Краткие теоретические сведения: двумерные дискретные векторы.

ЗАНЯТИЕ 10. Предельные теоремы теории вероятностей

Цель занятия: изучение двумерных дискретных векторов, их законов распределения и числовых характеристик.

Краткие теоретические сведения: двумерные дискретные векторы.

Пусть на одном и том же вероятностном пространстве (, F, P) задано n случайных величин , , …, . Совокупность случайных величин называется многомерной (n-мерной) случайной величиной, или (n-мерным) случайным вектором.

Пример 1. Широта X и долгота Y падения метеорита на Землю представляют собой двумерный случайный вектор . В эту модель можно ввести также третью координату Z – время от начала наблюдений до момента падения первого метеорита на Землю. Тогда получится трехмерный случайный вектор .

Пример 2. Успеваемость студента, окончившего курс обучения в вузе, характеризуется системой n случайных величин – оценками, проставленными в его дипломе.

Рассмотрим на одном и том же вероятностном пространстве (, F, P) несколько случайных величин . Так как множества , т.е. являются событиями, то и их пересечение . Поэтому существует вероятность этого события.

Многомерной функцией распределения называется функция .

В дальнейшем изложении ограничимся случаем двух случайных величин . Поэтому будем рассматривать .

Замечание 1. Геометрически значение – это вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной (на рис. 1 этот квадрант показан штриховкой).

Замечание 2. С помощью , можно вычислять вероятности попадания случайной точки в полуполосу или в прямоугольник:

а) (рис. 2 а);

б) (рис. 2 б);

в)

(рис. 2 в);

а б в

Рис. 2.

Пример 3. Дана двумерная функция распределения: , где , . Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми , , , .

Решение.

.

Ответ: .

Из формулы вычисления вероятности попадания в прямоугольник и определения многомерной функции распределения , вытекают ее свойства, которые доказываются аналогично одномерному случаю:

1. по каждому аргументу не убывает и непрерывна слева.

2. .

3. .

4. а) При двумерная функция распределения становится функцией распределения компоненты X: .

б) При двумерная функция распределения становится функцией распределения компоненты Y: .

Двумерная случайная величина называется дискретной, если случайные величины Х и Y дискретны.

Если случайная величина Х может принимать только значения (для простоты изложения ограничимся только конечным множеством значений), а случайная величина Y – значения , то двумерный случайный вектор может принимать только пары значений , где , . Также как и в одномерном случае, распределение двумерной дискретной случайной величины естественно описывается с помощью таблицы:

Y X			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
			…		

В этой таблице и .

Одномерные законы распределения отдельных компонент случайного вектора выражаются через вероятности совместных значений по формулам:

, ,

где суммирование распространяется на все возможные значения индексов i или j. Уточним, что для получения значения вероятности для некоторого фиксированного значения i, надо сложить вероятности , стоящие в i -ой строке таблицы, а для получения значения вероятности для некоторого фиксированного значения j, надо сложить вероятности , стоящие в j -ом столбце таблицы. При этом удобно одномерные законы распределения отдельных компонент записывать в той же таблице (см. ее последнюю строку и последний столбец). В правом нижнем углу таблицы обязательно должна находиться единица, являющаяся результатом суммирования вероятностей в ее последней строке (последнем столбце) и соответствующая условию нормировки. С помощью таблицы нетрудно определить функцию распределения .

Также легко по таблице вычисляется вероятность любого события B, задаваемого в виде произвольной области на плоскости:

.

Пример 4. Закон распределения двумерного дискретного случайного вектора задан таблицей:

Найти: одномерные законы распределения компонент X и Y; вероятность . Составить функцию распределения .

1) Одномерные законы и распределения компонент X и Y соответственно построены в таблице:

Y X	–1
	0,1	0,06	0,16
	0,3	0,18	0,48
	0,2	0,16	0,36
	0,6	0,4

2) .

3) Согласно определению функции распределения . Напомним, что геометрически значение – это вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной . Для вершины этого квадранта, согласно условию задачи, есть двенадцать областей, образованных тремя вертикальными прямыми , , и двумя горизонтальными прямыми , .

На рис. 3 показан случай, когда вершина находится внутри прямоугольника , . При этом внутри квадранта находится только одна точка с координатами , в которой имеется ненулевая вероятность, равная 0,1. Функцию распределения удобно задавать в виде таблицы (ее значение для случая, когда вершина квадранта находится внутри прямоугольника , выделено жирным шрифтом):

y x
		0,1	0,16
		0,4	0,64
		0,6

Пример 5. Известна функция распределения двумерного дискретного случайного вектора :

y x
		0,5	0,5	0,5
		0,5	0,75	0,75
		0,5	0,75	0,875
		0,5	0,75

Составить функции распределения и компонент X и Y, а затем построить их законы распределения.

Решение. Учитывая, что , , получим («проходя» соответственно по последнему столбцу и последней строке таблицы):

Значит, для случайной величины X функция распределения испытывает «скачки» в точках , для случайной величины Y – в точках . Поэтому законы распределения компонент выглядят следующим образом:

X						Y
	0,5	0,25	0,125	0,125			0,5	0,25	0,25

Задачи для решения на занятиях:

Л-2, №№18.378, 18.385, 18.389, 18.411, 18.420.

Задачи на дом:

Л-2,№№ 18.383, 18.388, 18.390, 18.412, 18.416.