Понижение порядка некоторых типов ДУ высших порядков.
1.
(ДУ не содержит )
Замена
Получаем для ДУ 1-го порядка:
Находим . Тогда
Пример.
Замена
Получаем для ДУ 1-го порядка:
Замечание.
ДУ , сводится к ДУ
2.
(ДУ не содержит явно )
Замена . Подставим в ДУ:
ДУ 1-го порядка относительно . Решая его, получаем общее решение
.
с разделяющимися переменными
=dx
Пример.
.
Замена . Подставим в ДУ:
Линейные ДУ (ЛДУ) n-го порядка: однородные (ЛОДУ) и неоднородные (ЛНДУ). Теорема существования и единственности решения. Линейный дифференциальный оператор. Свойства линейного дифференциального оператора и линейность пространства решений ЛОДУ.
ЛДУ n-го порядка (неоднородное):
Коэффициенты и правая часть – функции, непрерывные на или на . Для . Разделим на . Получим ДУ вида
(2.6.1)– ЛНДУ го порядка. Соответствующее ЛОДУ:
Задача Коши для ДУ: найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям:
где .
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ЛДУ го порядка
Пусть непрерывны на . Тогда для точки и решение задачи Коши (2.6.1),(2.6.2), причем оно определено на всем интервале .
Рассмотрим левую часть ЛДУ (2.6.1) и (2.6.10) – дифференциальный оператор
.
Покажем, что является линейным оператором, т.е. и , где .
,
Таким образом, – линейный дифференциальный оператор.
Операторная форма ЛДУ:
ЛНДУ:
ЛОДУ:
Линейные однородные ДУ (ЛОДУ) n-го порядка.
Теорема. Множество частных решений ЛОДУ n-го порядка является линейным пространством относительно операций сложения функций и умножения на число.
Док-во. Нужно доказать, что операции сложения частных решений и умножения частных решений на число не выводит из множества частных решений, т.е. сумма частных решений – также решение, произведение частного решения на число – также решение, .
Пусть – решения, тогда , т.е. – решение, , т.е. – также решение. Нулевым вектором в линейном пространстве решений ЛОДУ является функция .
Итак, решения ЛОДУ n-го порядка образуют линейное пространство.
Линейная зависимость функций. Определитель Вронского (вронскиан). Теорема о вронскиане системы линейно зависимых функций и о вронскиане системы линейно независимых частных решений ЛОДУ.
Опр. Функции называются линейно зависимыми на , если , не все равные , такие, что
Опр. Если выполнение равенства () на всем интервале возможно только при , то функции называются линейно независимыми на .
Критерий линейной зависимости:
Функции линейно зависимы на для некоторого k=1,….n (т.е. хотя бы одна из функций линейно выражается через остальные).
Пример.
Т.к. , то функции линейно зависимы на
Пусть функции раз дифференцируемы на .
Опр. Определителем Вронского (вронскианом) системы функций называется определитель
.
Теорема о вронскиане системы линейно зависимых функций
Пусть функции линейно зависимы на . Тогда :
Док-во: по определению линейной зависимости функций , не все равные , такие, что . Последовательно продифференцируем это равенство:
Зафиксируем
(2.7.2) – СЛАУ (однородных) относительно , которая имеет ненулевое решение, т.е. определитель системы равен , т.е. ().
Замечание. Обратное неверно, т.е. если , то функции могут быть линейно независимы.
Пример.
,
.
Т.е. на , но и линейно независимы, т.к. . Не существует , таких, что для всех .