Тяготение
В отличие от звёзд, которые сохраняют своё взаимное расположение в пространстве в течение столетий, планеты описывают среди звёзд сложнейшие траектории.
Условное изображение наблюдаемого движения Марса на фоне неподвижных звезд
Для объяснения петлеобразного движения планет Аристотель и Птолемей (II в. н.э.), считая Землю расположенной в центре Вселенной, предположили, что каждая из планет движется по малому кругу (эпициклу), центр которого равномерно движется по большому кругу, в центре которого находится Земля (так называемая птолемеева геоцентрическая система мира). То есть орбиты планет возникают в результате сложных движений по системе окружностей (для описания орбиты Марса требовалось около десятка окружностей различного диаметра).
В начале XVI в. польским астрономом Коперником (1473-1543) была сформулирована гипотеза гелиоцентрической системы: наблюдаемое движение небесных тел объясняется движением Земли и других планет вокруг Солнца и суточным вращением Земли. Утверждать в начале XVII века, что планеты вращаются вокруг Солнца, а не вокруг Земли, было ересью. Джордано Бруно, открыто защищавший гелиоцентрическую систему Коперника, был осуждён инквизицией и сожжён на костре. Великий Галилей, несмотря на дружбу с папой римским, был заточён в тюрьму, осуждён инквизицией и вынужден был публично отказаться от своих взглядов. Немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571-1630) поставил задачу доказать, что Марс и Земля вращаются вокруг Солнца. Он пытался найти орбиту простейшей геометрической формы, которая точно соответствовала бы измерениям положения планет. После многих лет сложных вычислений, обработки результатов наблюдений датского астронома Браге (1546-1601) Кеплер смог сформулировать три простых закона движения планет (не только планет, но и их спутников):
Первый закон. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Эллиптическая орбита планеты массой m << M. a – длина большой полуоси, F и F' – фокусы орбиты
Второй закон. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает одинаковые площади.
Закон площадей – второй закон Кеплера
Третий закон (1619 г.): Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.
|
или 
Третий закон Кеплера выполняется для всех планет Солнечной системы с точностью выше 1 %.
(Эллипс. Эллипс можно построить с помощью нити, карандаша и двух булавок. В точках F1 и F2 плоской поверхности втыкают булавки, концы нити закрепляют на них, натягивают нить карандашом, помещая его в точку P, и описывают им эллипс. Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса. Ясно, что эллипс - это кривая, сумма расстояний от любой точки которой до фокусов (двух фиксированных точек) остаётся постоянной (одно из определений эллипса). Ещё одно свойство: отрезки MF1 и MF2 образуют с касательной к эллипсу в точке M одинаковые углы, т.е. луч света или звуковая волна, вышедшие из точки F1, попадут в результате отражения в точку F2. На этом принципе основано устройство "шепчущей галереи". Точка пересечения прямой, проходящей через фокусы, с ближайшей точкой эллиптической орбиты называется перигелий, дальней - афелий).
аконы Кеплера, найденные из наблюдений, были выведены Ньютоном как строгое решение задачи двух тел (в действительности, в результате взаимного влияния планет Солнечной системы, траектории планет - сложные пространственные кривые, которые можно интерпретировать как эллиптические лишь за время одного-двух оборотов).
Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений. Законы Кеплера нуждались в теоретическом обосновании. Решающий шаг в этом направлении был сделан Исааком Ньютоном.
Ньютоном был установлен закон всемирного тяготения: между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними:
|
где M и m – массы Солнца и планеты,
r – расстояние между ними,
G = 6,67·10–11 Н·м2/кг2 – гравитационная постоянная.
Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, уже говорилось, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу.
Эта сила называется гравитационной или силой всемирного тяготения. Силы тяготения всегда есть силы притяжения и направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела. Коэффициент G называется гравитационной постоянной.
Закон всемирного тяготения установлен для тел, принимаемых за материальные точки. Если же размеры взаимодействующих тел сравнимы с расстоянием между ними, то эти тела следует разбить на точечные элементы, подсчитать силы притяжения между всеми попарно взятыми элементами, а затем геометрически их сложить (проинтегрировать), что является довольно сложной математической задачей. Впервые экспериментальное доказательство закона всемирного тяготения для земных тел, а также определение гравитационной постоянной G было проведено английским физиком Кавендишем (1731-1810).
Идея опыта Кавендиша, применившего крутильные весы, такова. Лёгкое коромысло A с двумя одинаковыми шариками (массой m=729 г) подвешено на упругой нити; на коромысле C укреплены на той же высоте массивные шары (массой M=158 кг). Поворачивая коромысло C вокруг вертикальной оси, можно изменять расстояние между шарами с массами m и M. Под действием пары сил, приложенных к шарам m со стороны шаров M, коромысло A поворачивается в горизонтальной плоскости, закручивая нить до тех пор, пока момент сил упругости не уравновесит момент сил тяготения. Зная упругие свойства нити, по измеренному углу поворота можно найти силы притяжения, а так как массы шаров известны, то и вычислить значение G.
Значение G, приводимое в таблицах физических констант, равно
G = 6,6720*10-11 Н м2/ кг2,
т.е. два точечных тела массой по 1 кг, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, притягиваются с силой 6,6720*10-11 Н - сила гравитационного взаимодействия может быть значительной только в случае больших масс.
Сила тяжести, вес
На любое тело, расположенное вблизи поверхности Земли, действует сила тяготения F, под влиянием которой (и в согласии со вторым законом Ньютона) тело будет двигаться с ускорением свободного падения g. В системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой m действует сила
P = mg,
называемая силой тяжести.
Все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением (Галилей), т.е. в данном месте Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел. Вблизи поверхности Земли оно изменяется с широтой: от 9,780м/с2 на экваторе до 9,832м/с2 на полюсах. Это обусловлено вращением Земли вокруг своей оси и несферичностью Земли (экваториальный и полярный радиусы Земли равны 6378 км и 6357 км, соответственно). При решении практических задач полагают g = 9,81м/с2. Если пренебречь вращением Земли вокруг своей оси, то сила тяжести и сила гравитационного тяготения равны между собой (тело находится на поверхности Земли):
где M - масса Земли, R - расстояние между телом и центром Земли. Если тело расположено на высоте h от поверхности Земли, то
В физике применяется также понятие веса тела.