ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 4.4. Допустим, что функция полезности ЛПР логарифми­ческая U(W) = ln (W) и весь его капитал составляет 5 тыс. руб.

Возникают две ситуации:

1. С вероятностью 0,5 ЛПР может выиграть и проиграть 1 тыс. руб. Есть ли смысл покупать страховой полис, устраняющий риск, за 125 руб.?

2. ЛПР рискнул, отказался от страхового полиса и проиграл 1 тыс. руб. Та же ситуация возникла во второй раз. Следует ли ему застрахо­ваться от риска на прежних условиях (125 руб. за страховой полис). Что целесообразнее: приобрести полис или принять участие в игре?

Задача 4.5. Предположим, что ваша функция полезности определя­ется логарифмической зависимостью U(W)= ln (W) и вы сталкиваетесь с ситуацией, когда можете с равными шансами выиграть и проиграть

1 тыс. руб. Сколько вы готовы заплатить, чтобы избежать риска, если текущий уровень вашего благосостояния равен 10 тыс. руб.? Сколько вы заплатили бы, если бы ваше состояние было 1 млн руб.?

Задача 4.6. Мелкий бизнесмен сталкивается с ситуацией, когда с вероятностью 10 % пожар может уничтожить все его имущество, с вероятностью 10 % - уменьшить его недвижимость до 50 тыс. руб., с вероятностью 80 % огонь не принесет ему вреда и стоимость его иму­щества останется равной 100 тыс. руб. Какую максимальную сумму он готов заплатить за страховку, если его функция полезности имеет лога­рифмический вид U(W) = ln(W), а страховые выплаты составляют 100 тыс. руб. для первого случая и 50 тыс. руб. для второго случая?

Задача 4.7. Пусть функция полезности «нового русского» имеет вид:

U(W) = 10 + 2 W,

где W - денежный выигрыш.

Бизнесмен может вложить в строительство магазина 25 тыс. руб. и считает, что с вероятностью 0,5 он получит прибыль в 32 тыс. руб. и с вероятностью 0,5 потеряет весь свой капитал. Определите:

• Следует ли осуществлять инвестирование проекта?

• Если будет сделано инвестирование, то какова ожидаемая полез­ность этого мероприятия?

Задача 4.8. В профессиональном теннисе нередко имеет место практика дележа призов за первое и второе места поровну между фи­налистами (тайный сговор до начала состязания). Например, если пер­вый приз равен 100 000 дол., а второй - 32 000 дол., то каждый полу­чает по 66 000 дол. (66 000 = (100 000 + 32000) / 2). Определите:

• Если игрок склонен к риску и уверен, что его выигрыш и проиг­рыш равновероятны (50 %), то согласится ли он участвовать в дележе?

• Предположим, что функция полезности одного из игроков имеет вид, представленный на рис. 4.6. Пожелал бы такой игрок участвовать в дележе призов, если шанс выиграть составляет 50 %?

• Как правило, игроки, попавшие в финал, не соглашаются на пред­варительный дележ призов, поскольку они уверены в своей победе. Какова должна быть минимальная вероятность выигрыша, чтобы с представленной на рис. 4.6 функцией полезности рассчитывать на по­лучение приза за первое место?

Рис. 4.6. Функция полезности одного из игроков в задаче 4.8

Задача 4.9. Предполагается, что типичная функция полезности дохода для человека имеет вид, показанный на рис. 4.7. Определите:

• Предпочтет ли такой человек получить со 100 %-ной определенно­стью доход В или принять участие в игре, в которой с вероятностью 0,5 получает доход А и с вероятностью 0,5 - доход С, где В = А/2 + С/2?

Рис. 4.7. Типичная функция полезности дохода для человека

• Предпочтет ли человек с такой функцией полезности получить со 100 %-нои определенностью доход D или принять участие в игре, в которой выигрывает сумму С с вероятностью 0,5 и сумму Е с вероят­ностью 0,5 (D=C/2 + E /2)?

Задача 4.10. Управляющий банком во время своего отпуска желает совершить кругосветное путешествие, которое стоит 10 000 дол. По­лезность путешествия можно оценить количеством денег, потраченных на отдых (W).

Пусть его функция полезности выражается зависимостью U(W) = ln(W). Определите:

• Если существует вероятность, равная 0,25, потерять во время путешествия 1 000 дол., то какова ожидаемая полезность кругосветного путешествия?

• Отдыхающий банкир может приобрести страховку от потери 1 000 дол. за 250 дол., купив, например, дорожные чеки. Покажите, что ожидаемая полезность в случае, когда он покупает страховку, выше по сравнению с ситуацией, когда потеря 1 000 дол. происходит без стра­хования.

• Какова максимальная денежная сумма, которую банкир готов зап­латить за страховку от потери 1 000 дол.?

Глава 5 ФИНАНСОВЫЕ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ РИСКА

5.1. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЛАНИРОВАНИЯ ФИНАНСОВ

Опишем модели оптимального многоэтапного планирования ин­вестиции в различные проекты. Индекс риска, связанного с реали­зацией каждого из проектов, оценивается экспортно по десятибал­льной шкале. Каждому допустимому проекту отвечает свой задан­ный индекс риска. Общий подход к построению моделей в форме линейного программирования демонстрируется на задачах 5.1 и 5.2.

Задача 5.1. Акционерное общество (АО) закрытого типа зак­лючило контракт на покупку нового оборудования для производ­ства железобетонных блоков стоимостью 750 000 дол. В соот­ветствии с условиями контракта 150 000 дол. в качестве аванса необходимо уплатить через 2 месяца, а остальную сумму - через 6 месяцев, когда оборудование будет установлено. Чтобы рас­платиться полностью и в указанные сроки, руководство АО пла­нирует создать целевой фонд, предназначенный для инвестиций. Поскольку инвестиционная деятельность принесет дополнитель­ную наличность к моменту расчета за приобретенное оборудова­ние, отложить следует не всю сумму в 750 000 дол., а меньшую. Сколько именно, зависит от имеющихся возможностей и правиль­ности организации процесса инвестирования. Акционерное об­щество решило сосредоточиться на 4 направлениях (12 возмож­ностях) использования средств целевого фонда. Данные для за­дачи финансового планирования приведены в табл. 5.1.

Руководство АО ставит перед собой три основные цели:

1) при данных возможностях инвестирования и утвержден­ного графика выплат должна быть разработана стратегия, мини­мизирующая наличную сумму денег, которые АО направляет на оплату оборудования по контракту;

Таблица 5.

Направления использования инвестиций	Возможные начала реализа­ции инвестици­онных проектов, мес.	Длительность инвестицион­ного проекта, мес.	Процент за кредит	Индекс риска
А	1,2,3,4,5,6		1,5
В	1,3,5		3,5
С	1,4		6,0
D

 

2) при разработке оптимальной стратегии средний индекс риска инвестиционных фондов в течение каждого месяца не должен превышать 6. Этот показатель индекса риска, как пред­полагается, отвечает возможностям менеджера фирмы по управ­лению проектами;

3) в начале каждого месяца (после того, как сделаны новые инвестиции) средняя продолжительность погашения инвестици­онных фондов не должна превышать 2,5 месяца. Причины те же, что и в п. 2.

Таким образом, среди потенциально реализуемых проектов выбираются наиболее экономически эффективные, при этом проекты повышенной рисковости должны компенсироваться менее рисковыми, а очень длинные проекты должны выполнять­ся одновременно с более краткосрочными. Для решения данной задачи необходимо, во-первых, подготовить и систематизировать имеющуюся исходную информацию и, во-вторых, построить адекватную сформулированным целям экономико-математичес­кую модель. Динамика возможных вложений и условий возврата денежных средств отражена в табл. 5.2.

Обозначения в модели:

А_i - объем инвестиций в направление (проект) А в начале месяца i (i = 1,2,...,6);

В_i - объем инвестиций в направление (проект) В в начале месяца i (i = 1,3,5);

Таблица 5.2

С_i - объем инвестиции в направление (проект) С в начале месяца i (i = 1,4);

D_i - объем инвестиций в направление (проект) D в начале месяца i (i = 1);

К - объем инвестиций в начале первого месяца.

Цели, на достижение которых направлена инвестиционная деятельность АО, а также необходимые ограничения формализу­ются следующими соотношениями:

1. Начальная сумма инвестиций К должна быть минималь­ной:

К ® min.

2. Согласно табл. 5.2 балансовые ограничения на структуру инвестиций для каждого месяца имеют вид:

3. Ограничения на средневзвешенные риски проектов (для каждого месяца)*:

4. Ограничения на средний срок погашения инвестиционно­го фонда (для каждого месяца):

 

* Запись А В означает, что из истинности условия А вытекает условие В.

 

Таким образом, задача описывается моделью линейного про­граммирования, имеющей 19 ограничений в форме равенств и неравенств и 13 переменных.* Оптимальное решение, найден­ное с помощью специальной компьютерной программы на ПК IBM PC/AT, имеет вид:

 

* Последние два ограничения в блоке 4 в силу неотрицательности искомых переменных выполняются всегда, и их можно не учитывать.

 

Благодаря полученному оптимальному решению удалось обеспечить уплату в срок обусловленных контрактом 150 000 дол. и вместо необходимых для конечных расчетов 600 000 дол. (750 000 - 150 000 = 600 000 дол.) заработать К = 683 176,44 дол., часть из которых способствовала уменьшению долговых обя­зательств по контракту (на 13,86 %).

Оптимальное решение показывает, каким неочевидным зара­нее, но эффективным способом распределяются инвестиционные ресурсы по месяцам реализации проекта.

Это демонстрирует возможности линейного программирова­ния, обусловливая эффективность того, что на первый взгляд таковым не казалось.

Задача 5.2. В табл. 5.3 отражены пять проектов, которые конкурируют между собой за получение инвестиционных фон­дов компании. Мы видим, какие наличные деньги будут получе­ны на вложение одного доллара.

Таблица 5.3

Год	Эффективность инвестиционного проекта на один вкладываемый доллар
А	В	С	D	E
Первый	-1,00		-1,00	-1,00
Второй	+0,30	-1,00	+1,00
Третий	+1,00	+0,30			-1,00
Четвертый		+1,00		+1,75	+1,40

 

Например, проект А - это инвестиции, которые можно сде­лать в начале первого года на два следующих года, причем в конце этого же года можно возвратить 30 центов на вложенный доллар, а в конце следующего года можно дополнительно полу­чить еще 1 дол. Максимальная сумма, которая может быть вло­жена в этот проект, составляет 500 000 дол. Проект В полностью аналогичен проекту А, но вложение денег можно сделать только в начале следующего года и т.д. Деньги, полученные в результа­те инвестиций, можно реинвестировать в соответствии с предло­женной схемой. В дополнение к этому компания может получать по 6 % годовых за краткосрочный вклад всех денег, которые не были вложены в инвестиции в данном году.

У компании имеется 1 000 000 дол. для инвестиций. Она хочет максимизировать сумму денег, накопленных к конечному перио­ду. Сформулируем задачу линейного программирования и полу­чим решение на ЭВМ.

Решение. Построим экономико-математическую модель и приведем полученное на ЭВМ оптимальное решение.

Обозначения:

a₁, b₁, c₁, d₁, е₁ - инвестиции в проекты А, В, С, D, Е соот­ветственно; индексы 1,2,3 указывают первый, второй и третий годы вложения инвестиций;

s₁, s₂, s₃ - суммы, которые можно положить под краткосроч­ные 6 % соответственно в первом, втором, третьем годах.

Экономико-математическая модель:

а) в проект А в первый год не может быть вложено более 500 000 дол.:

а₁ £ 500 000;

б) поскольку у компании имеется 1 000 000 дол., то во все проекты эта сумма должна быть вложена в первом году (иначе к конечному периоду компания не максимизирует своих накоп­лений):

a₁, + с₁ + d₁+ s₁ = 1 000 000;

в) аналогичный баланс на второй год:

0,30 a₁ + 1,1 с₁ + 1,06 s₁ = b₁ + s₂;

г) аналогичный баланс на третий год:

а₁ + 0,3 b ₂ + 1,06 s₂ = e₃ + s₃;

д) максимальный доход к конечному периоду:

b₂ + 1,75 d₁ + 1,4 e₃ + 1,06 s₃ ® max.

Полученное оптимальное решение:

Максимальный доход к конечному периоду равен 1 797 600 дол., что указывает на высокую эффективность инвестиционного про­цесса (прирост на 79,76 %). Остальные не приведенные значения указанных переменных модели равны нулю.

5.2. ОЦЕНКА ТЕКУЩЕЙ СТОИМОСТИ ФИРМЫ

Будем рассматривать экономическое поведение неограничен­но долго работающей акционерной фирмы в условиях неопреде­ленности.

Покажем, что для такой фирмы, функционирующей во вре­мени, существует простое правило, которому она должна следо­вать, чтобы максимизировать свою прибыль: максимизировать текугцую стоимость фирмы (включая и стоимость потенциаль­ной возможности выполнения ею проектов).

5.2.1. ЧИСТАЯ ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ (БЕЗРИСКОВАЯ СИТУАЦИЯ)

Дается ответ на вопрос: сколько вы сегодня заплатите за проект, который через год даст 100 дол. дохода? Плата составля­ет X дол., r - заданный процент прибыли (r % годовых - коэф­фициент дисконтирования):

Рассмотрим безрисковую ситуацию, которая обеспечивает­ся государственными ценными бумагами (облигациями, серти­фикатами и т.д.).

Общее правило: если через t лет мы получим чистые налич­ные в стоимостном выражении NCF, то приведенная к начально­му моменту стоимость проекта PV равна:

Величину PV можно интерпретировать как сумму ожидае­мого дохода минус процент на капитал в качестве компенсации за ожидание.

Исходя из формулы (5.1) выявим некоторые практически важные закономерности.

1. Существует обратная зависимость между величиной PV и продолжительностью периода времени, через которую сумма NCF будет получена: PV для периода t будет больше, чем для периода t + i. Другими словами, сегодняшние деньги дороже завтрашних даже при отсутствии инфляции. А инфляция этот процесс только усиливает.

2. Существует обратная зависимость между величиной РV при определенном размере NCF и коэффициент дисконтировая r: чем больше r, тем значение PV меньше при NCF = const, т.е. чем больше r, тем более сегодняшние деньги дороже завтрашних.

3. Существует прямая зависимость между PV и NCF при фиксированных значениях r и периоде выплаты t.

Пусть в течение периода t мы получаем: через год – NCF₁, через 2 года – NCF₂ ,..., через t лет – NCF_t и пусть r_t – ежегод­ный процент на капитал, который мы получаем через t лет (предполагается, что процент на капитал может ежегодно менять­ся, как это и наблюдается на практике). Тогда приведенная к на­чальному моменту стоимость PV равна:

Суть формулы (5.1) при различных значениях г графически отражена на рис.5.1.

Рис. 5.1. Темпы спада pV в зависимости от времени и коэффициента дисконтирования

Пример 5.1. Пусть в конце 1986 г. руководству одной из фирм США предложили участвовать в строительстве и эксплуатации нового офиса в течение 6 лет. Строительство должно начаться 1 января 1987 г. и закончиться 31 декабря 1987 г. Доходы от сдачи здания в аренду и расходы известны с определенностью и пред­ставлены в табл. 5.4 (цифры условные).

Таблица 5.4

Год	Арендные платежи (доход), тыс. дол.	Затраты, тыс. дол.	Чистая прибыль NCF, тыс. дол.

 

Предполагается для простоты, что платежи и поступления имеют место в конце каждого гада. В конце 1992 г. стоимость здания составляла бы 1 млн дол. Какова приведенная стоимость (к началу 1987 г.) проекта в конце 1992 г. - начале 1993 г., если процентные ставки государственных облигации, соответствую­щие одному, двум,..., шести годам, будут такими, как показано в табл. 5.5?

Таблица 5.5

Год выплаты
Процентная ставка (г %)	5,75	6,00	6,25	6,50	6,75	7,00

 

В 1987 г. здание еще строилось и прибыли не давало. Поэто­му NCF₁ = 0.

С учетом данных табл. 5.4 и 5.5 приведенная к начальному моменту (1987 г.) стоимость проекта PV (строительство здания и сдача его в аренду) равна:

Пример 5.2. Рассчитаем чистую приведенную стоимость проекта NPV. Она равна разности между приведенной стоимос­тью всех начальных поступлений от проекта и текущей платой за проект:

NPV = PV - плата за проект. (5.3)

Пусть согласно условиям примера 5.1 фирме предложили 33%-ное участие в шестилетнем соглашении за 450 тыс. дол. Тогда для фирмы

NPV = 0,33*1 393 966 - 450 000 = 10 009 дол. (5.4)

Таким образом, с помощью формул (5.1) - (5.4) отражена экономика одного проекта фирмы. Потенциальные возможности фирмы можно охарактеризовать, по существу, портфелем ее проектов.

Ценность фирмы - это ее чистая приведенная стоимость плюс чистая приведенная стоимость портфеля проектов, т.е. сумма чистых приведенных стоимостей проектов портфеля.

Каким должно быть деловое поведение фирмы, желающей максимизировать свою приведенную стоимость?

Пусть фирма представляется совокупностью п проектов. Станет ли она богаче, приобретя еще один, (n +1)-й, проект? Очевидно, что чистая приведенная стоимость фирмы увеличива­ется, если предельная выгода (приведенная стоимость дополни­тельного проекта) будет больше предельных затрат (того, что мы заплатили за дополнительный проект), т.е. фирма станет богаче, если чистая приведенная стоимость дополнительного проекта положительна.

Фирма может выиграть от сокращения, продав проекты (ка­питал), которые имеют отрицательную чистую приведенную стоимость. То, что невыгодно данной фирме, может быть выгод­но другой, поэтому такие проекты могут купить.

Итак, чтобы максимизировать ценность (стоимость) фирмы в условиях определенности, нужно приобретать капитал (осуще­ствлять проекты) с положительными NPV и избавляться от капи­тала с отрицательным NPV.

Согласно формуле (5.4) предложенный проект имел чистую приведенную стоимость NPV= 10009дол.>0, однако если бы при той же (33 %) доле участия цена за это участие составляла 470 000 дол. (вместо 450 000), то NPV = –9 991 дол. < 0, т.е. такой проект следовало бы отвергнуть.

Таким образом, в условиях определенности относительно малые цифры в разнице (450 000 и 470 000 дол.) затрат за уча­стие в проекте могут решить судьбу проекта с точностью до наоборот.

5.2.2. КОЭФФИЦИЕНТЫДИСКОНТИРОВАНИЯ ДЛЯ РИСКОВАННОГО ПРОЕКТА

Коэффициенты r_t - процент на капитал, - как уже упомина­лось, иначе еще называют коэффициентами дисконтирования.

Коэффициенты дисконтирования от реализации рискованно­го проекта должны быть выше соответствующих безрисковых (гарантированных) коэффициентов, чтобы компенсировать фир­ме риск:

r_ij =r_t + премия за риск для j -го проекта,

где r_t - гарантированный коэффициент дисконтирования в году t (рис. 5.2).

В практике экономики США премия за риск задается в виде экспертных оценок (табл. 5.6).

Рис. 5.2. Гарантированный коэффициент дисконтирования в году t и с учетом риска

Таблица 5.6

Характер проекта	Премия за риск, %
Низкорискованный
Среднерискованный
Высокорискованный

 

Чем выше степень рисковости проекта (премия за риск), тем больше значения знаменателей в формуле (5.2) и соответственно меньше значение приведенной стоимости проекта и тем менее охотно инвесторы склонны вкладывать капиталы в такие проек­ты. Эта ситуация характерна сейчас для России и других стран СНГ.

Отсюда вывод: если фирма хочет постоянно повышать свою стоимость, равную стоимости ведущихся ею проектов, она дол­жна привлекать к себе доверие потенциальных инвесторов, умень­шая премию за риск и повышая тем самым стоимость приведен­ных к начальному моменту проектов. Привлечение доверия вклю­чает своевременную выплату дивидендов, другие акты взаимно­го доверия. Таким образом, постоянно действующей на рынке капитала фирме выгодно быть честной, это повышает ее прибы­ли за длительный период. Ведение инвестиционных проектов очень затрудняется в экономике вообще, если теряется доверие инвесторов.

5.3. ОЦЕНКА ПЕРСПЕКТИВНОГО ПРОЕКТА

Ранее мы смотрели на проблему максимизации прибыли с точки зрения динамики и неопределенности. Относительно ди­намики установлено, что «сегодняшние деньги дороже завтраш­них». В части фактора неопределенности доказано, что коэффи­циент дисконтирования должен увеличиваться за счет «премии за риск» и по этой причине снижается приведенная к начально­му моменту стоимость проекта.

Теперь рассмотрим, какие проекты фирме следует предпри­нимать.

Согласно формуле (5.3) чистая приведенная стоимость про­екта равна приведенной к начальному моменту стоимости про­екта минус приведенные затраты на его осуществление. Запи­шем формулу (5.3) по-другому:

где Е — математическое ожидание.

Если E(NPV) > 0, j -й проект следует принять.

Если E(NPV) < 0, j -й проект следует отклонить.

Процедура реализации этого правила следующая:

1. Спрогнозировать спрос и получить ожидаемую выручку (поступления) от j -го проекта E(R_jt) в период t.

2. Спрогнозировать затраты (оценить их) и получить Е(С_jt).

3. Рассчитать E(NCF_jt) = E(R_jt) – Е(С_jt).

4. С использованием табл. 5.5 и 5.6 определить r_jt.

5. Получить ожидаемую приведенную стоимость j -го проек­та E(PV_j).

6. Вычесть текущую цену j -го проекта (приведенные издер­жки на проект) и согласно формуле (5.3) получить E(NPV_j).

Проиллюстрируем реализацию этих правил на следующем практическом примере.

Рассматривается вопрос о приобретении фирмой нового обо­рудования за 5,3 млн дол. (далее все цифры условные, но при­ближенные к реальным для фирм США) [11]. Оборудование того же типа, что и остальное на фирме. Предполагается использо­вать это оборудование в течение пяти лет, а затем продать. Сле­дует осуществлять этот проект или отклонить его?

Менеджеры фирмы подготовили следующую информацию.

Затраты фирмы - средние (А - average) и общие (Т- total) на единицу продукции описываются соответственно формулами:

AVC = 20 – 3 Q + 0,25 Q²;

TVC = AVC*Q,

где Q - выпуск продукции в млн единиц в год.

Прогноз цены (оптимистической, наиболее вероятной и пес­симистической) на продукцию фирмы по годам реализации про­екта с учетом вероятностей ее возникновения отражен в табл. 5.7.

Таблица 5.7

Год	Цена на продукцию фирмы, дол.
Оптимистичес­кая (0,3)*	Наиболее вероятная (0,5)	Пессимистичес­кая (0,2)
Первый
Второй
Третий
Четвертый
Пятый

 

* В скобках указаны вероятности соответствующих цен.

 

Оптимальный выпуск продукции и ожидаемая выручка по годам реализации проекта представлены в табл.5.8. Ожидаемая выручка рассчитывается как математическое ожидание с учетом вероятностей исходов согласно табл. 5.7. Например (первая циф­ра сверху в последней колонке табл. 5.8):

10,2 = 16 * 0,3 + 10,7 * 0,5 + 0 * 0,2.

Зная объем выпуска, можно определить полные переменные затраты и, прибавив ежегодные фиксированные затраты, опреде­лить полные ежегодные затраты. Пусть в нашем случае ежегод­ные фиксированные затраты составляют 3,5 млн дол.

Таблица 5.8

 

В табл. 5.9 приведены полные затраты при различных ценах и различных вероятностях исходов.

Таблица 5.9

Год	Полные затраты, млн дол. в год при цене	Ожидаемые полные затраты, млн дол. в год
высокой (0,3)*	умеренной (0,5)	низкой (0,2)
Первый	13.1	11,5	3,5	10,4
Второй	13,1	11,5	3,5	10,4
Третий	14,4	13,1,	3,5	11,6
Четвертый	14,4	13,1	11,5	13,2
Пятый	14,4	13,1	11,5	13,2

 

* В скобках указаны вероятности соответствующих цен.

 

Расчет ожидаемых полных затрат (верхнее число в правой колонке, см. табл. 5.9):

10,4 = 13,1 * 0,3 +11,5 * 0,5 + 3,5 * 0,2.

Получив из табл. 5.8 и 5.9 ожидаемую выручку и ожидае­мые затраты, комбинируем рассчитанные данные и получаем ожидаемые чистые поступления по годам в млн дол., т.е. E(NCF_t), табл. 5.10.

Таблица 5.10

Год	Ожидаемые поступле­ния	Ожидаемая выручка от продажи оборудования	Ожидаемые полные затраты	Ожидаемые чистые поступления
Первый	10,2	-	10,4	-0.2
Второй	10,2	-	10,4	-0.2
Третий	14,2	-	11,6	2.6
Четвертый	16,3	-	13,2	3.1
Пятый	16,3	3,5	13,2	6.6

 

Теперь определяем коэффициент дисконтирования, считая проект средним между рискованным и высокорискованным. С учетом данных табл. 5.6 примем премию за риск, равную 7,5 %. В результате получим приведенную стоимость проекта (табл. 5.11).

Таблица 5.11

 

Всего за 5 лет приведенная стоимость проекта составит:

-0,177 - 0,155 + 1,766 + 1,835 + 3,39 = 6,659 млн дол.

Чистая приведенная стоимость рассматриваемого j- го проек­та за это же время равна:

E{NPV_j) = 6,659 - 5,3 = 1,359 млн дол. > 0, (5.6)

где 5,3 млн дол. - затраты на приобретение оборудования по первона­чальному условию.

Вывод. Проект следует принять. Все представленные рас­четы выполнены на уровне математических ожиданий, поэтому действительный результат в отношении чистой приведенной стоимости проекта может отличаться и в ту, и в другую сторону. Тем не менее, несмотря на приближенность расчета, это обо­снование проекта, а не принятие решения «по интуиции» или просто волевое решение - без обоснования.

5.4. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕТОДЫПРИНЯТИЯ ПРОЕКТА

Кроме описанного наиболее точного, но и наиболее трудоем­кого метода принятия инвестиционных решений используются другие методы, определяемые следующими критериями:

• срок окупаемости;

• прибыль на капитал;

• внутренняя норма прибыли.

Рассмотрим суть этих методов.

Срок окупаемости. Это период, в течение которого фирма вернет начальные капитальные вложения. Если срок окупаемос­ти меньше заданного нормативного срока, то проект принимает­ся. В противном случае отвергается.

Пример 5.3. Пусть для рассмотренного в разд. 5.3 инвести­ционного проекта установлен нормативный срок окупаемости капитальных вложений 3 года. Начальные капитальные вложе­ния были определены выше и равны 5,3 млн дол.

Из табл. 5.11 очевидным образом получается табл. 5.12.

Поскольку наличные капиталовложения равны 5,3 млн дол., то проект окупится, как видно из табл. 5.12., лишь через 4 года при нормативном сроке 3 года. Поэтому проект должен быть отклонен. Таким образом, использование критерия по сроку окупаемости может привести к отклонению инвестиционного проекта с положительной ожидаемой чистой стоимостью (она у нас была равна 1,359 млн дол.). Нетрудно видеть, что при других нормативных сроках освоения капитальных вложений согласно данному критерию можно также прийти к принятию проекта с отрицательной ожидаемой чистой стоимостью E(NPV_j) < 0. При­чина в том, что поступления от проекта в разные моменты вре­мени не дисконтируются. Следовательно, по этому критерию слишком большой вес придается ранним поступлениям и слиш­ком малый - более поздним. Поступления после заданного срока окупаемости не имеют ценности вообще, что противоречит здра­вому смыслу. Да и заданный нормативный срок окупаемости (в данном случае 3 года) субъективный. Если бы в данном примере был установлен срок 4 года, проект был бы принят.

Таблица 5.12

Год	Ожидаемые чистые поступления E (NCFt), млн дол. в год	Накопленные ожидае­мые чистые поступ­ления, млн дол.
Первый	-0,2	-0,2
Второй	-0,2	-0,4
Третий	2,6	2,2
Четвертый	3,1	5,3
Пятый	6,6	11,9

 

Таким образом, метод простой, но за простотой стоит очень невысокая точность результатов, что, впрочем, логично: без се­рьезных научных исследований нельзя получить достаточно на­дежных результатов.

Прибыль на капитал. Средняя прибыль на капитал инвести­ционного проекта определяется как среднегодовая прибыль, де­ленная на сумму инвестиций в проект. Принять или не принять проект, определяется сравнением прибыли проекта с заданной.

Пример 5.4. Пусть требуемая средняя норма прибыли проек­та равна 60 %. Суммарные чистые поступления от проекта составляют 11,9 млн дол. в течение 5 лет (см. табл. 5.12), т.е. сред­негодовая прибыль равна:

= 2,38 млн дол.

Инвестиции составили 5,3 млн дол., поэтому прибыль проек­та будет

* 100% = 44,9%

что меньше заданных 60 %. Таким образом, проект и по этому критерию отклоняется, хотя для него согласно формуле (5.6) положительная ожидаемая чистая стоимость E(NPV) > 0, и при более точной оценке проект должен быть принят.

В отличие от критерия по сроку окупаемости здесь, наобо­рот, слишком большой вес придается поздним поступлениям: поскольку поступления не дисконтируются, удаленные по вре­мени поступления рассматриваются как текущие, нарушается установленное выше правило, что «сегодняшние деньги дороже завтрашних».

Внутренняя норма прибыли. Суть этого критерия проиллюс­трируем на следующем примере.

Пример 5.5. Рассмотрим однопериодный инвестиционный проект:

Инвестиции, дол.............................................. 100 000

Чистые поступления в конце года, дол........ 108 000

Норма прибыли N при этом равна:

Следовательно, для одного периода критерий, эквивалентный правилу чистой приведенной стоимости проекта, был бы такой: принять проект, если коэффициент дисконтирования (процент на капитал) r меньше 8 %. Другими словами, вместо принятия проекта с инвестициями 100 000 дол. и под прибыль r = 8 % выгоднее просто положить деньги в банк под р % годовых, если р>r.

По этой схеме работают фирмы по продаже автомашин, не­движимости в ряде западных стран. Машину можно купить в кредит под 6 % годовых, а деньги положить в банк под 9 % годовых. Здесь коэффициент дисконтирования r = 6 % < 9 %. Если бы r стал больше 9 %, состоятельные люди покупали бы машины за наличные, а часть других, возможно, не покупала бы вообще. В результате спрос на автомашины снизился бы, что было бы невыгодно производителям автомобилей. На западном рынке так обстоит дело с приобретением многих товаров и услуг, в результате значительная часть общества живет в кредит, хотя это никак не говорит об их бедности.

Глава 6 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Создателем теории статистических игр считается А. Вальд. Он показал, что в теории принятия решений статистические игры являются основным подходом, если решение принимается в ус­ловиях частичной неопределенности.

Статистические модели представляют собой игру двух лиц (человека и природы) с использованием человеком дополнитель­ной статистической информации о состояниях природы.

Она существенно отличается от антагонистической игры двух лиц с нулевой суммой, где выигрыш одного равен проигрышу другого.

В статистической игре природа не является разумным игро­ком, который стремится выбрать для себя оптимальные страте­гии. Этот игрок не заинтересован в выигрыше. Другое дело -человек, в данном случае статистик. Он имеет целью выиграть игру с воображаемым противником, т. е. с природой.

Игрок-природа не выбирает оптимальной стратегии, но ста­тистик должен стремиться к определению распределения веро­ятностей состояния природы. Следовательно, основными отли­чиями статистической игры от стратегической являются:

• отсутствие стремления к выигрышу у игрока-природы, т. е. отсутствие антагонистического противника;

• возможность второго игрока - статистика провести статис­тический эксперимент для получения дополнительной информа­ции о стратегиях природы.

Так, например, статистик, работающий в фирме «Одежда», может изучить многолетние данные о погодных условиях в местностях, где одежда будет продаваться, и в зависимости от наи­более вероятного состояния погоды выработать рекомендации, куда и какое количество партий изделий отправлять, где выгод­нее и на каком уровне провести сезонное снижение цен и т. д.

Таким образом, теория статистических решений является теорией проведения статистических наблюдений, обработки этих наблюдений и их использования.

В теории статистических решений основные правила могут быть детерминированными и рандомизированными.

В статистических играх используются понятия: риск (функ­ция риска), потери (функция потерь), решение (функция реше­ния), функции распределения при определенных условиях.

Необходимо пояснить понятие рандомизации. Это статисти­ческая процедура, в которой решение принимается случайным образом. Математическая энциклопедия это определяет более подробно: «Статистическая процедура принятия решения, в ко­торой по наблюденной реализации х случайной величины Х решение принимается с помощью розыгрыша по вероятностно­му закону, называется рандомизацией»*.

* Математическая энциклопедия. Т.4. - М.: Советская энциклопедия, 1984. - С. 865.

 

Введем условные обозначения:

В или W - множество состояний природы;

В. или Q _j - отдельное состояние природы, Q _j Î W;

А — множество действий (решений) статистика;

а - отдельное решение статистика, a &Ici