С любой точкой А плоскости XOY мы можем связать радиус-вектор 
и установить взаимно однозначное соответствие множества комплексных чисел z = a + b 
с множеством радиус-векторов с координатами (a, b) (рисунок 3).
y
b A(a,b)
r
O a x
Рисунок 3 – Связь прямоугольной и полярной систем координат
Тогда
a = r cos 
, b = r sin ,
z = a + bi = r (cos + i sin ),
есть так называемая тригонометрическая форма комплексного числа.
Определение. 
= r 
расстояние от О до А называется модулем комплексного числа.
Определение. Аргументом arg z комплексного числа z называется угол 
между положительным направлением оси ОХ и радиусом-вектором ОА.
.
Чтобы определить однозначно, нужно знать положение точки A на плоскости.
Если точка A находится в 1 или 4 четверти, то 
.
Если точка A находится во 2 или 3 четверти, то 
.
Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме
Умножение и деление комплексных чисел удобнее выполнить, если эти числа записаны в тригонометрической форме.
Пусть
,
тогда
,
а
.
Формула Муавра
При любом натуральном n 
= 
= 
,
или
= 
– это так называемая формула Муавра позволяющая находить целую степень комплексного числа.
Извлечение корней n-ой степени из комплексного числа
Пусть комплексное число z задано в тригонометрической форме
z = r (cos + i sin ) 
0 + 0 i.
Тогда
.
k = 
.
Пример 1 Записать в тригонометрической форме комплексные числа:
.
Модуль этого комплексного числа 
числу z соответствует точка (1;1) 
I четверти (рисунок 4). Поэтому
.
Запишем
y
1 (1+i)
0 1 x
Рисунок 4 – Число 1+i в комплексной плоскости
Окончательно запишем 
Пример 2 Найти произведение и частное комплексных чисел z 1 и z 2
.
Решение:
,
.
Пример 3 Вычислить 
.
Решение:
Пример 4 Найти все значения корня 4-й степени из z = 
Здесь r = 1, 
Тогда 
.
Тогда при k = 0, 
k = 1, 
k = 2, 
k = 3, 
Задачи для решения
1 Записать данные комплексные числа в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы:
a) z = 2 + 2 
i, б) z = + i,
в) z =1- i, г) z = -4,
д) z = 3 i, е) z = -2 i.
ж) z = -10; з) z = 6-6i;
и) z = -1 
i; к) z =1 i.
2 Найти произведение и частное комплексных чисел 
и 
в тригонометрической форме:
а) 
б) 
3 Вычислить:
а) 
+ 
б) 
;
в) 
г) 
д) 
ж) 
;
з) 
и) 
к) 
; л) 
;
м) 
н) 
о) 
4 Найти значения 
при n = 2, 3, 4, 6.
Двучленные уравнения
Определение. Уравнения вида 
называются двучленными, где 
Решение этого уравнения находится в виде:
.
Решение двучленных уравнений сводится к извлечению корней n-ой степени из комплексных чисел.
Пример Решить уравнение 
= 0.
Решение
Перепишем уравнение в виде 
будем рассматривать 32 как комплексное число и представим его в тригонометрической форме:
.
Теперь по правилу извлечения корня из комплексного числа найдем
где k следует придать значения 0, 1, 2, 3, 4. Получим пять корней нашего уравнения:
Уравнение имеет один действительный корень и четыре комплексных.
Задачи для решения
1 Решить уравнения:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 8 
ж) 16 
з) 
и) - 
; к) 3 
Геометрическое решение уравнений
Найти геометрическое решение неравенства 
.
Решение: , 
, 
, 
. Найдем модуль комплексного числа 
.
.
Получим 
(1), возведем в квадрат правую и левую части (1), получим 
.
– геометрически это круг с центром в точке A (-1; 1) и радиусом 3 (рисунок 5).
y
-1 0 x
Рисунок 5 – Решение неравенства
Задачи для решения
1 Найти решение систем:
