С любой точкой А плоскости XOY мы можем связать радиус-вектор и установить взаимно однозначное соответствие множества комплексных чисел z = a + b
с множеством радиус-векторов с координатами (a, b) (рисунок 3).
y
b A(a,b)
r
O a x
Рисунок 3 – Связь прямоугольной и полярной систем координат
Тогда
a = r cos , b = r sin
,
z = a + bi = r (cos + i sin
),
есть так называемая тригонометрическая форма комплексного числа.
Определение. = r
расстояние от О до А называется модулем комплексного числа.
Определение. Аргументом arg z комплексного числа z называется угол между положительным направлением оси ОХ и радиусом-вектором ОА.
.
Чтобы определить однозначно, нужно знать положение точки A на плоскости.
Если точка A находится в 1 или 4 четверти, то .
Если точка A находится во 2 или 3 четверти, то .
Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме
Умножение и деление комплексных чисел удобнее выполнить, если эти числа записаны в тригонометрической форме.
Пусть
,
тогда
,
а
.
Формула Муавра
При любом натуральном n
=
=
,
или
=
– это так называемая формула Муавра позволяющая находить целую степень комплексного числа.
Извлечение корней n-ой степени из комплексного числа
Пусть комплексное число z задано в тригонометрической форме
z = r (cos + i sin
)
0 + 0 i.
Тогда
.
k = .
Пример 1 Записать в тригонометрической форме комплексные числа:
.
Модуль этого комплексного числа числу z соответствует точка (1;1)
I четверти (рисунок 4). Поэтому
.
Запишем
y
1 (1+i)
0 1 x
Рисунок 4 – Число 1+i в комплексной плоскости
Окончательно запишем
Пример 2 Найти произведение и частное комплексных чисел z 1 и z 2
.
Решение:
,
.
Пример 3 Вычислить .
Решение:
Пример 4 Найти все значения корня 4-й степени из z =
Здесь r = 1, Тогда
.
Тогда при k = 0,
k = 1,
k = 2,
k = 3,
Задачи для решения
1 Записать данные комплексные числа в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы:
a) z = 2 + 2 i, б) z =
+ i,
в) z =1- i, г) z = -4,
д) z = 3 i, е) z = -2 i.
ж) z = -10; з) z = 6-6i;
и) z = -1 i; к) z =1
i.
2 Найти произведение и частное комплексных чисел и
в тригонометрической форме:
а)
б)
3 Вычислить:
а) +
б)
;
в) г)
д) ж)
;
з) и)
к) ; л)
;
м) н)
о)
4 Найти значения при n = 2, 3, 4, 6.
Двучленные уравнения
Определение. Уравнения вида называются двучленными, где
Решение этого уравнения находится в виде:
.
Решение двучленных уравнений сводится к извлечению корней n-ой степени из комплексных чисел.
Пример Решить уравнение = 0.
Решение
Перепишем уравнение в виде будем рассматривать
32 как комплексное число и представим его в тригонометрической форме:
.
Теперь по правилу извлечения корня из комплексного числа найдем
где k следует придать значения 0, 1, 2, 3, 4. Получим пять корней нашего уравнения:
Уравнение имеет один действительный корень и четыре комплексных.
Задачи для решения
1 Решить уравнения:
а) б)
в) г)
д) е) 8
ж) 16 з)
и) - ; к) 3
Геометрическое решение уравнений
Найти геометрическое решение неравенства .
Решение: ,
,
,
. Найдем модуль комплексного числа
.
.
Получим (1), возведем в квадрат правую и левую части (1), получим
.
– геометрически это круг с центром в точке A (-1; 1) и радиусом 3 (рисунок 5).
y
-1 0 x
Рисунок 5 – Решение неравенства
Задачи для решения
1 Найти решение систем: