|
Колебательным называется такое движение, при котором тело многократно проходит через одно и то же устойчивое положение равновесия. При этом под устойчивым понимается такое положение, в котором тело может находиться бесконечно долго.
|
Виды колебаний
· периодические (изменяющиеся величины повторяются через равные промежутки времени);
· непериодические.
Простейший вид периодических колебаний – гармонические колебания, при которых изменение величин происходит по закону синуса или косинуса.
В зависимости от характера действующих сил различают колебания:
· свободные (собственные),
· вынужденные,
· автоколебания,
· параметрические.
Основное уравнение свободных незатухающих колебаний
|
. (1)
Уравнение второго закона Ньютона
, (2)
где , w0 - циклическая частота. (3)
Общее решение уравнения (2) имеет вид
x = A cos (ω0 t + j0), (4)
где А и j0 – произвольные постоянные.
(4) (2) ; ;
0 = 0
Кинематические и динамические характеристики
свободных незатухающих колебаний
Кинематические характеристики: смещение, амплитуда, фаза, частота, период, скорость, ускорение.
Динамические характеристики: сила, энергия.
x = A cos (ω0 t + j0)
1. Смещение x - отклонение системы от положения равновесия.
2. Амплитуда А = x max - максимальное отклонение системы от положения равновесия.
3. Фаза j = (ω0 t + j0) - угол, определяющий положение колеблющегося тела в данный момент времени t; j0 = j(t = 0) - начальная фаза (значение фазы в начальный момент времени).
4. Циклическая частота колебаний w0 = dj/d t - характеризует скорость изменения фазы.
5. Период колебаний Т - промежуток времени одного полного колебания, за который фаза колебания получает приращение, равное 2p.
(5)
6. Частота колебаний n0 - число полных колебаний, совершаемых в одну секунду
, [с-1 = Гц] , (6)
. (7)
7. Скорость колеблющегося тела v = d x /d t
, (8)
- амплитуда скорости. Скорость также изменяется по гармоническому закону, причем скорость опережает смещение по фазе на .
8. Ускорение колеблющегося тела v = d2 x /d t 2 = d v /d t
, (9)
- амплитуда ускорения. Ускорение также изменяется по гармоническому закону, причем оно находится в противофазе со смещением.
|
9. Сила F = -kx
, x = A cos (ω0 t + j0) , (10)
т.е. период и фаза силы и ускорения совпадают.
10. Полная энергия незатухающих колебаний
(11)
,
. (12)
Свойства энергии
1. Период изменения кинетической и потенциальной энергии в 2 раза меньше периода изменения смещения, скорости и т.д.
.
2. Полная энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды.
|
3. Полная энергия пропорциональна квадрату частоты колебаний.
4. При свободных незатухающих колебаниях полная энергия системы сохраняется постоянной, что выражает консервативность системы. Происходит лишь превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.
Векторные диаграммы для представления
Гармонических колебаний
х =А cos(w0 t + j).
.
Сложение параллельных колебаний