исторически одна из первых теорий, которую предложил Г. Галилей в 1636 г., основана на гипотезе, что материал разрушается при достижении максимальным нормальным напряжением в некоторой точке предельных значений (прочность на растяжение или сжатие). Обобщением этой теории является ее распространение на материалы, у которых прочность на растяжение не равна прочности на сжатие
Условия отсутствия предельного состояния можно записать в виде
,
где
- предельные значения напряжений при растяжении и сжатии
(параметры материала);
- главные напряжения на площадке с индексом i.
Эта теория непригодна для описания поведения материала в сложном напряженном состоянии.
1.2 Теория максимальных относительных линейных деформаций
Теория Э. Мариотта основана на гипотезе, что разрушение материала наступает при достижении деформацией предельного, определяемого из опыта, значения. Однако эта теории плохо отражает поведение реального материала под нагрузкой, особенно в условиях сложного напряженного состояния.
где 
– коэффициент Пуассона материала.
Эта теория во многом аналогична первой. Опыты во многих случаях не подтверждают вторую теорию прочности. Достаточно приемлемые результаты можно получить, когда материал разрушается лишь путем отрыва. Но и здесь первая теория прочности оказывается предпочтительнее ввиду более понятного и простого механизма разрушения.
1.3 Теория максимальных касательных напряжений
Теория, которая предложена Ш. Кулоном в 1773 г., а позднее Х.Треска в 1869 г. [1], предполагает наступление предельного состояния тела, - разрушения или пластического течения, если максимальные касательные напряжения достигнут критического значения. Эта теория была положена в основу теории пластичности.
В системе осей 
предельная поверхность представляет собой правильный шестигранный цилиндр (призма Кулона), равнонаклоненный ко всем трем осям напряжений. Этот критерий был назван условием текучести и хорошо отражает поведение идеально пластического материала под произвольной сжимающей нагрузкой.
,
В частном случае изотропного тела предельная поверхность превращается в правильную шестигранную призму (призму Кулона). Однако этот критерий даже для пластического материала не пригоден в области растягивающих напряжений, когда разрушение происходит не пластическим сдвигом, а в виде отрыва. Для хрупких материалов этот критерий не пригоден ввиду того, что предельная огибающая кругов О. Мора имеет переменный угол наклона.
1.4 Энергетическая теория прочности
В основу положена гипотеза (Э.Бельтрами, 1885 г, М. Хубер, 1904 г.), что предельное состояние материала наступает, когда удельная потенциальная энергия формоизменения в данной точке достигнет предельной величины. После представления энергии формоизменения через главные напряжения условие прочности запишется в виде:
,
где 
- предельное значение напряженного состояния материала.
Рис. 1.4 –Цилиндр Мизеса
Оказалось, что этот цилиндр описан вокруг призмы Кулона и, по сути, не слишком от нее отличается.
Идея о том, что материал будет разрушаться при достижении энергии некоторого предела, была интуитивно близка многим механикам и физикам 19 и 20 столетия (Максвелл, Бельтрами, Мизес, Генки и. др.). Ряд ученых (Мизес в 1913 г) указывал на предпочтительность этого условия перед условием Кулона ввиду учета всех составляющих напряжений при определении предельного условия прочности, а также из-за упрощения математической записи уравнения предельной поверхности.
1.5 Сравнение классических теорий
Сравнение всех четырех классических теорий прочности можно видеть на рис. 1.5, где представлены в виде граничных линий следы предельных поверхностей всех теорий на плоскости 
: 1 – теория нормальных напряжений; 2 – теория максимальных относительных деформаций; 3 – теория максимальных касательных напряжений; 4 – теория удельной потенциальной энергии формоизменения.
Однако ни третья, ни четвертая теории прочности непригодны для описания поведения материалов при объемном растяжении, давая заведомо неверные результаты. Это ставит под сомнение основную физическую предпосылку, на которой основана четвертая теория, об определяющей роли энергии формоизменения материала в окрестности данной точки.
Для большинства других материалов (искусственных: бетон, строительные растворы, кирпич и др.; и естественных – почти все разнообразие каменных материалов и горных пород) характерно хрупкое разрушение по схеме отрыва и для них классические теории оказались дают удовлетворительные результаты лишь для узкого класса пластических материалов, главным образом металлов.
2 Современные теории прочности
2.1 Теория прочности О. Мора
Одной из первых и весьма плодотворных попыток создания общего для всего многообразия материалов критерия прочности была теория прочности О. Мора (1900 г.). В ее основе лежит предположение, что промежуточная компонента тензора напряжений не влияет на прочность материала, а предельное состояние возникает на площадках, которые всегда проходят через направление промежуточного главного напряжения.
При этом если на некоторой площадке тела с нормалью n, на которой действует нормальное 
и касательное 
напряжения возникает предельное состояние в виде неупругого сдвига (скольжения), то предельное значение касательного напряжения зависит от нормального напряжения на площадке.
Предельная поверхность строится на диаграмме О. Мора в виде огибающей наибольших (предельных) кругов напряжений. Такое представление напряженного состояния тела в виде кругов на диаграмме Мора и предельных поверхностей в виде огибающих наибольших кругов дало возможность исследователям значительно увеличить наглядность и упростить сравнительный поиск теорий прочности для разных материалов. Теория Мора не только характеризует предельное напряженное состояние материала, при котором происходит разрушение, но и предсказывает ориентацию предельной площадки, на которой реализуется предельное состояние.
В качестве примера на рис. 1.6 представлены предельные огибающие наибольших кругов напряжений для всех классических теорий прочности, при этом для удобства сравнения у них прочность на одноосное сжатие 
принята одинаковой. Как видно из графиков паспортов прочности, все они линейные, причем 3 и 4 совпадающие огибающие, параллельные оси нормальных напряжений.
Реальный паспорт прочности для большинства материалов, представленный кривой 5, разительно отличается от теоретических своей нелинейностью. Это доказывает непригодность классических теорий прочности для описания предельных состояний реальных материалов и, в первую очередь, горных пород и каменных (искусственных и естественных) материалов.
Чтобы избежать такого несоответствия, О. Мор предложил описывать предельную поверхность материала с помощью некоторой функции
,
а параметры этой функции определять из эксперимента.
Критерий прочности Мора (также как и другие теории) можно выразить в инвариантной (т.е. независимой от выбора системы координат) форме в пространстве главных напряжений, если известно уравнение огибающей в координатах 
. Коэффициент трения 
, равный тангенсу угла внутреннего трения 
по уравнению огибающей (1.5), равен:
. (1.6)
Из рис. 1.7 путем несложных геометрических построений можно записать выражения для напряжений на площадке сдвига через главные напряжения:
(1.7)
Запишем тождества, которые проверяются прямой подстановкой из (1.6):
, (1.8)
на основании чего получим инвариантную форму записи предельной кривой в пространстве главных напряжений:
(1.9)
Предложение Мора строить концепцию прочности материала, полагаясь на эксперимент, имеет и сильные и слабые стороны. Прогрессивность критерия (1.5) состоит в том, что появилась возможность описывать прочностные свойства реальных материалов с криволинейными огибающими. Недостаток, в свою очередь, можно усмотреть в отсутствии каких либо теоретических обоснований вида функции (1.5) и ограничений на количество экспериментальных параметров, что толкнуло многих исследователей на путь введения многочисленных эмпирических констант, а это нарушало главный принцип науки – использовать для описания любого явления минимальное число физических параметров при их максимальном теоретическом обосновании.
Принятое по умолчанию важное, но пока недоказанное, предположение О. Мора о несущественной роли промежуточного главного напряжения на прочность неоднократно подвергалось критике и отвергалось, тогда как его идея о возможности выбора экспериментальной функции в виде (1.5) была развита, модифицирована и усовершенствована впоследствии многими учеными. А. Надаи модифицировал идею О. Мора, опираясь на основные параметры энергетической теории прочности, и предложил описывать предельное состояние материала в виде зависимости между октаэдрическими касательным и нормальным напряжениями, которые действуют на октаэдрических площадках, т.е. площадках, равнонаклоненных к направлениям трем главных напряжений:
(1.10)
где 
2.2 «Обобщенные» критерии прочности
Более глубокое обобщение теории прочности О. Мора сделано М.М. Филоненко-Бородичем [8]. Сущность обобщения заключается в том, чтобы искать функцию критерия предельного состояния материала напряженного состояния в окрестности с учетом коэффициента Лодэ 
напряженного состояния в окрестности точки, т.е. перейти к учету влияния на прочность промежуточного главного напряжения:
где µ - коэффициент Лодэ, учитывающий вид напряженного состояния
в окрестности точки, - 1<µ<1.
Особое место занимает критерий прочности Давиденкова-Фридмана [3], в котором четко различаются два типа разрушения – отрывом или сдвигом, причем утверждается, что, в зависимости от условий проведения опыта металл может разрушаться по одному из этих механизмов. На этом основании сделано предположение, что у металла должно быть два параметра предельной прочности – сопротивление отрыву и сопротивление сдвигу, а самый простой способ учета двойственного характера разрушения металла – это рассматривать одновременно действие касательных и нормальных напряжений. В критерии Давиденкова-Фридмана вводится предел прочности по максимальному касательному напряжению 
(что допустимо только для пластических материалов, например, металлов) и предельное значение приведенных растягивающих напряжений 
. На основании этого вводится новый коэффициент 
– коэффициент жесткости нагружения, который равен отношению:
Приведенное растягивающее напряжение вычисляют по формуле Гука для наибольшего положительного удлинения, в котором оказался материал.
Если >1, - что означает превалирование касательных напряжений над приведенными растягивающими, - то нагружение считается мягким и разрушение материала будет вязким, т.е. от сдвига при малых удлинениях. Если <1, то нагружение считается жестким и происходит по механизму отрыва.
В качестве недостатков данного критерия разрушения в первую очередь укажем на невозможность его применения для материалов, которые не являются пластичными. Как известно, у этих материалов разрушение хрупкого типа происходит даже при отсутствии растягивающих напряжений в виде комбинации сдвигов и отрывов, что не вкладывается в схему Давиденкова-Фридмана.
В качестве одного из многочисленных критериев прочности, предложенных в виде комбинаций первого и второго инвариантов тензора напряжений, действующих в окрестности рассматриваемой точки, можно привести критерий Писаренко-Лебедева [13].
Здесь прослеживается близкая идейная аналогия с критерием Давиденкова-Фридмана, когда авторами введен дополнительный параметр 0<q<1, с помощью которого можно описать условие прочности для пластического материала при разрушении от сдвига q=1 или для предела прочности от разрыва q=0.
2.3.В. Новожилов установил в 1952 г., что эквивалентное напряжение по критерию пластичности потенциальной энергии изменения формы пропорционально квадратному корню из среднего значения квадратов касательных напряжений в точке, которое равно
где dΩ — элементарная площадка сферы, Ω — площадь поверхности сферы, τy — касательное напряжение в площадке сферы с нормалью y.
Выбор сферы в качестве замкнутой поверхности, окружающей рассматриваемую точку тела, объясняется тем, что только на сфере (ввиду ее полной симметрии) будет в равной мере представлено все множество площадок, проходящих через точку.
2.4 Пономарев показал в 1955 г., что оно (эквивалентное напряжение) пропорционально квадратному корню из минимального среднеквадратичного уклонения главных напряжений заданного напряженного состояния от некоторого равноосного напряженного состояния
Исследование этой величины на экстремум приводит к заключению, что минимум ее имеет место при
и равен
Рассмотренные выше два критерия пластичности наибольших касательных напряжений и потенциальной энергии изменения формы справедливы для изотропного материала, у которого пределы текучести при растяжении и сжатии одинаковы.
2.5 Математик и механик Р.Хилл в 1950г. нашел, что если принять материал изотропным и имеющим одинаковые пределы текучести при растяжении и сжатии, то тогда геометрическим образом условия текучести является поверхность цилиндра, который в пересечении с девиаторной плоскостью дает 12одинаковых выпуклых дуг. Очевидно, что окружность Максвелла — Хубера является хорошей аппроксимацией этих дуг. Таким образом, условие потенциальной энергии изменения формы не является гипотезой, как это часто излагается в курсах сопротивления материалов, а может быть доказано с точностью до аппроксимации.
Если вокруг окружности Максвелла — Хубера описать правильный шестиугольник, то соответствующая призма в пространстве главных напряжений является геометрическим образом критерия пластичности наибольшего приведенного напряжения [210]. Этот критерий был впервые предложен в 1940 г. механиком Александром Юльевичем Ишлинским (06.08.1913) [178], а затем, в 1951г., — Р. Хиллом и Г. Уиллсом [380]. В курсах сопротивления материалов обычно этот критерий не приводится, поскольку экспериментальные точки, как правило, располагаются между шестиугольником Треска — Сен-Венана и окружностью Максвелла — Хубера. Однако решение упруго пластических задач на основе критериев Треска — Сен-Венана и Ишлинского — Хилла позволяет дать нижнюю и верхнюю оценки решения задачи, основанного на условии пластичности Максвелла — Хубера. Следует отметить, что решение по первым двум условиям принципиально проще, чем решения по условию Максвелла — Хубера, так как эквивалентные напряжения в них линейно зависят от главных напряжений в отличие от условия Максвелла — Хубера.
Девиаторная плоскость по Р. Хиллу
Дополнение (описание критериев прочности из другого источника)