Осн элементарные ф-и и их графики

Числовые последоват и ряды и их предел

Если кажд натур числу n поставлено соотв число x_n, то множ-во занумерованных чисел х_1,х_2,х_3….х_n наз числ-й послед-ю (х_n)=x_1,x₂,..

Отдельные числа х_n наз членами послед-и, а член х_n наз общим членом послед-и.

Послед-ть есть ф-я, отображающая мн-во натур-х чисел n в мн-во дейст-х чисел R.

Если дана послед-ть х_n и из некот-го бесконеч-го подм-ва ее членов образована новая послед-ть, порядок следования кот-й такойже, то она наз подпослед-ю этой послед-ти.

Число а наз пределом послед-ти х_n при n и обозн _n, если для люб полож-го сколь угодно малого числа сущ такой норер, зависячий от , что для всех номеров n больше или равно n выпол нерав _n _e _n _e _n-a

Числ послед-ть, имеющ-я пред-л наз сходящейся, а послед кот-я пред-а не имеет наз расход-ся.

Числ послед х_n наз бескон-но боль-й, если для люб сколь угодно боль-го полжит числа М сущ такой номер , что для всех номеров боль-х чем М вып нерав _n|

Послед-ть наз бескон-о мал-й числ посл-ю, если , т. е. для люб сколь угодно мал-о чи-а сущ такой номер , что для всех ном больш либ равн-х вып нерав

Св-ва БМП

1.суммаа конеч-го числа БМ чисел послед есть БМ числ послед-ть

2.произвед-е огранич-й послед-ти на БМ-ю есть БМ-я послед-ть

3.произвед-е конеч-о числа БМП-ти есть БМП-ть

4.если (х_n)-ББП, то 1/х_n - БМП

Если

5.числ послед х_n имеет пред-л число а, тогда и т. т., когда ее можно представ виде х_n=а+ , где

Св-ва сход послед-ти

1.сход послед имеет единств пред-л

2.всякая подпосл-ть сходящ-я послед-ти сход-ся к тому же пред-лу

3.сход послед-ть ограничена

4.если пред-л послед _n равен а , то начин с некот номера имеет тот же знак, что и число а

5.если пред-л послед _n равен а, у_n=в и а ,то начин-я с некот номера _n будет у_n

6.если _n=а, у_n=в, пред-л _n рав а, пред-л у_n рав в и нач с некот номера _n у_n, то а

7.теорема о трех послед. Пусть для 3-х послед-й _n,у_n_,z_n вып нерав _n ,у_n _,z_n и пред-лы послед-й совпад-т и равны некот числу а, тогда пред-л,у_n будет равн-ся этому числу а

Теорема 1. Правила нахожд пред-ов послед-й. если послед _n,у_n сходятся их пред-ы рвны соответств а и в, то пред-л суммы последоват равен сумме пред-ов этх послед-й

Числовые ряды

Числовым рядом наз.выражение ввида ∑∞_п=1u_n=u₁+u₂+…+u_n+… ---(1) где u₁,u_2.,u_n—действительные числа, которые наз.членами рядов, u_n-общий член ряда.

Сумма 1-ых n-рядов наз.n-частичной суммой рядом (1) и обозн. S_n= u₁+u₂+…+u_n если сущест.конечный предел S= _n –(2) то говорят что ряд (1) сходится и этот предел наз.суммой ряда (1).Если предел (2) не сущ. Или равен ∞ то ряд (1) наз.расходящимся, такой ряд суммы не имеет.

Св-ва:

1)если ряд (1) сходится и его сумма равна S то ряд , с-некоторое не нулевое действ.число, также сходится и его сумма равна c*S

2)если сходится ряд (1) и сходится ряд сумма ряда (1) =S₁,а второго =S₂. и его сумма равна S= S₁+ S₂.

3)если к ряду (1) добавить или отнять конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходится или расход.одновременно.

Необходимо признак сходим.ряда.

Теорема1: Если ряд(1) сходится, то общий член этого ряда u_n стремится к нулю при n→∞.

Достаточные признаки сходимости знаков постоянных рядов в общим случаи не предостовляется возможности установить сход или расход. Поэтому сход и расход устанавл с помощью достаточных признаков сход рядов.

Теорема(признак сравнения): Пусть даны 2ряда –(1) и -(2) если выполнены неравенство u_n=v_n то из сход ряда(2) след расход ряда(1) а из расход ряда(1) след сход ряда(2).

Теорема(второй признак) Пусть даны 2 положител ряда (1) и (2) если сущ конечный отличный от нуля то ряды (1) и (2) сход или расход одновременно.

Теорема (признак Даламбера) Пусть дан ряд (1) с положител членами и сущ конечный или бесконечный предел тогда ряд(1) сход при 1 расход используем другой признак.

Теорема(радикальный признак Коши) Пусть дан ряд (1) с положит членами и сущ конечн или бесконечн предел = тогда при 1 расход используем другой признак.

Функция 1. Множества

Множ-ом наз. Совокупность объектов 1-ой природы (А,В,С..)

Объекты, принадл-е множ-ву(образующие это множ0во) наз. Элементами множ-ва (а,в,с) аϵА – элем-т принадл-т множ-ву А;

Множ-во, кот-е не содержит элементов наз. Пустым.

Мн-во А наз. Подмн-ом мн-ва В, если каждый элем-т мн-ва А явл. Элемен-ом мн-ва В.

Мн-во А и В наз. Равными или совпадают, если мн-во А явл. Подмн-ом мн-ва В.

Объединение мн-в А и В наз. Мн-во, сост-е из тех элем-ов, кот-е принадлеж-т хотябы 1-му из тих мн-в.

Пересечение мн-в А и В наз мн-во сост. Из элем-ов каждый из кот-х принадлежит одновременно и мн-ву А и мн-ву В.

2. числовые промежутки.

Числ. Промежут-ми наз.подмн-ва мн-ва действительных чисел.

Пусть х₀ϵ R (действит. Число)

Окрестностью т. х₀наз. Любой интервал ав, содержащий т. х_0.В частности интервал х₀ наз. Эпсилон( -окрестностью х₀

_, где х₀наз центром интервала, а положит. Число (эпсилон) наз его радиусом.

Понятие функции

Пусть даны 2 мн-ва соответств. f, кот-е каждого элем-та х ставит соответств-е 1-н предмет У наз. функ-й у=f(x) . при этом х наз. Областью определения ф-и (f) от мн-ва х.

Способы задания

Ф-ю можн. Задать графически, в виде таблицы, формулы.

Пусть задана ф-я f x , если элем-ми мн-ва Х и У явл. Действит. Числа, то задана числовая ф-я.

при этом переменная х наз. Независимой перемен-й, а у зависимой перемен. Или ф-ей. Относительно перемен-х х и у говорят, что они наход. В функц. Зависим-ти.

Графиком ф-и наз. Мн-во всех точек плоскости оху, для каж-ой из кот-х х явл. Значением аргумента, а у – соотв. Значением ф-и.

Осн. Хар-ки ф-и

1.Ф-я наз. Четной, если выполн. Усл. ф-я нах. Нечетной, если выполн. Усл.

2.Ф-я и мн-во ₁ , если для люб-х знач-й аргумента ₁, х₂ ϵ ₁из неравенства ₁˂ х₂ f(x₁)˂f(x₂), то ф-я f наз возрастающей на мн-ве ₁, если же из нерав. ₁˂ х₂ f(x₁)≤f(x₂), то ф-я (f) наз неубывающей на мн-ве ₁. Если из неравен. ₁˂ х₂ f(x₁)>f(x₂), то ф-я (f) наз убывающей на мн-ве D₁. Если же из нерав. ₁˂ х₂ f(x₁)≥f(x₂), то ф-я (f) наз невозрастающей на мн-ве ₁. Возраст-е, невозраст-е, убыв-е, неубыв-е ф-и на мн-ве ₁ наз монотонными на этом мн-ве. Возраст-е и убыв-е ф-и наз строго монотоннами

Числ. Промежутки, на кот-х ф-я монотонна наз промежутками монотон-ти ф-и.

3.Ф-я наз ограниченной на мн-ве , если сущ. Такое положит-е число М, что для всех х из мн-ва выполн. Неравенство . Отсюда следует, что график огранич-й ф-и распологается между горизонт. Прямыми.

4.Периодичность. Ф-я наз периодической на этом мн-ве, если сущ такое положит число Т, что для люб-го при этом Т наз периодом ф-и (f)

Обратная ф-я

Рассм ф-ю с мн-ом значений , если каждому знач-ю из мн-ва соотв-т единствен-е знач-е , то определена ф-я и мн-ам знач-й X такая ф-я наз обратной ф-и и запис. В виде x=f^-1(y)= . из опред-я обрат-й ф-и след-т, что ф-я имеет обрат-ю тогда и т. т., когда эта ф-я задает взаимно однозначное соотв-е между мн-ом определения и мн-ом значения. Люб-я строго монотонная ф-я имеет обратную.