Подбор системы задач.
Для правильного обобщения способа решения задач определенного типа большое значение имеет подбор системы задач и их расположение. В этом плане задачу учителя облегчают авторы учебников и дидактических материалов.
В случае, когда учитель сам подбирает систему задач, он должен соблюдать следующие требования:
1) задачи должны постепенно усложняться;
2) усложнение первоначально идет путем увеличения числа действий, а потом изменением связей между данными и искомыми. Например, задачу на нахождение суммы "У Коли было 6 книг, у Саши - 8 книг. Сколько книг было у ребят?" усложняем увеличением числа действий: "У Коли было 6 книг, у Саши - 8 книг, у Пети - 2 книги. Сколько было книг у ребят?" и т.д.;
3) количество решенных однотипных задач должно быть достаточным;
4) для предупреждения формального запоминания способа решения, задачи должны чередоваться с задачами другого типа.
Сравнение при решении задач.
Применение сравнения при решении задач возможно в нескольких вариантах.
1) Сравнение условий задач до их решения и прогнозирование решения. В этом случае:
а) можно сравнить задачи на одинаковое действие (скажем, оба на нахождение суммы), но с разными данными и сюжетом. Вторая задача сравнивается с первой, решенной задачей и высказывается предполагаемый способ решения, который затем проверяется. Здесь происходит рассуждение по аналогии (см. главу 2, � 7);
б) можно сравнивать задачи на противоположные действия и "прогнозировать неправильный способ" решения. Числовые данные и сюжет задачи могут быть как одинаковыми, так и разными. Например, после решения задачи "У Маши было 4 книги, а у Сережы на 2 книги больше. Сколько было книг у Сережы?" предлагаем вторую задачу "У Тани было 6 букетов цветов, что на 2 букета больше, чем у Нины. Сколько букетов было у Нины?" и просим: "Сравните эту задачу с первой и скажите, как бы ее решили?". Учащиеся отвечают: "Так же, сложением", т.е. прогнозируют неправильный способ решения. Ошибочность прогноза обнаруживается либо после выполнения краткой записи задачи, либо в ходе разбора. Такая форма работы развивает у учащихся обратимость и гибкость мышления, навыки предварительного самоконтроля. Надо отметить, что отсутствие в системе работы учителя упражнений на ошибочные прогнозы формирует у них устойчивое ложное мнение о том, что выбранный ими способ решения обязательно должен дать правильный результат. Происходит как бы навязывание задаче выбранного метода решения, хотя, фактически, метод должен выбираться исходя из самой задачи. В конечном итоге все это формирует ограниченное мышление.
2) Сравнение решений задач по ходу решения применяется при решении некоторой задачи после решения аналогичной, которая является как бы образцом. Каждое действие сопровождается рассуждениями типа: "В той задаче мы вторым действием умножили, здесь наверное тоже так же. Проверим" и т.д. Данный вариант сравнения формирует у учащихся навыки текущего самоконтроля и развивает гибкость мышления.
3).Сравнение всей работы по задаче проводится после решения нескольких задач. Например, после решения двух вышеприведенных задач (о книгах и букетах) можно провести такую беседу: "Чем отличаются эти задачи (одна - о книгах, другая о букетах). Чем они похожи? (В обоих сказано: "на 2 больше".) Каким действием решили первую задачу? (Сложением.) Почему? (Число книг у Саши увеличилось.) А вторую задачу? (Вычитанием.) Почему? (У Тани букетов на 2 больше, значит у Нины на 2 меньше. У нее - уменьшается.) Показывают ли это ответы задач? (Да. В первом - 6, больше 4 на 2; во втором 4, меньше 6 на 2, т.е. 6 больше 4 на 2.) Сделаем вместе вывод: если в задаче сказано "на больше", то задача может быть решена и сложением, и вычитанием".
Составление и преобразование задач.
Упражнения по составлению и преобразованию задач очень эффективны для обобщения способа их решения и развивают гибкость мышления. В этом плане можно использовать такие упражнения:
1) Постановка вопроса к данному условию, изменение содержания или вопроса.
Учащимся предлагается поставить различные вопросы к условию задачи: "На платье пошло 4 м ткани, а на кофту - на 1 м меньше". Ученики могут поставить такие: Сколько ткани пошло на кофту? Сколько ткани пошло на платье и кофту? На сколько больше ткани пошло на платье, чем на кофту? и другие.
В учебниках начальной школы постановка вопроса к условию задачи применяется еще и с ограничениями: "Поставь вопрос так, чтобы задача решалась двумя действиями".
Примером изменения содержания или вопроса могут быть задачи с меняющимся содержанием, на перестройку действия (см. гл. 3, � 8).
Используя названные упражнения, учащиеся учатся обобщать знания о связях между данными и искомым.
2) Составление задачи по данному вопросу.
Учащимся предлагают составить условие задачи, например, с вопросом: "Сколько километров прошел пешеход?". При подборе данных они определяют, что в условии может быть скорость и время, или же расстояние между несколькими пунктами и т.п. Во всех случаях должны подбирать реальные данные (скорость - не более 5 км/ч, расстояние - между пунктами - не более 20-30 км, но уже не 300 км!).
Для составления задач нужно использовать справочные данные, приводимые в учебниках, дидактических материалах. Можно их взять и из газет, детских журналов и т.п.
3) Подбор числовых данных или их изменение.
Данный прием развивает умение сопоставлять задачу с реальной ситуацией и подбирать данные с учетом реальных количественных отношений. Предложив задачу "В школьном саду... яблонь, а груш на... меньше. Сколько всего яблонь и груш в саду?" выясняет, что яблонь, с учетом территории школы, может быть примерно не более 20-30 (уж не 400, тогда не справимся с уборкой и реализацией урожая), груш на 1 меньше � тоже как-то нереально, нужно другое число и т.д.
Определенный интерес представляют упражнения на изменение числовых данных задачи, при котором задача решалась бы аналогичным способом (например, нереальные задачи - гл.3,� 3) или же другим способом. Например, в задаче "Вова нарисовал 9 домиков, а Лида - на 4 домика меньше. Сколько домиков нарисовала Лида?", которая решается вычитанием, заменив условие "на 4 домика меньше" условием "на 4 домика больше", получим задачу, решаемую сложением.
4) Составление задач по аналогии.
Задачи, имеющие одинаковую математическую структуру, называются аналогичными. Составление таких задач помогает учащимся осознанию общих связей между данными и искомым при разных жизненных ситуациях. Они составляются после решения данной задачи в разных вариантах: а) с подбором других числовых данных; б) с другим сюжетом, в) с другими величинами. Например, после решения задачи с величинами цена, количество, стоимость можно предложить составить похожую задачу с величинами скорость, время, расстояние.
5) Составление задач по краткой записи условия.
Составить задачу про учеников класса:
Мальчиков - 18 чел.,
Девочек - на 4 чел. меньше. Сколько всего?
6) Составление задач по их иллюстрациям.
Составить задачу по схеме (рис.59) и по чертежу (рис.60):
Рис.59
Сколько килограммов картофеля собрали с каждого участка?
Рис.60
Сколько километров прошел каждый пешеход до встречи?
7) Составление задач по решению (в виде выражения или отдельных действий).
Составь задачи по выражениям:
1) 132�16-127�16 2) 300-(127+132+28)
Дай ответ на вопрос каждой задачи.
При выполнении таких заданий иногда полезно подсказать детям сюжет или же назвать величины.
8) Составление обратных задач.
Составить задачу, обратную решенной (исходной) - это значит так преобразовать решенную задачу, чтобы полученный ответ стал данным, а одно из данных стал искомым. Обратных задач можно составить столько, сколько данных имеется в исходной задаче с одним данным.
Рассмотрим з а д а ч у: "В поселке 210 каменных домов, а деревянных на 70 меньше. Сколько всего домов в поселке?" Обозначим высказывания:
А: "210 каменных домов";
В: "деревянных домов на 70 меньше";
С: "всего домов в поселке".
Наша задача имеет вид: А и В � С. Составим обратные задачи:
а) А и С � В
В поселке 210 каменных домов, а всего домов 350. На сколько деревянных домов меньше, чем каменных.
б) С и В � А
В поселке 350 каменных и деревянных домов, причем деревянных на 7- меньше. Сколько в поселке каменных домов?
в) С � А и В
В поселке всего 350 каменных и деревянных домов. Сколько всего каменных домов в поселке и на сколько деревянных меньше, чем каменных?
Задачи вида а), б) называют просто обратными задачами, задачи вида в) - задачи с недостающими данными.
Первоначальное ознакомление с методикой составления обратной задачи можно провести следующим образом. На уроке решается задача: "У Юры было 5 красных шаров и 3 синих. Сколько всего было шаров у Юры?". Краткая запись задачи изображается на наборном полотне (рис.61а):
Рис.61
После решения данной задачи учитель меняет карточки как на рис.61б и предлагает составить задачу. Решив эту задачу, составляют еще одну (рис.61в). Далее переходят к сравнению условия и замечают, что в последних двух случаях вопрос и одно данное задачи "поменялись местами". Учитель делает вывод о том, что задачи, в которых вопрос первой задачи стал одной из данных, а это данное стало вопросом, называют обратными задачами.
В первоначальный период составления и решения обратных задач учащимся целесообразно работать с индивидуальными карточками как в данном случае. Для них очень важен сам механизм замены или, по-другому говоря, обратимость мышления мы демонстрируем им наглядно.
В своей работе учитель должен чередовать разные приемы закрепления умения решать задачи рассматриваемого вида, а не отдавать предпочтение только некоторым из них.