При синтезе алгоритма оценки воспользуемся методом максимального правдоподобия (МП) [1-5]. Согласно этому методу необходимо формировать логарифм функционала отношения правдоподобия (ЛФОП) как функцию неизвестной амплитуды. На основании результатов работ [1-3] выражение для ЛФОП можно представить в виде
(1.4)
где - отклик фильтра с импульсной характеристикой на реализацию наблюдаемых данных (1.1), причем передаточная функция этого фильтра удовлетворяет условию , , .
Оценка максимального правдоподобия (ОМП) неизвестной амплитуды определяется как положение наибольшего максимума ЛФОП по переменной а:
. (1.5)
Положение наибольшего максимума ЛФОП является решением системы уравнения и неравенства:
, . (1.6)
Согласно (1.3)
. (1.7)
Тогда ОМП параметра запишется в виде
. (1.8)
Алгоритм (1.8) можно реализовать с помощью измерителя, структурная схема которого показана на рисунке.
Рисунок 1 - Максимально-правдоподобный измеритель математического ожидания случайного импульсного сигнала
Здесь обозначено: 1 - ключ открывающийся на время , 2 - интегратор, 3 - делитель.
Рассмотрим характеристики оценки (1.8). Поскольку аддитивная помеха является гауссовской, то ОМП (1.8) является гауссовской случайной величиной. Поэтому ее эффективность полностью (в статистическом смысле) характеризуется условными смещением , дисперсией и связанным с ними рассеянием .
Согласно определению условное смещение ОМП (1.8) найдем путем ее непосредственного усреднения по реализациям :
. (1.9)
Подставляя формулы (1.1), (1.2) в (1.9) и учитывая, что , получаем:
. (1.10)
Таким образом, ОМП (1.8) при априори известных остальных параметрах импульса является условно (а, следовательно, и безусловно) несмещенной.
Аналогично можно найти условную дисперсию ОМП (1.9):
(1.11)
Подставляя (1.1), (1.2) в (1.11), получаем:
(1.12)
Поскольку сигнал и шум статически независимы, то . Кроме того, , , где - корреляционная функция процесса , а - дельта-функция. С учетом трех последних равенств из (1.12) получаем
.(1.13)
Для вычисления первого интеграла в (1.13) сделаем замену переменных: , . Тогда, полагая, что флуктуации процесса являются «быстрыми», т.е. выполняется условие , имеем:
(1.14)
Для вычисления второго интеграла в (1.13) используем фильтрующее свойство δ-функции: . Тогда находим:
(1.15)
Подставляя (1.14), (1.15) в (1.13) для дисперсии оценки окончательно получаем
(1.16)
Поскольку ОМП (1.8) является несмещенной, то дисперсия оценки совпадает с ее рассеянием:
. (1.17)
Из формул (1.10), (1.16), (1.17) следует, что точность ОМП (1.8) МО случайного импульсного сигнала (1.2) не зависит от искаженного значения параметра . Дисперсия оценки МО, с одной стороны, возрастает с увеличением спектральной плотности и N0 процесса и шума , а, с другой стороны, уменьшается с увеличением длительности измеряемого импульса. Выражения (1.10), (1.16), (1.17) позволяют сделать обоснованный выбор длительности полезного сигнала в зависимости от требуемой эффективности МП измерителя и уровня аддитивных помех.