Ряды Тейлора и Маклорена

Глава 4. Ряды

Ряды с комплексными членами

Рассмотрим последовательность комплексных чисел , n = 1,2,…

Определение 45. Последовательность комплексных чисел называется сходящейся, а число ее пределом , если существуют конечные пределы

Определение 46. Числовым рядом с комплексными членами называется составленное из последовательности комплексных чисел выражение: .

Частичной суммой ряда называнется выражение .

Определение 47. Ряд называется сходящимся, если существует конечное число S такое, что , где S – сумма ряда.

Так как S – комплексное число, то S = u + iv.

Необходимое и достаточное условие сходимости: ряд сходится к сумме S = u + iv тогда и только тогда, когда сходятся в отдельности ряды из действительных и мнимых частей его членов и выполняются равенства: .

Определение 48. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей членов данного ряда .

Замечание. Для рядов с комплексными членами справедливы все признаки сходимости и абсолютной сходимости, сформулированные ранее для рядов с действительными членами. Это необходимый признак и достаточные признаки: сравнения и предельного сравнения, Даламбера, интегральный и радикальный признаки Коши.

Теорема 14. Если существует сходящийся ряд с положительными членами такой, что для всех справедливо неравенство , то ряд сходится и притом абсолютно.

Пример 1. Исследовать на абсолютную сходимость ряд . (*)

Решение.

Рассмотрим ряд из модулей:

= – сходящийся числовой ряд. Следовательно, ряд (*) сходится абсолютно.

Пример 2. Исследовать на абсолютную сходимость ряд . (**)

Решение.

Исследуем на сходимость ряд из абсолютных величин с помощью радикального признака Коши:

ряд из модулей сходится, следовательно, ряд (**) сходится абсолютно.

Степенные ряды

Основные понятия

Определение 49. Пусть функции f_n (z), , определены и непрерывны в одной и той же области D. Выражение называется функциональным рядом.

Для каждой точки z = z ₀ функциональный ряд обращается в числовой ряд: .

Определение 50. Если в данной точке z ₀числовой ряд сходится, то говорят, что функциональный ряд также сходится в точке z ₀, а сама точка называется точкой сходимости функционального ряда.

Множество всех точек сходимости называется областью сходимости. Функциональный ряд называется сходящимся в области D ₁.

Определение 51. Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся в области D ₁, если в этой области сходится ряд из абсолютных величин членов данного ряда.

Определение 52. Сходящийся в области D ₁ функциональный ряд называется равномерно сходящимся в этой области, если для любого положительного числа ε найдется номер N = N (ε) такой, что для остатка ряда при всех имеет место оценка .

Критерий Вейерштрасса (критерий равномерной сходимости).

Пусть функциональный ряд сходится в области D ₁, и пусть существует сходящийся знакоположительный числовой ряд такой, что для всех члены функционального ряда удовлетворяют условию , тогда функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно в области D ₁, а числовой ряд называется мажорирующим, или мажорантой.

Определение 53. Функциональный ряд называется степенным по степеням (z – z ₀). Функциональный ряд называется степенным по степеням z.

Теорема 15 (теорема Абеля). Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится для всех z таких, что , причем сходимость будет равномерной в любом замкнутом круге Если же ряд расходится в точке , то он расходится и для всех z таких, что

На границе круга сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться.

Радиус сходимости R может быть найден либо при помощи признака Даламбера, либо радикального признака Коши:

или .

Сходящийся ряд сходится в круге с центром в точке О: , а степенной ряд – в круге с центром в точке z ₀: .

Теорема 16. В круге сходимости степенного ряда его сумма f (z) является аналитической функцией.

Пример 3. Найти радиус сходимости степенного ряда

Решение.

Для решения воспользуемся радикальным признакым признаком Коши:

Пример 4. Найтиобласть абсолютной сходимости и область равномерной сходимости ряда .

Решение.

Для нахождения области сходимости применим признак Даламбера:

, отсюда

, следовательно, ряд сходится в круге с центром в точке z ₀ = 1 и радиусом R = 2.

Исследуем на сходимость на границе круга, т.е. на окружности .

Подставим данное выражение в ряд из модулей . Получим

– сходящийся числовой ряд. Следовательно, ряд из модулей сходится, и это означает, что исходный ряд сходится и на границе круга, т.е. сходится абсолютно в замкнутом круге .

Проверим на равномерную сходимость при помощи признака Вейерштрасса.

– сходящийся ряд мажоранта, следовательно, исходный ряд сходится равномерно в замкнутом круге .

Исходный ряд сходится абсолютно и равномерно в замкнутом круге .

Ряды Тейлора и Маклорена

Определение 54. Пусть дана функция f (z), аналитическая в некоторой окрестности точки z ₀. Ряд называется рядом Тейлора функции f (z) и внутри круга сходимости выполняется равенство:

. (25)

Теорема 17 (теорема Тейлора). Всякая аналитическая функция f (z) внутри круга с центром в точке z ₀и радиусом R, т.е , может быть разложена внутри этого круга в степенной ряд Тейлора по степеням (z – z ₀): , коэффициенты c_n которого определяются по формулам:

(по интегральной формуле Коши (21)) =

где Г – какая-нибудь фиксированная концентрическая окружность радиуса r < R, т.е. лежащая внутри круга сходимости.

Замечание. М – число: .

При z ₀= 0 ряд Тейлора называется рядом Маклорена.

При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями в ряд Маклорена элементарных функций:

Таблица разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций

1. , .

2. , .

3. , .

4. , – область сходимости.

5. , – область сходимости.

6. , – область сходимости, .

В случае, когда функция раскладывается по биному Ньютона в многочлен, причем разложение имеет место во всей плоскости.

При

, – область сходимости.

7. , – область сходимости.

Пример 5. Разложить в ряд Тейлора по степеням (z +3).

Решение.

Ряд Лорана

Рядом, обобщающим понятие степенного ряда, является ряд Лорана.

Рассмотрим разложение в ряды двух функций:

1-ый ряд: (26)

2-ой ряд: (27)

Область сходимости ряда (26), если она существует, определяется неравенством:

, отсюда, , где (*)

Область сходимости ряда (27), если она существует, определяется неравенством:

, отсюда, , где (**),

причем

Определение 55. Рядом Лорана называется ряд , представляющий собой сумму двух рядов:

, (28)

при этом ряд (26) – – называется главной частью, а ряд (27) – – правильной частью ряда Лорана.

Лемма. Ряд (26) называется сходящимся в точке z тогда и только тогда, когда оба ряда (26) и (27) сходятся в этой точке.

Ряд сумма ряда Лорана.

Из (*) и (**) следует, что при условии областью сходимости ряда Лорана (28), полученного сложением рядов (26) и (27), служит кольцо , ограниченное концентрическими окружностями с центром в точке и радиусами r и R (рис. 42).

Теорема 18. В кольце сходимости сумма ряда Лорана f (z) представляет собой однозначную аналитическую функцию.

Теорема 19. Если f (z) – сумма ряда Лорана, то коэффициенты c_n можно вычислить по формуле

, (29)

где Г – концентрическая окружность , лежащая внутри кольца сходимости.

Замечание. Практически формула (29) почти никогда не используется для нахождения коэффициентов ряда Лорана. Из теоремы Тейлора видим, что эта же формула используется для вычисления коэффициентов ряда Тейлора. Можно сделать вывод, что обычно разложение конкретной функции в ряд Лорана тем или иным способом сводится к разложению ее в ряд Тейлора (25).

Теорема 20 (теорема Лорана). Каждая однозначная аналитическая в кольце D: функция f (z) представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана .

Следствие 1. Кольцо D может быть вырожденным, т.е. либо , либо , либо и .

Следствие 2. Рядом Лорана для функции f (z) в окрестности бесконечно удаленной точки называется ряд , сходящийся в некотором кольце . При этом главной частью ряда Лорана является ряд , а правильной – ряд . Функция f (z) предполагается аналитической в области за исключением, быть может, точки .

Пусть , тогда рядом Лорана для функции f (z) в окрестности бесконечно удаленной точки называется ряд , сходящийся в некотором кольце . Функция f (z) предполагается аналитической в области за исключением, быть может, точки . В этом случае выполним преобразование , тогда изучение функции f (z) сведется к изучению функции , аналитической в круге за исключением, быть может, точки .

Следствие 3. Пусть функция f (z) аналитична в многосвязной области D, ограниченной контуром Г и внутренними контурами (рис. 43). Если точка лежит внутри или на границе одного из внутренних контуров , i = 1,…, m и величина меньше расстояния R от точки до остальной части границы области D или до точки, в которой f (z) не аналитична, т.е. , то в кольце функция f (z) может быть представлена ее рядом Лорана.

Пример 6. Разложить в ряд Лорана по степеням z функцию : 1) в окрестности точки , 2) в окрестности бесконечно удаленной точки .

Решение.

1) Найдем разложение в ряд Лорана в точке по степеням z, т.е. .

Известно разложение в ряд Маклорена функции : , где – область сходимости. Следовательно, разложение в ряд Маклорена функции будет иметь вид: , область сходимости .

Представим функцию в виде :

– искомый ряд Лорана.

Ряд начинается с n = 0, т.е. разложение содержит только правильную часть.

Область сходимости ряда: , т.е. – круг с центром в точке и радиусом .

2) Найдем разложение в ряд Лорана в точке по степеням z, т.е. .

По следствию 2 к теореме Лорана для этого требуется представить функцию в виде:

– ряд Лорана. Заметим, что ряд содержит только правильную часть.

При . Следовательно, для сходимости полученного ряда должно выполняться неравенство . Тогда областью сходимости ряда является область вне круга: .

Пример 7. Разложить в ряд Лорана по степеням z функцию .

Решение.

Так как функцию требуется разложить в ряд Лорана по степеням z, то , и, следовательно, нас интересуют кольцевые области аналитичности функции f (z) с центром в точке . Так как знаменатель обращается в нуль в точках и , то это области: D ₁: ; D ₂: ; D ₃: (рис. 44).

Разложим данную функцию на элементарные дроби:

При z: А = – В

При z ⁰: 1 = –2 А – В

Отсюда, 1 = 2 В – В В = 1, А = –1.

Рассмотрим отдельно каждое слагаемое и найдем их разложения в ряды в областях D ₁, D ₂, D ₃.

1) – известное разложение в ряд Маклорена (№7), область сходимости .

2) Представим функцию в виде , т.е. сведем к известному разложению в ряд Маклорена (№7):

, область сходимости .

3) , область сходимости .

4) , область сходимости .

Запишем разложение функции в ряд Лорана в каждом кольце. Для этого:

а) объединим первое и второе разложения. Тогда

– ряд Тейлора, где , так как для данных рядов области сходимости равны соответственно и . Следовательно, в пересечении будет , а это и есть область D ₁.

b) объединим второе и третье разложения. Тогда

, где , так как для данных рядов области сходимости равны соответственно и . Следовательно, в пересечении будет , а это и есть область D ₂.

c) объединим третье и четвертое разложения. Тогда

, где , так как для данных рядов области сходимости равны соответственно и . Следовательно, в пересечении будет , а это и есть область D ₃.

Пример 8. Разложить в ряд Лорана функцию в точке .

Решение.

Требуется найти разложение по степеням . Найдем кольцевые области аналитичности функции f (z) с центром в точке . Аналитичность функции нарушается в точках и . Следовательно, кольцевыми областями будут: D ₁: ; D ₂: ; D ₃: (рис. 45).

Разложим данную функцию на элементарные дроби:

Рассмотрим отдельно каждое слагаемое и найдем их разложения в ряды в областях D ₁, D ₂, D ₃.

1) Первое слагаемое в сумме это уже разложение в ряд Лорана, область сходимости которого .

2) , область сходимости: .

3) , область сходимости: .

Запишем разложение функции в ряд Лорана в каждом кольце.

а) , где , т.е. область сходимости .

b) объединим первое и второе разложения. Тогда

c) объединим первое и третье разложения. Тогда

Пример 9. Разложить в ряд Лорана по степеням z функцию в кольце (рис. 46).

Решение.

Разложим данную функцию на элементарные дроби:

Учтем, что и запишем функцию в виде:

Пояснение: первое слагаемое разложили в окрестности бесконечно удаленной точки, так как область сходимости получившегося ряда , т.е. . Второе слагаемое разложили в окрестности нуля, так как область сходимости получившегося ряда , т.е. . Две области в пересечении дадут кольцо .

Пример 10. Разложить в ряд Лорана по степеням функцию

Решение.

Положим , тогда . При подстановке в функцию получим:

(перейдем к старому переменному) ,

где первое слагаемое 1 – правильная часть ряда Лорана, а – главная часть ряда Лорана. Данное разложение справедливо для любой точки плоскости, кроме , так как содержит конечное число слагаемых.