АЛГЕБРА
(ЧАСТЬ 1)
Материалы для практических занятий
и самостоятельной работы
для студентов факультета МиИТ
Курган 2013
Кафедра: «Алгебры, геометрии и методики преподавания
математики»
Дисциплины: «Алгебра»
(направления 010100.62 «Математика»; 050100.62)
Составили: канд. физ.-мат. наук О.Н. Шатных.
Утверждены на заседании кафедры «19» ноября 2013 г.
Рекомендованы методическим советом университета
«23» декабря 2013 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………………...4
Раздел 1 Алгебры………………………………………………………………….…5
Тема 1 Понятие алгебры…………………………………………………………….5
1 Понятие бинарной алгебраической операции…………………………………...5
2 Свойства бинарной алгебраической операции…………………………………..5
3 Виды алгебр. ………………………………………………………………………7
Тема 2 Поле комплексных чисел………………………………………………….10
1 Алгебраическая форма комплексного числа…………………………………...11
2 Геометрическая форма комплексного числа…………………………………...13
3 Тригонометрическая форма комплексного числа……………………………...14
3.1 Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме………………………………………………………..15
3.2 Формула Муавра………………………………………………………………..15
3.3 Извлечение корней n-ой степени из комплексного числа…………………...15
4 Двучленные уравнения…………………………………………………………..17
5 Геометрическое решение уравнений……………………………………………18
Раздел 2 Матрицы и определители……………………………….........................19
Тема 1 Матрицы. Определение матрицы, виды матриц, действия над матрицами.…………………………………………………….……………………19
Тема 2 Определители. Перестановки из n элементов. Подстановки n-ой степени. Определение определителя n-го порядка. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца. Следствие из неё……………..……………………………...23
Тема 3 Обратная матрица. Вырожденные и невырожденные матрицы. Обратная матрица и ее вычисление. Матричные уравнения……………………………….27
Раздел 3 Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений…………………………………………………………………………...29
Тема 1 Решение системы n – линейных уравнений с n неизвестными в матричном виде…………………………………………………………………….29
Тема 2 Правило Крамера………..…………………………………………………32
Тема 3 Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).....33
введение
Настоящие материалы составлены в соответствии с программой дисциплины «Алгебра» и предназначены для студентов направлений «Математика» и «Педагогическое образование» профиля «Математическое образование».
Разделы «Алгебры», «Поле комплексных чисел», «Матрицы и определители», «Системы линейных уравнений» изучаются в первом семестре. В данной брошюре представлены все темы раздела, которые выносятся на практические занятия. Для каждой темы указаны основные теоретические положения, приведены образцы решения типовых задач и список задач для решения.
Раздел 1 Алгебры
Тема 1 Понятие алгебры
Понятие бинарной алгебраической операции
Определение. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется правило (закон), по которому любым двум элементам из М, взятым в определенном порядке (т.е. паре (а,b)), ставится в соответствие единственный элемент с из этого же множества.
Пример. 1 Операция сложения на множестве чисел N, Z, Q, R.
2 Операция умножения на множестве чисел N, Z, Q, R.
Задачи для решения
1 Какие из арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) являются бинарными операциями:
а) на множестве {1,0,-1};
б) на множестве N;
в) на множестве Z?
2 Является ли бинарной операцией:
а) умножение на множестве иррациональных чисел;
б) сложение на множестве четных чисел;
в) сложение на множестве нечетных чисел;
г) нахождение десятичных логарифмов на множестве 
;
д) нахождение среднего геометрического двух чисел на множестве ;
е) нахождение наибольшего общего делителя на множестве N?
3 Являются ли действия, выполняемые по формулам:
а) a ◦ b = (a + b)²;
б) a ◦ b= 
в) a ◦ b = 
бинарными операциями на множестве Q, и если являются, то почему?
4 Являются ли алгебраической системой множество чисел вида 
относительно: а) сложения; б) вычитания; в) умножения?
5 Является ли алгебраической системой множество радиусов-векторов, исходящих из начала декартовой системы координат и расположенных в первой четверти координатной плоскости, с операцией: а) сложение векторов; б) вычитание векторов?
Свойства бинарной алгебраической операции
Определение. Операция ◦ на множестве М называется коммутативной, если для любых а и b из этого множества справедливо равенство
a ◦ b = b ◦ a.
Определение. Операция ◦ на множестве М называется ассоциативной, если для любых а, b, c 
M справедливо равенство
a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c.
Определение. Пусть на М задана операция ◦. Элемент е называется нейтральным относительно операции ◦, если для любого а 
М справедливо равенство
а ◦ е = е ◦ а = а.
Определение. Пусть на М задана операция ◦. Элемент аʹ называется симметричным к элементу а относительно операции ◦, если выполняется равенство
а ◦ аʹ = аʹ ◦ а = е.
По сложению, аʹ обозначают –а и называют противоположным. По умножению, аʹ обозначают 
и называют обратным.
Определение. Пусть на М задана операция ◦. Операция ◦ называется обратимой, если для любых а, b M уравнения а ◦ x = b, y ◦ a = b имеют решение, причем единственное.
Пусть дано множество, на котором выполнимы две операции ◦ и *.
Определение. Операция ◦ называется дистрибутивной относительно операции *, если для любых a, b, c M выполняются равенства
a ◦ (b*c) = (a ◦ b) *(a ◦ c),
(b*c) ◦ a = (b ◦ a) * (c ◦ a).
Пример 1 Докажем, что на множестве R бинарная операция, заданная формулой a ◦ b = 
коммутативна, но не ассоциативна.
Решение. Пусть a, b, c – любые действительные числа. В силу коммутативности сложения на R получим:
a ◦ b = 
b ◦ a,
т.е. бинарная операция нахождения среднего арифметического на R коммутативна. Далее,
(a ◦ b) ◦ c = 
(1)
и
a ◦ (b ◦ c) = 
(2)
Из результатов (1) и (2) следует, что при а ≠ с равенство (a ◦ b) ◦ c=a◦(b ◦ c) не является справедливым. Следовательно, заданная операция не ассоциативна на R.
Пример 2 Докажем, что во множестве К, содержащем не менее двух элементов, на котором формулой a ◦ b = b задана бинарная операция, не существует нейтрального элемента.
Решение
Допустим, что в К существует нейтральный элемент е, и пусть а – любой элемент из К. По определению нейтрального элемента а◦ е = а, а из условия примера следует, что а◦ е = е, т.е. а = е. Это означает, что К состоит из одного элемента. Полученный результат противоречит условию, а потому сделанное допущение ошибочно.
Задачи для решения
1 Являются ли коммутативными и ассоциативными на множестве Z бинарные операции сложения, умножения и вычитания?
2 Докажите, что на множестве бинарная операция а ◦ b = 
нахождения среднего геометрического коммутативна, но не ассоциативна.
3 Обладает ли множество чисел вида а + b 
, где a и b – любые целые числа, нейтральным элементом относительно обычного умножения? Проверьте, имеются ли в данной алгебраической системе обратные элементы для элементов 2 + и 5 - 2 . Обратима ли на данном множестве операция умножения?
4 Какие из нижеприведенных бинарных операций:
а) a ◦ b = 
;
б) a ◦ b = c, где с – наибольший общий делитель чисел а и b;
в) a ◦ b = m, где m – наименьшее общее кратное чисел а и b, коммутативны и какие ассоциативны на множестве N.
5 Покажите, что действие выполняемое по правилу a ◦ b = 
, является коммутативной, но не ассоциативной бинарной операцией на множестве R.
6 Докажите, что относительно обычного умножения множество А={x 
x=3k, k 
Z} не содержит нейтрального элемента. Обратима ли операция умножения на множестве А?
7 Пусть I – множество подмножеств некоторого непустого множества М. Существует ли в I нейтральный элемент (если существует, то какой) относительно операции объединения подмножеств на I; пересечения подмножеств? Какие элементы множества I имеют симметричные относительно операций объединения и пересечения? Обратимы ли указанные операции на множестве I?
8 Докажите, что на множестве Q действие, выполняемое по правилу a◦b = = 
является бинарной, коммутативной, ассоциативной, но необратимой операцией. Обладает ли алгебраическая система < Z; ◦ > нейтральным элементом, и если обладает, то каким именно?
Виды алгебр
Определение. Алгеброй называется любое непустое множество А, на котором задана некоторая система операций
S = { 
Обозначается (А, S), где А – множество, S – система операций.
Пример. (N, +), (Q, +, ∙)
Определение. Непустое множество М называется полугруппой, если в нем выполнима одна бинарная алгебраическая операция, которая является ассоциативной.
Пример. (N, +), (Z, ∙).
Определение. Непустое множество G называется группой, если в этом множестве выполнима одна бинарная алгебраическая операция ◦, которая обладает свойствами:
1) 
◦ (b ◦ c) = ( ◦ b) ◦ c, 
2) 
◦ e = e ◦ = 
;
3) 
◦ ʹ = ʹ ◦ = e.
Группы по сложению называются аддитивными; группы по умножению – мультипликативными.
Определение. Непустое множество G называется группой, если в этом множестве выполнима одна бинарная алгебраическая операция, которая является ассоциативной и обратимой.
Определение. Если в группе G операция коммутативна, то группа G называется абелевой.
Определение. Непустое множество К называется кольцом, если в нем выполнимы две бинарные алгебраические операции – сложение и умножение, удовлетворяющие условиям:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Примеры колец. При обычных операциях сложения и умножения кольцом является множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество действительных чисел.
Определение. Непустое множество Р называется полем, если в нем выполнимы две бинарные алгебраические операции сложение и умножение, удовлетворяющие аксиомам:
1)
2)
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
Пример 1 Доказать, что на множество Z образует группу относительно действия, заданного формулой
◦ 
Доказательство
1 Рассматриваемое на Z действие сводится к сложению или вычитанию целых чисел, а т.к. сложение и вычитание элементов из Z дает в результате элемент из Z, то на множестве Z рассматриваемое действие является бинарной операцией.
2 Проанализируем возможные случаи
a) Если a, b – четные числа, а с – любое число из Z, то
◦ 
◦ 
◦ 
) ◦ 
т.е. ◦ ◦ 
◦ ) ◦ 
.
б) Если a – четное число, b – нечетное, а с – любое число из Z, то
◦ ◦ 
◦ ) ◦ 
т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .
в) Если a – нечетное число, b – четное, а с – любое число из Z, то 
нечетно и потому
◦ ◦ 
◦ ) ◦ 
т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .
г) Если a, b – нечетные числа, а с – любое число из Z, то четно и потому
◦ ◦ 
◦ ) ◦ 
т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .
Итак, во всех возможных случаях заданная на Z бинарная операция является ассоциативной.
3 Т.к. 0 – четное число, то 0 ◦ 
Кроме того, если 
, то ◦ 0 = 
если же нечетно, то ◦ 0 = 
. Итак, 0 ◦ 
◦ 0, т.е. 0 является в Z нейтральным элементом относительно заданной операции.
4 Для любого элемента 
в Z существует обратный элемент: для четного обратным будет противоположное число 
, т.к. ◦ 
= 
; для нечетного обратным будет само число , т.к. ◦ = 
.
Итак, Z является группой относительно заданной операции.
Задачи для решения
1 Является ли множество Z полугруппой относительно: а) сложения, б) вычитания?
2 Является ли множество N полугруппой относительно операции нахождения наибольшего общего делителя?
3 Почему множество R не является полугруппой относительно действия, выполняемого по правилу ◦ b = 
для любых , b 
4 Выясните, какие из нижеприведенных множеств являются группами относительно нижеуказанных операций:
а) множество Z относительно вычитания;
б) множество четных чисел относительно умножения;
в) множество целых чисел, кратных любому заданному натуральному числу n, относительно сложения;
г) множество 
относительно умножения;
д) множество Q относительно умножения;
е) множество Q \ {0} относительно умножения;
ж) множество R \ {0} относительно умножения;
з) множество трехмерных (n-мерных) арифметических векторов относительно сложения;
и) множество чисел вида а + b 
относительно сложения, если а и b – любые рациональные числа;
к) множество многочленов одной и той же степени n от одного аргумента относительно сложения;
л) множество многочленов степени не выше n относительно сложения;
м) множество многочленов от одного аргумента относительно сложения;
5 На множестве Q 
{0} определено действие ◦ b = 
. Докажите, что относительно указанного действия данное множество является группой.
6 Является ли кольцом множество L чисел вида 
относительно обычных операций сложения и умножения?
7 Докажите, что если на Z задана операция a ʘ b = -ab, то алгебраическая система <Z; +, ʘ> является коммутативным кольцом с единицей. Каков единичный элемент этого кольца?
8 Докажите, что множество А чисел вида 2а + 2b 
где a, b – любые целые числа, является числовым кольцом.
9 Для каких чисел n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 существует поле из n элементов?
10 Почему кольцо {0} не является полем?
11 На множестве М = {a, b} сложение 
и умножение 
определены следующим образом:
Выясните, обладает ли это множество нулем и единицей и является ли система <M, 
> полем относительно заданных бинарных операций.