Системы линейных уравнений.
Уравнение вида
a1x1 + a2x2 + … + anxn = b,
где a1, b1, …,an, b —некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x1, x2, …, xn.
Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая:
1) система не имеет решений;
2) система имеет ровно одно решение;
3) система имеет бесконечно много решений.
Пример 2.4. решить систему уравнений
2x + 3y = 8,
3x + 2y = 7.
Решение. Решить систему линейных уравнений можно способом подстановки, который состоит в том, что какого-либо уравнения системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные уравнения.
Из первого уравнения выражаем: x= (8 – 3y) / 2. Подставляем это выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений
x = (8 – 3y) / 2,
3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7.
Из второго уравнения получаем y = 2. С учётом этого из первого уравнения x = 1.
Ответ: (1; 2).
Пример 2.5. Решить систему уравнений
x + y = 3,
2x + 2y = 7.
Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения x + y = 3, а из второго x + y = 3,5).
Ответ: Решений нет.
Пример 2.6. решить систему уравнений
x + y = 5,
2x + 2y = 10.
Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).
Ответ: Бесконечно много решений.
Пример 2.7. решить систему уравнений
x + y – z = 2,
2x – y + 4z = 1,
– x + 6y + z = 5.
Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.
Умножаем первое уравнение системы на – 2 и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем – 3y + 6z = – 3. Это уравнение можно переписать в виде y – 2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7y = 7, или y = 1.
Таким образом, система приобрела треугольный вид
x + y – z = 2,
y – 2z = 1,
y = 1.
Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1 и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.
Ответ: (1; 1; 0).
Пример 2.8. при каких значениях параметра a система уравнений
2x + ay = a + 2,
(a + 1)x + 2ay = 2a + 4
имеет бесконечно много решений?
Решение. Из первого уравнения выражаем x:
x = – (a / 2)y + a / 2 +1.
Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем
(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.
Далее умножим обе части уравнения на 2 и упростим его:
(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,
4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),
ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),
ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).
Анализируя последнее уравнение, отметим, что при a = 3 оно имеет вид 0y = 0, т.е. оно удовлетворяется при любых значениях y.
Ответ: 3.
Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.
Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b и c — некоторые числа (a¹0);
x — переменная, называется квадратным уравнением.
Формула решения квадратного уравнения.
Сначала разделим обе части уравнения ax2 + bx + c = 0 на a — от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения
x2 + (b / a)x + (c / a) = 0
выделим в левой части полный квадрат
x2 + (b / a) + (c / a) = (x2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a)2) – (b / 2a)2 + (c / a) =
= (x + (b / 2a))2 – (b2) / (4a2) + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – ((b2 – 4ac) / (4a2)).
Для краткости обозначим выражение (b2 – 4ac) через D. Тогда полученное тождество примет вид
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / (4a2)).
Возможны три случая:
1) если число D положительно (D > 0), то в этом случае можно извлечь из D квадратный корень и записать D в виде D = (ÖD)2. Тогда
D / (4a2) = (ÖD)2 / (2a)2 = (ÖD / 2a)2, потому тождество принимает вид
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (ÖD / 2a)2.
По формуле разности квадратов выводим отсюда:
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (ÖD / 2a))(x + (b / 2a) + (ÖD / 2a)) =
= (x – ((-b + ÖD) / 2a)) (x – ((– b – ÖD) / 2a)).
Теорема: Если выполняется тождество
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2),
то квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 при X1 ¹ X2 имеет два корня X1 и X2, а при X1 = X2 — лишь один корень X1.
В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождества следует, что уравнение
x2 + (b / a)x + (c / a) = 0,
а тем самым и уравнение ax2 + bx + c = 0, имеет два корня:
X1=(-b + Ö D) / 2a; X2= (-b - Ö D) / 2a.
Таким образом x2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).
Обычно эти корни записывают одной формулой:
где b2 – 4ac = D.
2) если число D равно нулю (D = 0), то тождество
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / (4a2))
принимает вид x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2.
Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет один корень кратности 2: X1 = – b / 2a
3) Если число D отрицательно (D < 0), то – D > 0, и потому выражение
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / (4a2))
является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение
x2 + (b / a)x + (c / a) = 0
не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение ax2 + bx + c = 0.
Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант
D = b2 – 4ac.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение:
X=-b / (2a).
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:
X1=(-b + ÖD) / (2a); X2= (-b - ÖD) / (2a).
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:
1) b = 0; c ¹ 0; c / a <0; X1,2 = ±Ö(-c / a)
2) b ¹ 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.
Корни квадратного уравнения общего вида ax2 + bx + c = 0 находятся по формуле
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x2 равен 1, называется приведённым. Обычно приведённое квадратное уравнение обозначают так:
x2 + px + q = 0.
Теорема Виета.
Мы вывели тождество
x2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2),
где X1 и X2 — корни квадратного уравнения ax2 + bx + c =0. Раскроем скобки в правой части этого тождества.
x2 + (b / a)x + (c / a) = x2 – x1x – x2x + x1x2 = x2 – (x1 + x2)x +x1x2.
Отсюда следует, что X1 + X2 = – b / a и X1X2 = c / a. Мы доказали следующую теорему, впервые установленную французским математиком Ф. Виетом (1540 – 1603):
Теорема 1 (Виета). Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при X, взятому c противоположным знаком и делённому на коэффициент при X2; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, делённому на коэффициент при X2.
Теорема 2 (обратная). Если выполняются равенства
X1 + X2 = – b / a и X1X2 = c / a,
то числа X1 и X2 являются корнями квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
Замечание. Формулы X1 + X2 = – b / a и X1X2 = c / a остаются верными и в случае, когда уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет один корень X1 кратности 2, если положить в указанных формулах X2 = X1. Поэтому принято считать, что при D = 0 уравнение ax2 + bx +c = 0 имеет два совпадающих друг с другом корня.
При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать соотношения
(1 / X1) + (1/ X2)= (X1 + X2)/ X1X2;
X12 + X22 = (X1 + X2)2 – 2 X1X2;
X1 / X2 + X2 / X1 = (X12 + X2 2) / X1X2 = ((X1 + X2)2 – 2X1X2) / X1X2;
X13 + X23 = (X1 + X2)(X12 – X1X2 + X22) =
= (X1 + X2)((X1 + X2)2 – 3X1X2).
Пример 3.9. Решить уравнение 2x2 + 5x – 1 = 0.
Решение. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;
X1 = (- 5 + Ö33) / 4; X2 = (- 5 -Ö33) / 4.
Ответ: X1 = (- 5 + Ö33) / 4; X2 = (- 5 -Ö33) / 4.
Пример 3.10. Решить уравнение x3 – 5x2 + 6x = 0
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители x(x2 – 5x + 6) = 0,
отсюда x = 0 или x2 – 5x + 6 = 0.
Решая квадратное уравнение, получаем X1 = 2, X2 = 3.
Ответ: 0; 2; 3.
Пример 3.11.
x3 – 3x + 2 = 0.
Решение. Перепишем уравнение, записав –3x = – x – 2x, x3 – x – 2x + 2 = 0, а теперь группируем
x(x2 – 1) – 2(x – 1) = 0,
(x – 1)(x(x + 1) – 2) = 0,
x – 1 = 0, x1 = 1,
x2 + x – 2 = 0, x2 = – 2, x3 = 1.
Ответ: x1 = x3 = 1, x2 = – 2.
Пример 3.12. Решить уравнение
|
(2x – 7)(x + 2)(x – 6)
Решение. Найдём область допустимых значений x:
X + 2 ¹ 0; x – 6 ¹ 0; 2x – 7 ¹ 0 или x ¹ – 2; x ¹ 6; x ¹ 3,5.
Приводим уравнение к виду (7x – 14)(x2 – 7x + 12) = (14 – 4x)(x2 – 4x – 12), раскрываем скобки.
7x3 – 49x2 + 84x – 14x2 + 98x – 168 + 4x3 – 16x2 – 48x – 14x2 + 56x + 168 = 0,
11x3 – 93x2 + 190x = 0,
x(11x2 – 93x + 190) = 0,
x1 = 0
11x2 – 93x + 190 = 0,
93±Ö(8649 – 8360) 93 ± 17
x2,3 = =,
22 22
т.е. x1 = 5; x2 = 38 / 11.
Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: x1 = 0; x2 = 5; x3 = 38 / 11.
Пример 3.13. Решить уравнение x6 – 5x3 + 4 = 0
Решение. Обозначим y = x3, тогда исходное уравнение принимает вид
y2 – 5y + 4 = 0, решив которое получаем Y1 = 1; Y2 = 4.
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности
уравнений: x3 = 1 или x3 = 4, т. е. X1 = 1 или X2 = 3Ö4
Ответ: 1; 3Ö4.
Пример 3.14. Решить уравнение (x3 – 27) / (x – 3) = 27
Решение. Разложим числитель на множители (по формуле разности кубов):
(x – 3)(x2 + 3x + 9) / (x – 3) = 27. Отсюда:
x2 + 3 x + 9 = 27,
x – 3 ¹ 0;
x2 + 3 x – 18 = 0,
x ¹ 3.
Квадратное уравнение x2 + 3 x – 18 = 0 имеет корни X1 = 3; X2 = -6
(X1 не входит в область допустимых значений).
Ответ: -6
Пример 3.15. Решить уравнение
(x2 + x –5) / x + (3x) / (x2 + x – 5) = 4.
Решение. Обозначим y= (x2 + x – 5) / x, тогда получаем уравнение y + 3 / y = 4.
Преобразуем его: y + 3 / y – 4 = 0, (y2 – 4y + 3) / y = 0, отсюда
y2 – 4y + 3 = 0,
y ¹ 0
Квадратное уравнение y2 – 4y + 3 = 0 имеет корни Y1 = 1; Y2 = 3 (оба корня входят в область допустимых значений).
Таким образом корни, исходное уравнение эквивалентно (равносильно) совокупности уравнений
(x2 + x – 5) / x = 1 или (x2 + x – 5) / x = 3.
Преобразуем их:
(x2 + x – 5) / x – 1 = 0 или (x2 + x – 5) / x – 3 = 0;
x2 – 5 = 0,
x ¹ 0
или
x2 – 2x – 5 = 0,
x ¹ 0;
X1 = Ö5; X2 = – Ö5 или X3 = 1 + Ö6; X4 = 1 – Ö6
(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).
Ответ: Ö5; – Ö5; 1 + Ö6; 1 – Ö6.
Пример 3.16. Решить уравнение x(x + 2)(x + 3)(x + 5) = 72.
Решение. Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение
(x + 2)(x + 3)(x + 5)x = 72, (x2 + 5x + 6)(x2 + 5x) = 72.
Обозначим y = x2 + 5x, тогда получим уравнение (y + 6)y = 72, или
y2 + 6y – 72 = 0.
Корни этого уравнения: Y1 = 6; Y2 = – 12.
Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
x2 + 5x = 6 или x2 + 5x = – 12.
Первое уравнение имеет корни X1 = 1; X2 = – 6. Второе уравнение корней не имеет, так как D = 26 – 48 = – 23 < 0.
Ответ: – 6; 1.
Пример 3.17. Решить уравнение 4x2 + 12x + 12 / x + 4 / x2 = 47.
Решение. Сгруппируем слагаемые: 4(x2 + 1 / (x2)) + 12(x + 1 / x) = 47.
Обозначим y = x + 1 / x, при этом заметим, что
y2 = (x +1 / x)2 = x2 +2 + 1 / (x2),
отсюда x2 + 1 / (x2) = y2 – 2. С учётом этого получаем уравнение
4(y2 – 2) + 12y = 47, или 4y2 + 12y - 55 = 0.
Это квадратное уравнение имеет корни Y1 = 5 / 2; Y2 = – 11 / 2.
Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
x + 1 / x = 5 / 2 или x + 1 / x = – 11 / 2.
Решим их:
x + 1 / x – 5 /2 = 0 или x + 1 / x + 11 / 2 = 0;
2x2 – 5x + 2 = 0,
x ¹ 0
или
2x2 + 11x + 2 = 0,
x ¹ 0;
X1 = 2; X2 = 1 / 2 или X3 = (- 11 + Ö105) / 4; X4 = (-11 - Ö105) / 4
(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).
Ответ: 2; 0,5; (- 11 + Ö105) / 4; (-11 - Ö105) / 4.
Пример 3.18. Решить уравнение x3 – x2 – 9x – 6 = 0.
Решение. Угадаем хотя бы один корень данного уравнения. “Кандидатами” в целочисленные корни (а только их есть надежда отгадать) являются числа
±1, ±2, ±3, ±6.
Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что X = -2 является его корнем.
Разделим многочлен x3 – x2 – 9x – 6 на двучлен x + 2
x3 – x2 – 9x – 6 = (x + 2)(x2 – 3x – 3) = 0.
Решив теперь уравнение x2 – 3x – 3 = 0,
получаем X2 = (3 - Ö21) / 2, X3 = (3 + Ö21) / 2.
Ответ: xÎ {-2; (3 - Ö21) / 2; (3 + Ö21) / 2}.
Пример 3.19.
x3 – x2 – 8x + 6 = 0.
Решение. Здесь an = 1, a0 = 6. Поэтому, если данное уравнение имеет рациональные корни, то их следует искать среди делителей числа 6: ±1, ±2, ±3, ±6. Проверкой убеждаемся, что x = 3, т.к. 27 – 9 – 24 + 6 = 0.
Делим (x3 – x2 – 8x + 6) на (x – 3)
Получаем: x3 – x2 – 8x + 6 = (x – 3)(x2 + 2x – 2), т.е. данное уравнение можно представить в виде (x – 3)(x2 + 2x – 2) = 0. Отсюда находим, что x1 = 3 — решение, найденное подбором, x2,3 = – 1 ± Ö3 — из уравнения x2 + 2x – 2 = 0.
Ответ: x1 = 3; x2,3 = – 1 ± Ö3.
Пример 3.20.
4x4 + 8x3 + x2 – 3x – 1 = 0.
Решение. Здесь an = 4, a0 = –1. Поэтому рациональные корни уравнения следует искать среди чисел: ± 1; ± 0,5; ± 0,25 (делители 4 есть ±1; ±2; ±4, делители (– 1) есть ± 1). Если x = +1, то 4 + 8 + 1 – 3 – 1 ¹ 0; если x = – 0,5, то
4 / 16 – 8 / 8 + 1 / 4 + 3 / 2 – 1 = 0, т.е. x = – 0,5 корень уравнения. Делим
(4x4 + 8x3 + x2 – 3x – 1) на (x + 0,5):
Данное уравнение можно представить в виде: (x + 0,5)(4x3 + 6x2 – 2x – 2) = 0.
Отсюда x1 = – 0,5 (решение, найденное подбором) и 4x3 + 6x2 – 2x – 2 = 0, т.е. 2x3 + 3x2 – x – 1 = 0. Аналогично находим корень этого уравнения: x = – 0,5. Снова делим.
Имеем: (x + 0,5)(2x2 + 2x – 2) = 0. Отсюда x2 = – 0,5 и x3,4 = (– 1 ± Ö5) / 2.
Ответ: x1 = x2 = – 0,5; x3,4 = (– 1 ± Ö5) / 2.
Замечание: зная, что x = – 0,5, можно не заниматься делением, а просто выделить за скобки множитель (x + 0,5). Из 2x3 + 3x2 – x – 1 = 0 следует:
2x3 + 3x2 – x – 1 = 2x3 + x2 +2x2 + x – 2x – 1 = 2x2(x + 0,5) + 2x(x + 0,5) – 2(x+0,5) =
= (x +2)(2x2 + 2x – 2) = 0.
x1 = – 0,5; x3,4 = (– 1 ± Ö5) / 2.
Возвратные уравнения.
Уравнение вида
anxn + an – 1 xn – 1 + … +a1x + a0 = 0
называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если
an – 1 = ak, при k = 0, 1, …, n.
Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0,
где a, b и c — некоторые числа, причём a ¹ 0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:
— разделить левую и правую части уравнения на x2. При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a ¹ 0;
— группировкой привести полученное уравнение к виду
a(x2 + 1 / x2) + b(x + 1 / x) + c = 0;
— ввести новую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено
t2 = x2 + 2 + 1 / x2, то есть x2 + 1 / x2 = t2 – 2;
в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:
at2 + bt + c – 2a = 0;
— решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.
Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения.
Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой
x + 1 / x = t.
Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x= -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.
Пример 4.21. Рассмотрим, например, возвратное уравнение пятой степени
ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0
Легко видеть, что x = – 1 является корнем этого уравнения, а потому по теореме Безу многочлен в левой части уравнения делится на x + 1. В результате такого деления получится возвратное уравнение четвёртой степени.
Довольно часто в процессе решения задач вступительных экзаменов возникают рациональные уравнения степени выше второй, которые не удаётся решить с помощью очевидной замены переменной. В этом случае попытайтесь отгадать какой-нибудь корень уравнения. Если попытка окажется успешной, то Вы воспользуетесь следствием 1 теоремы Безу и понизите на единицу степень исходного уравнения. “Кандидатов” в корни многочлена с целочисленными коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена этого многочлена. Если же попытка угадать корни не удалась, то, возможно, Вы избрали “не тот” метод решения, и существует иной метод, реализация которого не требует решения уравнения третьей или большей степени.
Формулы Виета для многочленов высших степеней.
Пусть многочлен P (x) = a0xn + a1xn – 1 + … + an
имеет n различных корней X1, X2, …, Xn. В этом случае он имеет разложение на множители вида
a0xn + a1xn – 1 + … + an = a0(x – x1)(x – x2)…(x – xn).
Разделим обе части этого равенства на a0 ¹ 0 и раскроем скобки. Получим равенство
Xn + (a1 / a0)xn – 1 + … + (an / a0) =
= xn – (x1 + x2 + … +xn)xn – 1 + (x1x2 +x1x3 + … +xn-1xn)xn – 2 +
+ … + (-1)nx1x2…xn.
Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняются равенства
x1 + x2 + … + xn = -a1 / a0,
x1x2 + x1x3 + … + xn – 1xn = a2 / a0,
…………………….
x1x2× … ×xn = (-1)nan / a0.
Пример 5.22. Напишем кубическое уравнение, корни которого являются квадратами корней уравнения x3 – 3x2 + 7x + 5 = 0.
Решение. Обозначим корни заданного уравнения через x1, x2 и x3. Тогда по формулам Виета имеем
s1 = x1 + x2 +x3 = 3,
s2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = 7,
s3 = x1x2x3 = – 5.
Корни искомого уравнения обозначим буквами y1, y2, y3, а его коэффициенты — буквами b1, b2, b3, положив коэффициент при y3 равным 1. По условию должны выполняться равенства y1 = x12, y2 = x22, y3 = x32 и поэтому
b1 = – (y1 + y2 + y3) = – (x12 + x22 + x32),
b2 = y1y2 + y1y3 + y2y3 = x12x22 + x12x32 + x22x32,
b3 = – y1y2y3 = – x12x22x32 .
Но имеем
x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 +x3)2 – 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = s12 - 2s2 = 32 – 2×7 = – 5,
x12x22 + x12x32 + x22x32 = (x1x2 + x1x3 + x2x3)2 – 2x1x2x3(x1 + x2 +x3)= s22 – 2s1s3 = = 72 – 2×3×(– 5)= 79,
x12x22x32 = (x1x2x3)2 = s32 = 25.
Значит, b1 = 5, b2 = 79, b3 = – 25, и потому искомое уравнение имеет вид
y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.
Ответ: y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.
Системы уравнений второй степени.
В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени удаётся выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение.
При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных.
Пример 6.23. Среди решений (x; y) системы найти то, для которого сумма (x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.
2x + y = 7,
xy = 6.
Решение. Из первого уравнения получаем y = 7 – 2x. Подставляя значение y во второе уравнение, получаем систему уравнений
y = 7 – 2x,
7x – 2x2 = 6.
Квадратное уравнение – 2x2 + 7x – 6 = 0 имеет корни X1 = 2; X2 = 3 / 2. Из первого уравнения получаем Y1 = 3; Y2 = 4.
Решения имеют вид (2; 3) и (1,5; 4). Наибольшая сумма x + y = 1,5 + 4 = 5,5.
Ответ: 5,5.
Пример 6.24. Решить систему уравнений
x + y + 2xy = 7,
xy + 2(x + y) = 8.
Решение. Обозначим a = x + y; b = xy.
Получаем систему уравнений
a + 2b = 7,
b + 2a = 8
или
a = 7 – 2b,
b + 14 – 4b = 8.
Отсюда
a = 3,
b = 2.
Возвращаясь к переменным x и y, получаем
x + y = 3,
xy = 2.
Решив эту систему:
x = 3 – y,
(3 – y)y = 2;
y2 – 3y + 2 = 0, Y1 = 1; X1 = 2; Y2 = 2; X2 = 1.
Ответ: (2; 1), (1; 2).
Пример 6.25. Решить систему уравнений
y2 – xy = 12,
x2 – xy = – 3.
Решение. Разложим левые части уравнений на множители:
y(y – x) = 12,
x(x – y) = – 3.
Выразив из второго уравнения (x ¹ 0) x – y = – 3 / x, т.е. y – x = 3 / x, и подставив его в первое уравнение, получим
y / x = 4,
x(x – y) = – 3, откуда
y = 4x,
x(x – y) = – 3.
Подставив значение y во второе уравнение последней системы, имеем
- 3x2 = – 3, X1 = 1; X2 = – 1, тогда Y1 = 4; Y2 = – 4.
Ответ: (1; 4), (– 1; – 4).
Пример 6.26. Решим задачу.
Задача. Найдём длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 16 м, а площадь равна 15 м2.
Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника буквами х и у. По условию задачи должны выполнятся равенства 2х + 2у = 16, т.е. х + у = 8 и ху = 15
Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений
х + у = 8,
ху = 15,
т.е. к отысканию значений х и у, подстановка которых в оба уравнения системы обращает их в верные числовые равенства.
Из первого уравнения находим, что у = 8 – у. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем х(8 - у) = 15, т.е. 8х - х2 = 15 или
х2 - 8х + 15 = 0.
Решим это уравнение: D = (-8)2 - 4×1×15 = 64 - 60 = 4,
Х1,2 = (8 ± Ö4) / 2 = (8 ± 2) / 2.
Значит, х1 = 5, х2 = 3. Поскольку у = 8 - х, то получаем у1 = 3, а у2 = 5. В обоих случаях получаем один и тот же прямоугольник, длины сторон которого равны 3 м и 5 м.
Замечание: уравнение х2 - 8х + 15 = 0 можно вывести быстрее, используя теорему, обратную теореме Виета: так как сумма чисел х и у равна 8, а их произведение равно 15, то эти числа являются корнями уравнения z2 - 8z + 15 = 0.
Рассмотрим системы, состоящие из двух уравнений с двумя неизвестными. Если в одно из них какое-нибудь неизвестное входит лишь в первой степени, то из этого уравнения можно выразить это неизвестное через другое и подставить полученное выражение во второе уравнение системы. Получится уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим значения этого неизвестного, а потом по ним находим значения оставшегося неизвестного.
Пример 6.27. Решим систему уравнений
2х + у = 11,
х2 + у2 = 53.
Решение. Из первого уравнения находим, что у = 11 - 2х. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем: х2 + (11 - 2х)2 = 53.
Раскроем скобки и приведём подобные члены:
х2 + 121 - 44х + 4х2 = 53
и потому 5х2 - 44х + 68 = 0. Значит, для нахождения х надо решить уравнение
5х2 - 44х + 68 = 0.
Решая его, находим D = (-44)2 - 4×5×68 = 1936 - 1360 = 576,
Х1,2 = (44 ± 24) / 10.
Итак х1 = 6,8; х2 = 2, Þ у1 = 11 - 2×6,8 = -2,6; у2 = 11 - 2×2 = 7.
Ответ: х1 = 6,8; у1 = -2,6; х2 = 2; у2 = 7.
Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.
При решении биквадратных и возвратных уравнений мы вводили новые неизвестные (у = х2 для биквадратных уравнений и у = х + 1 / х для возвратных уравнений). Введение новых неизвестных применяется также при решении уравнений иного вида и систем уравнений.
Пример 7.28. Решим уравнение 12 / (х2 + 2х) - 3 / (х2 + 2х - 2) = 1.
Решение. Если попробовать привести дробь в левой части уравнения к одному знаменателю, то получим уравнение четвёртой степени, которое мы умеем решать. Чтобы решить заданное уравнение, заметим, что в обе дроби входит одно и то же выражение х2 + 2х. Поэтому введём новое неизвестное у, положив, что у = х2 + 2х. Тогда уравнение примет вид
12 / у - 3 / (у - 2) = 1 или (у2 - 11у + 24) / (у(у - 2)) = 0,
откуда y1 = 3; y2 = 8. Осталось решить уравнения х2 + 2х = 3 (его корни х1 = 1, х2 = -3) и х2 + 2х = 8 (его корни х3 = 2, х4 = -4).
Применённый метод называется методом введения новых неизвестных, и его полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени неизвестного выше первой).
Пример 7.29. Решим систему уравнений
2 / х + 3 / у = 8,
5 / х - 2 / у = 1.
Решение. Обозначим 1 / х через U, а 1 / у через V. Тогда система примет вид
2U + 3V = 8,
5U - 2V = 1,
т.е. получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными U и V. Из первого уравнения выражаем U через V: U = 4 - 3V / 2, и подставляя во второе: 5(4 - 3V / 2) -2V = 1, откуда V = 2. Теперь находим U = 1 и решаем уравнения 1 / x = 1, 1 / y = 2.
Ответ: x = 1, y = 0,5.
Пример 7.30.
(x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680.
Решение. (x – 4)(x – 7)×(x – 5)(x – 6) = 1680, т.е.
(x2 – 11x + 28)(x2 – 11x + 30) = 1680.
Обозначим x2 – 11x + 28 = t, тогда t(t + 2) = 1680, t2 + 2t – 1680 = 0, t1 = – 42; t2 = 40. Поэтому
x2 – 11x + 28 = – 42; x2 – 11x + 70 = 0; D = 121 – 280 < 0 Þ x1,2 Î Æ.
x2 – 11x + 28 = 40; x2 – 11x – 12 = 0; x1 = 12; x2 = – 1.
Ответ: x1 = 12; x2 = – 1.
Пример 7.31.
2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 2 = 0.
Решение. Это возвратное уравнение. Разделим обе части уравнения на x2 ¹ 0, получим
2x2 + 3x – 16 +3 / x + 2 / x2 = 0, т.е.
2(x2 + 1 / x2) + 3(x + 1 / x) – 16 = 0,
обозначим x + 1 / x = t, тогда x2 + 2 + 1 / x2 = t2, т.е. x2 + 1 / x2 = t2 – 2, получаем 2(t2 – 2) + 3t – 16=0, т.е. 2t2 + 3t – 20 = 0, t1 = – 4; t2 = 5 / 2 = 2,5. Следовательно, имеем
x + 1 / x = – 4; x2 + 4x + 1 = 0; x1,2 = –2 ± Ö3,
x + 1 / x = 2,5; 2x2 – 5x + 2 = 0; x3 = 2; x4 = 1 / 2.
Ответ: x1,2 = –2 ± Ö3; x3 = 2; x4 = 1 / 2.
Пример 7.32.
(x + 3)4 + (x + 5)4 = 16.
Решение. Сделаем подстановку x = t – 4. Тогда получаем (t – 1)4 + (t + 1)4 = 16, т.е.
t4 – 4t3 + 6t2 – 4t + 1 + t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 = 16,
т.е. 2t4 + 12t2 – 14 = 0, или t4 + 6t2 – 7 = 0. Положим t2 = z ³ 0, тогда
z2 +6z – 7 = 0, z1 = – 7; z2 = 1.
С учётом t2 = z ³ 0 отбрасываем z1. Итак, z = 1, т.е. t2 = 1, отсюда t1 = –1; t2 = 1. Следовательно, x1 = – 1 – 4 = – 5 и x2 = 1 – 4 = – 3.
Ответ: x1 = – 5 и x2 = – 3.
Пример 7.33.
13x / (2x2 + x +3) + 2x / (2x2 – 5x + 3) = 6.
Решение. Разделим числитель и знаменатель дробей на x ¹ 0:
13 / (2x + 1 + 3 / x) + 2 / (2x – 5 +3 / x) = 6,
обозначим 2x + 3 /x = t. Получаем 13 / (t + 1) + 2 / (t – 5) = 6, т.е.
13t – 65 + 2t + 2 = 6t2 – 24t – 30, т.е.
6t2 – 39t + 33 = 0, т.е. 2t2 – 13t + 11 = 0,
t1 = 1; t2 = 5,5.
Следовательно:
2x + 3 / x = 1; 2x2 – x + 3 = 0; D = 1 – 24 < 0 Þ x Î Æ.
2x + 3 / x = 5,5; 4x2 – 11x + 6 = 0; x1 = 2; x2 = 0,75.
Ответ: x1 = 2; x2 = 0,75.
Пример 7.34.
x4 – 2x3 + x – 0,75 = 0.
Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя в левой части уравнения x2:
x4 – 2x3 + x2 – x2 + x – 0,75 = 0, т.е.
(x2 – x)2 – (x2 – x) – 0,75 = 0.
Пусть x2 – x = t, тогда t2 – t – 0,75 = 0, x1 = – 0,5; x2 = 1,5.
Возвращаясь к старой переменной, получаем:
x2 – x = – 0,5; x2 – x + 0,5 = 0; D = 1 – 2 < 0 Þ x Î Æ.
x2 – x = 1,5; x2 – x – 1,5 = 0; x1,2 = (1 ± Ö7) / 2.
Ответ: x1,2 = (1 ± Ö7) / 2.
Пример 7.35.
x2 + 81x2 / (9 + x)2 = 40.
Решение. Воспользуемся формулой: a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab ((a - b)2 = a2 - 2ab + b2Þ Þ a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab). Получаем:
(x – 9x / (9 + x))2 + 2x×9x / (9 + x) = 40, или
(x2 / (9 + x))2 + 18x2 / (9 + x) = 40.
Пусть: (x2 / (9 + x)) = t. Тогда t2 + 18t – 40 = 0, t1 = – 20; t2 = 2. Получаем два уравнения:
(x2 / (9 + x)) = 2; x2 – 2x – 18 = 0; x1,2 = 1 ± Ö19,
(x2 / (9 + x)) = – 20; x2 + 20x + 180 = 0; D = 400 – 720 < 0, Þ x Î Æ.
Ответ: x1,2 = 1 ± Ö19.
Однородные уравнения.
Пример 8.36. Решим систему уравнений
8х2 - 6ху + у2 = 0,
х2 + у2 = 5.
Решение. заметим, что для решения системы выполняется условие у ¹ 0. В самом деле, из первого уравнения следует, что если у = 0, то и х = 0, а числа х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на у2. Получится уравнение
8х2 / у2 - 6ху / у2 + у2 / у2 = 0 или 8х2 / у2 - 6х / у + 1 = 0.
Введём вспомогательное неизвестное U = х / у. Уравнение примет вид
8U2 - 6U + 1 = 0.
Это квадратное уравнение, имеющее корни U1 = 0,5; U2 = 0,25. Таким образом, из первого уравнения мы получаем что либо x / y = 1 / 2, либо x / y = 1 / 4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение 5х2 = 5, откуда х1 = 1, х2 = - 1; соответственно у1 = 2, у2 = - 2. Во втором случае получается уравнение17х2 = 5, откуда х3 = Ö(5 / 17), x4 = -Ö(5 / 17); соответственно y3 = 4Ö(5 / 17), y4 = - 4Ö(5 /17).
Первое уравнение системы нам удалось представить как уравнение относительно x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих слагаемыми в это уравнение (8x2, 6xy, y2), одна и та же — она равна двум. Поэтому после деления на y2 каждое слагаемое выразилось через x / y.
Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом степени k.
Уравнение вида P (x, y) = 0 называется однородным уравнением степени k относительно x и y, если P (x, y) — однородный многочлен степени k. Однородное уравнение относительно x и y делением на yk (если y = 0 не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно неизвестного x / y. Это свойство однородного уравнения помогает решать многие задачи.
Пример 8.37. Решить систему уравнений
y2 - xy = -12,
x2 - xy = 28.
Решение. Ни одно из уравнений системы не является однородным. Но если умножить первое уравнение на 7 и прибавить к нему почленно второе уравнение, умноженное на 3, то получится уравнение 7y2 - 10xy + 3x2 = 0, являющееся следствием исходной системы. Разделим обе части уравнения на x2 и решим уравнение 7U2 - 10U + 3 = 0 (здесь U = y / x, причём из второго уравнения системы следует, что x ¹ 0). Находим, что y = x или y = 3x / 7. Подставляя это выражение во второе уравнение и, рассмотрев оба случая, найдём решения:
x1 = 7, y1 = 3; x2 = -7, y2 = -3.
Ответ: x1 = 7, y1 = 3; x2 = -7, y2 = -3.
Мы получили решения системы путём выведения из заданных уравнений вспомогательного следствия. Такой способ решения систем в некоторых случаях приводит к появлению “посторонних” корней — значений x и y, не удовлетворяющих исходной системе. Поэтому найденные корни надо проверить, подставив их исходную систему и убедившись, что уравнения системы обращаются в верные числовые равенства.
Пример 8.38. Решим уравнение (x - 1)4 + 9(x + 1)4 = 10(x2 - 1)2.
Решение. Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то получится уравнение четвёртой степени. Попробуем другой путь: введём новые неизвестные U и V:
U = (x - 1)2, V = (x + 1)2.
Уравнение примет вид U2 + 9V2 = 10UV.
Это уравнение однородное, и после деления на V2 оно становится уравнением относительно неизвестного W:
W = U / V = (x - 1)2 / (x + 1)2.
Решим вспомогательное уравнение
W2 - 10W + 9 = 0.
Его корни W1 = 1, W2 = 9. Осталось решить уравнения
(x - 1)2 / (x + 1)2 = 1 и (x - 1)2 / (x + 1)2 = 9.
Из первого уравнения следует, что либо (x - 1) / (x + 1) = 1, либо (x - 1) / (x + 1) = -1.
Из второго получаем, что либо (x - 1) / (x + 1) = 3, либо (x - 1) / (x + 1) = -3. Решая получившиеся уравнения, видим, что первое из них не имеет корней, а из трёх остальных получаем x1 = 0, x2 = - 2, x3 = -0,5.
Ответ: x1 = 0, x2 = - 2, x3 = -0,5.
Пример 8.39.
3(x2 – x + 1)2 – 5(x + 1)(x2 – x + 1) – 2(x + 1)2 = 0.
Решение. Это так называемое однородное уравнение, т.е. уравнение вида
ay2a + byaza + cz2a = 0,
где a, b, c, a — заданные числа, отличные от нуля; y = y(x), z = z(x) — некоторые функции от x. Разделим обе части уравнения на (x2 – x + 1)2 ¹ 0: