| 1 в. | 1. Уравнение линии  привести к каноническому виду и построить ее.
| 2. Найти расстояние между центрами линий 2-го порядка  и  .
|
| 2 в. | 1. Уравнение линии  привести к каноническому виду и построить ее.
| 2. При каких значениях  прямая  касается линии  .
|
Решение проверочной работы:
| 1 вариант | |
1.
 - это уравнение параболы с вершиной (1;1) и ветвями направленными вправо.
 - ось симметрии.
Найдем пересечение с осью ОХ: у=0, тогда х=6
Ответ:
| 2. У окружности центр в точке С(0;0).
Найдем центр другой окружности:
А(4;0) – центр другой окружности.
АС=4
Ответ: 4.
|
| 2 вариант | |
1.
Это уравнение гиперболы с центром (2; -1) и полуосями  и  .
Ответ:  .
| 2. Прямая касается эллипса , если система  имеет одно решение или уравнение  имеет один корень. Квадратное уравнение  имеет один корень при  .
Ответ: при  .
|
Работа в аудитории:
| 1.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-2;3;1) и параллельно координатной плоскости ОХУ. | 1.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-2;3;1) и ось ОУ. | 1.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(5;-4;6) и отсекающей равные отрезки на положительных координатных полуосях. |
2.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;3;-4) и параллельной векторам  и  .
| 2.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-1;0) и параллельной векторам  и  .
| 2.5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(2;0;-1), В(-3;1;3) параллельно вектору  .
|
| 3.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(-2;0;0), В(0;4;0) и С(0;0;5). | 3.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-2;3) и линию пересечения плоскостей  и  .
| 3.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(4;2;3) и В(2;0;1) и перпендикулярной к плоскости  .
|
4.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-3;-2) параллельно плоскости  .
| 4.4. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости  и удаленной от точки М(3;4;-2) на расстояние, равное 5.
| 4.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(0;-3;2) параллельно плоскости, проходящей через точки А(0;-2;-1),В(1;-3;4), С(1;1;-1). |
5.3. Установить какие из следующих уравнений задают параллельные плоскости, а какие – перпендикулярные:
1)  ,
2)  ,
3)  .
| 5.4. Найти величину острого угла между плоскостями  и  .
| 5.5. Найти расстояние между параллельными плоскостями  и  .
|
Решения:
1.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-2;3;1) и параллельно координатной плоскости ОХУ.
Если плоскость параллельна координатной плоскости ОХУ, то ее уравнение имеет вид 
.
Если плоскость проходит через точку М(-2;3;1), то имеем, что 
. Подставив полученные данные в уравнение , получим 
.
Ответ: 
.
1.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-2;3;1) и ось ОУ.
Если плоскость проходит через координатную ось ОУ, то ее уравнение имеет вид 
.
Т.к. плоскость проходит через точку М(-2;3;1), то 
.
Подставив полученные данные в уравнение , получим 
.
Ответ: 
.
1.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(5;-4;6) и отсекающей равные отрезки на положительных координатных полуосях.
Воспользуемся уравнением плоскости в отрезках, где 
и получим 
.
Т.к. плоскость проходит через точку А(5;-4;6), то 
.
Подставив найденное значение, получим 
.
Ответ: 
.
2.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;3;-4) и параллельной векторам и .
.
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через данную точку М(2;3;-4) и перпендикулярно вектору 
, которое имеет вид 
и получим 
Ответ: .
2.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-1;0) и параллельной векторам и .
В уравнение подставим 
и получим 
Ответ: 
.
2.5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(2;0;-1), В(-3;1;3) параллельно вектору .
В уравнение подставим 
и получим 
Ответ: 
.
3.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(-2;0;0), В(0;4;0) и С(0;0;5).
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через 3 точки:
Ответ: 
.
3.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-2;3) и линию пересечения плоскостей и .
Пересечением плоскостей является прямая, которая определяется с помощью системы 
Данная система является неопределенной, т.е. имеет бесконечное множество решений, а нам нужно два.
Пусть 
, тогда 
Пусть 
, тогда 
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через 3 точки М(1;-2;3), А(0;0;3) и В(3;-8;-4):
Ответ: 
.
3.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(4;2;3) и В(2;0;1) и перпендикулярной к плоскости .
В уравнение подставим 
и получим 
Ответ: 
.
4.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-3;-2) параллельно плоскости .
Воспользуемся уравнением , где 
, и получим 
Ответ: .
4.4. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости и удаленной от точки М(3;4;-2) на расстояние, равное 5.
Тогда уравнение искомой плоскости имеет вид 
. Воспользуемся формулой нахождения расстояния от точки до плоскости 
, где 
, и получим 
или 
Ответ: 
или 
.
4.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(0;-3;2) параллельно плоскости, проходящей через точки А(0;-2;-1), В(1;-3;4), С(1;1;-1).
Воспользуемся уравнением , где 
, и получим 
Ответ: .
5.3. Установить какие из следующих уравнений задают параллельные плоскости, а какие – перпендикулярные:
1) , 2) , 3) .
1) и 2) уравнения задают параллельные плоскости, т.к. 
.
1) и 3) уравнения задают перпендикулярные плоскости, т.к. 
.
2) и 3) уравнения задают перпендикулярные плоскости, т.к. 
.
Ответ: 1) и 2) уравнения задают параллельные плоскости,
1) и 3) уравнения задают перпендикулярные плоскости,
2) и 3) уравнения задают перпендикулярные плоскости.
5.4. Найти величину острого угла между плоскостями и .
Воспользуемся формулой нахождения угла между плоскостями 
, где 
и получим 
.
Ответ: 
.
5.5. Найти расстояние между параллельными плоскостями и .
Воспользуемся формулой нахождения расстояния от точки (2;0;0) до плоскости
.
Ответ: 
.