Задание 1
Представить графически область начальных приближений в квадрате 
, обеспечивающих сходимость к нулевому решению, для метода а) градиентного спуска с длиной шага 
; б) Ньютона применительно к функционалу:
I) 
II) 
Задание 2
Найти минимум функции
методом градиентного спуска с начальными приближениями 
и 
. Экспериментально определить постоянный шаг градиентного спуска 
, при котором достигается наивысшая скорость сходимости метода. Представить графически зависимость скорости сходимости 
(число итераций) с точностью до 
от шага 
.
Задание 3
Методом наискорейшего градиентного спуска найти минимум целевой функции
с точностью до 
при начальном приближении 
, и оценить скорость сходимости 
(число итераций) метода в зависимости от параметра 
.
Задание 4
Методом наискорейшего градиентного спуска найти минимум функции
с точностью до 
при начальных приближениях 
и 
. Оценить скорость сходимости (число итераций). Графически представить траекторию приближений на плоскости 
и величину выбираемого переменного шага 
метода в зависимости от номера итерации.
Задание 5
Численно найти минимум функции
I) 
II) 
(функция Розенброка)
методами а) наискорейшего градиентного спуска; б) Ньютона; в) покоординатного спуска с точностью до 
при начальных приближениях I) 
и 
; II) 
и . Оценить скорость сходимости (число итераций), а также графически представить траекторию приближений на плоскости 
. Для I) минимум: 
; для II) минимум: 
.
Задание 6
В квадрате 
методами а) наискорейшего градиентного спуска; б) Ньютона; в) покоординатного спуска с точностью до численно найти все минимумы функции Химмельблау
Графически представить траекторию приближений от начального 
к минимуму 
.
Рекомендации: шаг метода наискорейшего градиентного спуска выбирать по формуле
Задание 7
Оценить скорость сходимости 
(число итераций) метода а) наискорейшего градиентного и б) покоординатного спуска при минимизации функции Бута
с точностью до 
в зависимости от начальных приближений (пунктирная окружность), равноудаленных от минимума 
:
Представить зависимость 
графически на отрезке 
.
Задание 8
Оценить скорость сходимости в зависимости от начальных приближений в квадрате для метода наискорейшего градиентного спуска применительно к функционалу
Зависимость 
представить графически.
Рекомендации: шаг метода выбирать по формуле
ТЕМА 5. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Задание 1
Вычислить определенный интеграл
используя квадратурные формулы а) Ньютона–Котеса с количеством узлов 
; б) Гаусса с количеством узлов 
; в) составные Симпсона с разбиениями 
. Оценить ошибку численного решения, сравнивая его с точным значением интеграла.
Задание 2
Используя формулу Симпсона, вычислить интеграл
где 
. Оценить ошибку численного решения, сравнивая его с точным значением интеграла.
Задание 3
Вычислить определенный интеграл
используя составные квадратурные формулы трапеции. Исследовать зависимость ошибки численного решения от числа разбиений 
составной формулы. Рассмотреть 
, где 
.
Задание 4
Стохастическим методом (Монте-Карло) вычислить определенный интеграл
и оценить методическую ошибку в зависимости от количества испытаний 
. Рассмотреть 
, где 
.
Задание 5
Статистическим методом (Монте-Карло) вычислить определенные интегралы
и оценить методическую ошибку в зависимости от количества испытаний 
. Рассмотреть 
, где 
.
Задание 6
Используя составную квадратурную формулу Гаусса, точную для полиномов третьей степени, вычислить определенный интеграл
и оценить точность численного решения в зависимости от числа разбиений N. Рассмотреть 
, где 
.
Задание 7
Вычислить определенный интеграл
используя составную квадратурную формулу Симпсона. Исследовать зависимость ошибки численного решения от длины подотрезка интегрирования 
. Рассмотреть 
, где 
.