Логарифмическая функция, её свойства и график

Немного теории.

Логарифмическая функция. Логарифмы

Задача 1. Найти положительный корень уравнения x⁴ = 81
По определению арифметического корня имеем x=4√81=3x=814=3

Задача 2. Решить уравнение 3^x = 81
Запишем данное уравнение так: 3^x = 3⁴, откуда x = 4

В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени. Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение 3^x = 80 таким способом решить не удаётся. Однако это уравнение имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводится понятие логарифма числа.
Уравнение a^x = b, где a > 0, a≠1a≠1, b > 0, имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом числа b no основанию a и обозначают log_ab
Например, корнем уравнения 3^x = 81 является число 4, т.е. log₃81 = 4.

Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, a≠1a≠1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b

Например:

log₂8 = 3, так как 2³ = 8

log319=−2log3⁡19=−2, так как 3−2=193−2=19

log₇7 = 1, так как 7¹ = 7

Определение логарифма можно записать так:

alogab=baloga⁡b=b

Это равенство справедливо при b > 0, b > 0, a≠1a≠1. Его обычно называют основным логарифмическим тождеством.

Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.
Действие нахождения числа по его логарифму называют потенцированием.

Вычислить log₆₄128
Обозначим log₆₄128 = х. По определению логарифма 64^x = 128. Так как 64 = 2⁶, 128 = 2⁷, то 2 ^6x = 2⁷, откуда 6x = 7, х = 7/6.
Ответ log₆₄128 = 7/6

Вычислить 3−2log353−2log3⁡5
Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим

3−2log35=(3log35)−2=5−2=1253−2log3⁡5=(3log3⁡5)−2=5−2=125

Решить уравнение log₃(1-x) = 2
По определению логарифма 3² = 1 - x, откуда x = -8

Свойства логарифмов

При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

Пусть а > 0, a≠1a≠1, b > 0, c > 0, r — любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

1) log_a(bc) = log_ab + log_ac

2) logabc=logab−logacloga⁡bc=loga⁡b−loga⁡c

3) log_ab^r = r log_ab

Десятичные и натуральные логарифмы

Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью микрокалькулятора. И в том и в другом случае находятся только десятичные или натуральные логарифмы.

Определение. Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут
lg b вместо log₁₀b

Определение. Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e — иррациональное число, приближённо равное 2,7. При этом пишут ln b вместо log_eb

Иррациональное число e играет важную роль в математике и её приложениях. Число e можно представить как сумму:
e=1+11+11⋅2+11⋅2⋅3+⋯+11⋅2⋅3⋅⋯⋅n+…e=1+11+11⋅2+11⋅2⋅3+⋯+11⋅2⋅3⋅⋯⋅n+…

или

e=∞∑n=01n!e=∑n=0∞1n!

e≈2,7182818284e≈2,7182818284

Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию.
Для этого используется формула замены основания логарифма:

logab=logcblogcaloga⁡b=logc⁡blogc⁡a

где b > 0, a > 0, a≠1a≠1, c > 0, c≠1c≠1

Следствия из формулы замены основания логарифма.
При c = 10 и c = e получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:
logab=lgblga,logab=lnblnaloga⁡b=lg⁡blg⁡a,loga⁡b=ln⁡bln⁡a

Логарифмическая функция, её свойства и график

В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция
y = log_ax
где а — заданное число, a > 0, a≠1a≠1

Логарифмическая функция обладает свойствами:
1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел.

2) Множество значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел.

3) Логарифмическая функция не является ограниченной.

4) Логарифмическая функция y = log_ax является возрастающей на промежутке (0;+∞)(0;+∞), если a > 1,
и убывающей, если 0 < a < 1.

5) Если a > 1, то функция y = log_ax принимает положительные значения при х > 1,
отрицательные при 0 < x < 1.
Если 0 < a < 1, то функция y = log_ax принимает положительные значения при 0 < х < 1,
отрицательные при х > 1.

Ось Oy является вертикальной асимптотой графика функции y = log_ax

Отметим, что график любой логарифмической функции y = log_ax проходит через точку (1; 0).
При решении уравнений часто используется следующая теорема:

Теорема. Если log_ax₁ = log_ax₂ где a > 0, a≠1a≠1, x₁ > 0, x₂ > 0, то x₁ = x₂

Логарифмическая функция y = log_ax и показательная функция y = a^x, где a > 0, a≠1a≠1, взаимно обратны.