Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.
Рассмотрим метод Гаусса на примере системы из трёх уравнений с тремя неизвестными:
Первое уравнение оставим без изменения, а из второго и третьего исключим слагаемые, содержащие 
. Для этого второе уравнение разделим на 
и умножим на 
, а затем сложим с первым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на 
и умножим на 
и сложим с первым. В результате исходная система примет вид:
Теперь из последнего уравнения легко найти 
, затем из второго уравнения 
. Для этого третье уравнение разделим на 
, умножим на 
и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:
Отсюда легко найти 
, затем из второго уравнения 
, и из первого 
. Вместо того чтобы писать систему уравнений выписывают расширенную матрицу системы, которая состоит из коэффициентов этой системы и свободных членов. Приводим ее к ступенчатому виду.
Матрица имеет ступенчатый вид, если
· все ненулевые строки (имеющие по крайней мере один ненулевой элемент) располагаются над всеми чисто нулевыми строками;
· ведущий элемент (первый ненулевой элемент строки при отсчёте слева направо) каждой ненулевой строки располагается строго правее ведущего элемента в строке, расположенной выше данной.
Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому (треугольному) виду.
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:
I Перестановка двух строк матрицы.
II Умножение всех элементов одной строки матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.
III Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.
IV Вычеркивание нулевой строки.
Пример:
Решить методом Гаусса систему уравнений:
Запишем расширенную матрицу системы: 
Поменяем местами первую и третью строки
Мы получили единицу в верхнем углу. Теперь нужно получить нули в первом столбце 2-ой и 3-ей строки. Для этого ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на -2:
К третьей строке прибавим первую, умноженную на 3:
Вторую строку умножим на -1/5, а третью строку на -1/2
К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на -2
Из последней строчки находим, что 
.
Из второй строки находим y: 
И из первой строки найдем x: 
Таким образом, мы нашли решение системы:
Решить методом Гаусса следующие системы уравнений:
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
Шатных Олеся Николаевна
АЛГЕБРА
(ЧАСТЬ 1)
Материалы для практических занятий
и самостоятельной работы
для студентов факультета М и ИТ
Редактор
____________________________________________________________________
Подписано к печати Формат бумаги 60 
84 1/16 Бумага тип № 1
Печать цифровая Усл. печ.л. 2,25 Уч.-изд.л.
Заказ Тираж 30 Не для продажи
____________________________________________________________________
РИЦ Курганского государственного университета.
640669, г. Курган, ул. Гоголя, 25.
Курганский государственный университет.