Прочность самых различных материалов и пород (каменная соль, уголь торф, металлы, полимеры, бетон, стекло и др.) зависит от размеров испытываемых образцов. Погрешности моделирования, возникающие при изменении размеров образцов, системы, принято называть масштабным фактором. При брикетировании диспергированных пород масштабный фактор проявляется на величинах прочности, пластичности, упругости брикетов, а также определяет давление прессования. Велико проявление масштабного фактора в процессах тепло- и массопереноса. Начало систематических исследований масштабного фактора относится к началу 30-х годов (работы Вейбулла). Однако первым обращением к проблеме масштабного фактора следует считать парадоксальное изречение одного из семи легендарных мудрецов древности — Питтака из Мителены (о. Лесбос) о том, что «половина всегда больше целого», не перестававшее удивлять мыслителей вот уже тысячи лет.
При испытаниях прочности нитей (металл, стекло) было установлено снижение средней прочности при одновременном уменьшении разброса с увеличением размера (диаметра) образца. Эта закономерность имеет фундаментальный характер. Существуют различные гипотезы, объясняющие масштабный фактор статистическими, технологическими, энергетическими и др. причинами. Однако, как показывает практика, каждый раз объяснение относится лишь к частному случаю. Богатовым предложено масштабный фактор характеризовать формулой
М=В+С,
где В — детерминированная функция размеров тела (системы), называемая трендом, тенденцией, имеет вид степенной или показательной функции, характеризует нарушение подобия во взаимодействии тела (системы) с внешней средой. Оценка неслучайности В проводится сравнением средних значений параметров при различных размерах испытуемых образцов по критерию Стьюдента.
Второе слагаемое в формуле С — стохастическая величина, характеризует вероятностную сущность структурообразования горных пород, а также процессов переноса на молекулярном уровне. Эта величина считается некоррелированным случайным процессом с нулевым математическим ожиданием. Роль С в масштабном факторе возрастает с ростом неопределенности и неоднородности структуры системы. Оценка С — наиболее сложное дело. Оценка неслучайности С проводится сравнением дисперсий параметров по критерию Фишера.
В последние годы для описания структуры неупорядоченных сред и про текающих в них процессов все шире привлекается теория фракталов (Е. Фс дер). Ее активное развитие отмечается в последние 10 лет после того, как н большом числе физических, химических и биологических процессов и явле ний обнаружено, что фрактальная структура и дробная размерность служа! основными характеристиками системы. Фракталы — это вложенные в про странство самоподобные геометрические объекты. Возможности фрактальной геометрии только открываются, а понятие основной количественной оценки фракталов — фрактальной дробной размерности является, по существу, новым воззрением на оценку заполненности веществом пространства. Несомненно, что теория фракталов повлияет на наши представления о непрерывности, понятиях скорости, скачков, запретов, а значит и на возможности математики, появятся новые подходы к количественной оценке физико-химических процессов в неоднородных дисперсных системах.
В настоящее время исследованы фрактальные структуры торфяных систем применительно к решению задач классификации видов торфа и анализа напряженно-деформированного состояния (Богатов Б., Кулак М.). Установлено, что при переходе от низинного торфа к верховому фрактальная размерность в целом убывает, то есть структура становится более рыхлой, возрастает неоднородность структуры кластера. Особенность структуры торфяных агрегатов такова, что в приповерхностных слоях плотность минимальна и может быть в несколько раз меньше плотности ядра агрегата. Прочность пропорциональна плотности, однако их отношение непостоянно, и при изменении радиуса от 0,1 до 1,0 (в относительных единицах) оно увеличивается на 11,4%. Это указывает на то, что прочность проявляется не только через плотность (наличие самого вещества), но и через структуру агрегатов. Расчеты показывают, что из-за неоднородности структуры прочность в пределах агрегата может изменяться на порядок.
Большие возможности фрактальный подход имеет при изучении масштабного фактора в процессах переноса тепла, массы и импульса.
Первоначально важным является определение кластера (сгущение, скопление, концентрация) как субстанции молекулярного переноса массы, тепла и импульса. В качестве необходимого условия следует считать наличие в системе отклонений плотности, температуры от средних значений, т.е. обязательны флуктуации. Считается, что в объемах до 10"6 мм3 (линейный размер стороны 10 микрон) заметны флуктуации плотности жидкости (Бэтчелор). В системах, подобных торфяным, тепловое броуновское движение совершают молекулы среды (воды, воздуха), части макромолекул, коллоидные частицы, ионы неорганической части. В системах с размерами частиц более 5 микрон броуновское движение практически не проявляется. Хотя объем 10"6 мм3 мал, но он содержит 3-Ю10 молекул воздуха и еще больше молекул воды, но при этом флуктуации физических свойств заметны. Величина относительной флуктуации в системе из п независимых частей обратно пропорциональна корню квадратному фг. Следовательно, ограничиваясь рассмотрением отдельных молекул при переносе уже в самых малых объемах должны были бы иметь равновесный процесс. Но в действительности этого не наблюдается. Процесс переноса в жидкостях связан с постоянной перестройкой групп (ассоциатов) молекул с высвобождением энергии молекулярного движения. Таким образом, в качестве кластеров торфяных систем, определяющих интенсивность переноса-массы, тепла и импульса принимают ассоциаты большого числа молекул, частицы («облака») электронного газа, составленного из совокупности свободных электронов или молекул, тепловое движение которых служит причиной акустических волн, участвующих в передаче тепла и количества движения в твердых телах и жидкостях.
Регрессионный анализ.
Подбор вида эмпирических формул. Расчет коэффициентов
Далеко не всегда удается аналитически, опираясь лишь на теоретическое исследование данного процесса, описать необходимую зависимость. В таких случаях основой количественного описания являются экспериментальные данные. Применяют два метода построения эмпирических формул. Один из них состоит в том, что подбирается алгебраический многочлен, принимающий в заданных точках установленные значения, а именно: по наблюдаемым двум точкам строится линейная функция (прямая), по трем — квадратичная (парабола) и т.п. Достоинство метода в том, что полученная формула в точности воспроизводит экспериментальные значения. Такого рода формулы называются интерполяционными многочленами. Способы построения интерполяционных многочленов (Лагранжа, Ньютона, Чебышева) освещены в курсе «Высшая математика». К недостаткам интерполяционных многочленов следует отнести то, что при большом числе экспериментальных наблюдений многочлен получается высокой степени и нахождение коэффициентов требует громоздких вычислений, а в интервалах между значениями различия между опытной и расчетной зависимостями могут быть как угодно большими. Кроме того, качество математической модели тем выше, чем меньше эмпирических коэффициентов она содержит.
Другой метод подбора имперических формул состоит в том, что подбирается наиболее простая формула того или иного вида, во многих случаях содержащая всего два коэффициента, определяемых по экспериментальным данным.
Если при подборе вида формулы удается учесть теоретические представления об изучаемом процессе, то это часто позволяет ограничиться минимумом экспериментальных данных и при этом возможна экстраполяция за пределами проведенных исследований.
В некоторых случаях при подборе вида формулы удается воспользоваться известными заранее соотношениями для скорости процесса (охлаждения, на-, гревания, фильтрации, диффузии и др.) или данными об угловом коэффициенте касательной к искомой траектории. В табл. 1.1 приведены наиболее распространенные случаи скоростей изменения функций и виды их общих закономерностей.
В других случаях вид формул может быть получен при использовании механического (работа, давление и др.) или геометрического (объем, поверхность, дуга и др.) смысла определенного интеграла.
Уравнения в дифференциалах получают в результате составления соотношений между приращениями и переменными. Для этого процесс мысленно разбивают на элементарные акты, позволяющие допустить линейность соотношения между приращениями и переменными, независимость частей целого, применимость фундаментальных законов физики. При использовании материальных или тепловых балансов допускают для элементарного акта или объема независимость потоков субстанций за счет различных движущих сил.
Наиболее надежным и простым является определение коэффициентов а, Ъ линейной зависимости у = ах + b. Применяют один из способов: метод выбранных точек, метод средних и метод наименьших квадратов. По методу выбранных точек выбирают две точки (х0, уо) и (*ь у{), отстоящие друг от друга и от концов исследуемого интервала. Коэффициенты а, Ъ находятся из уравнения
Коэффициенты а, b методом средних находятся из условия равенства нулю алгебраической суммы отклонений экспериментальных п точек от прямой:
Метод наименьших квадратов является более предпочтительным, так как он требует равенства нулю суммы квадратов отклонений. Параметры а, b находятся из системы
Во многих случаях нелинейные зависимости (степенные, показательные, логарифмические) могут быть приведены к линейному виду с помощью простейших алгебраических действий и замены переменных. Этот метод называется выравниванием функций. Например, зависимость у = аеЬх после логарифмирования и замены 1п у = У приводится к линейному виду У = 1п а + bх.
Наиболее полное исследование зависимости требует применения корреляционного и регрессионного анализов. Две случайные величины являются корреляционно связанными, если математическое ожидание одной из них меняется в зависимости от изменения другой. Выборочный коэффициент линейной корреляции рассчитывается по формуле
где х, у — средние арифметические значения х;, у;.
о*, о> — среднеквадратические отклонения:
Коэффициент корреляции изменяется в пределах ге[—1;1]. Знак «минус» — признак обратной связи. Недостаток коэффициента корреляции — его применимость лишь для оценки степени сопряженности величин, связанных линейной зависимостью. Метод выравнивания функций, о котором говорилось выше, позволяет значительно расширить возможности использования коэффициента корреляции для оценки меры тесноты связей. Линейную связь обычно считают слабой, если |г|<0,5, сильной при |г|>0,7 и практически функциональной при |г| > 0,9.
В отличие от корреляционной, зависимость между случайной и неслучайной величинами называется регрессионной, а метод анализа этой зависимости — регрессионным анализом. Уравнение линейной регрессии ^ по х имеет вид
коэффициент линейной регрессии.
При подборе вида эмпирической формулы удобно пользоваться атласом графиков. Иногда оказывается, что опытная кривая похожа на несколько кривых, уравнения которых различны. Нередки случаи, когда та или иная формула достаточно точно выражает зависимость между заданными численными значениями величин, но типичный график этой формулы не похож на экспериментальную кривую. Это может быть потому, что экспериментальная кривая и график формулы построены для различных интервалов изменения аргумента. Выбор масштаба координатных осей также может привести к искажению формы кривой и визуальному отличию.
Чисто формально выбор вида формулы может осуществляться с помощью табл. 4.7.
Таблица 4.7
Таблица выбора вида эмпирической формулы
С помощью таблицы опытных данных выбираем две точки (хь у{) и {хп, уп), достаточно удаленные друг от друга и отстоящие от краев исследуемого интервала переменной х. Затем, рассчитав хе и уе по табл. 4.7, сравниваем для одного и того же хе значения уе и уэ (экспериментальное). В случае близости значения уе и у3 соответствующая формула считается подходящей (это следует проверить после нахождения параметров аяЬ. Лучшей будет та формула, при использовании которой дисперсия отклонений меньшая.
Пример.
Результаты испытаний на разрушение одноосным сжатием образцов каменной соли представлены ниже
28 ЗАДАЧИ И МЕТОДЫПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ГОРНОМ ДЕЛЕ
Прогнозирование событий, и в частности, последствий разработки полезных ископаемых, — чрезвычайно сложное дело из-за взаимосвязанности процессов в биосфере. Поэтому очень важен вопрос выбора метода прогнозирования в каждом конкретном случае. Временные интервалы прогнозов могут изменяться в широких пределах — от часов до многих лет, в зависимости от содержания задачи. Одни зависят от цикличности воздействий в системе и должны быть достаточно велики, чтобы обеспечивалась возможность сознательного влияния на ожидаемые изменения в экосистеме. Если процесс цик-личен (например, сезонное производство), то прогноз составляется на период не меньший, чем продолжительность цикла. Если прогнозируемый процесс имеет тенденцию роста в течение длительного времени, то прогноз должен рассчитываться на такой промежуток времени, за который можно осуществить мероприятия по сохранению экологического равновесия окружающей среды, по наращиванию мощностей и приобретению необходимых материалов и оборудования.
Особенностью прогностических моделей служит невозможность прямой проверки соответствия модели и оригинала. В этом специфика и вместе с тем проблема моделирования будущего.
Более всего распространены в прогностических моделях графические изображения (так называемые «кривые роста») и математические описания. При отсутствии теоретических предпосылок о поведении объекта исследований в будущем используют методы аналогий и математической обработкилтных данных, характеризующих прошлое и настоящее. Однако не следует ывать, что эмпирическая формула справедлива лишь для интервала опыт-х значений и экстраполяция связана с погрешностью тем большей, чем [ыде стремимся распространить зависимость за пределы проведенных ис-дований. С целью повышения достоверности прогноза следует предусмот-ъ его определение несколькими методами. Это дает хороший результат.
В основе составления и анализа прогноза лежат различные методы: ус-щение данных наблюдений в прошлом и настоящем с последующей экст-юляцией полученных зависимостей в будущее; корреляционный и регрес-)нный анализы; математическое программирование в задачах распределе-5 ресурсов; имитационное моделирование; теория игр и статистических иений; анализ случайных функций; экспертные оценки и аналогии в зада-; прогнозирования.
Следует отметить характерную ошибку в прогнозах, когда на основании;тоянной скорости роста в прошлом предполагают ту же скорость процесса >удущем. Такой подход в прогнозировании называется «наивным» в том ысле, что все происходившее в прошлом и сформировавшаяся тенденция в;тоящем будут иметь место и в будущем. В двух случаях «наивная экстракция» неприменима: при наличии естественного предела (истощение ре->сов и др.) и при изменении факторов, обусловливающих тенденцию в прошлом (темпы осушения, воздействие на окружающую среду и др.).Достаточно;то в прогнозах используется экспоненциальный рост, вызванный бурным шитием техники и технологии. Экстраполяция процесса в будущее в виде экспоненциальной функции (пропорциональность скорости роста текущему гчению функции) в ряде случаев дает заведомо неверный результат.
Одна из важнейших задач прогнозирования заключается в предсказании)рости, с которой новое решение, идея, технология и техника будут вытес-гь предыдущие, используемые для получения тех же функциональных ха-рактеристик. Анализ статистических наблюдений из самых различных областей естествознания, техники и технологии показал, что изменение эффективен во времени характеризуется S-образными кривыми.