Проверка согласия экспериментального распределения нормальному

Предварительно необходимо выполнить расчет основных параметров нормального закона распределения и исключить, если есть, промахи.

Проверка согласия экспериментального распределения нормальному выполняется при числе измерений от 15 до 50. Уровень значимости принимается равным 2-10 % (рекомендуется 5 %). Проверка выполняется с помощью составного критерия.

Критерий 1. Определяется экспериментальное значение комплекса :

,

где .

Из метрологической таблицы (табл. 4) по уровню значимости и числу измерений определяются теоретические границы комплекса d, которые обозначаются d₁ и d₂.

Таблица 4. Значение комплекса d. Критерий 1

Объем выборки n
0,01	0,05	0,95	0,99
	0,9137	0,8884	0,7236	0,6829
	0,9001	0,8786	0,7304	0,6950
	0,8901	0,8686	0,7360	0,7040
	0,8826	0,8625	0,7404	0,7110
	0,8769	0,8578	0,7440	0,7167
	0,8722	0,8540	0,7470	0,7216
	0,8682	0,8508	0,7496	0,7256
	0,8648	0,8481	0,7518	0,7291

 

Затем производится сравнение теоретического и экспериментального значений комплекса d. Необходимо выполнение неравенства d₁ ≤ d_Э ≤ d₂. Если это неравенство не выполняется, необходимо выбрать другой уровень значимости, равный 0,01. Если это не поможет, то это означает, что экспериментальное распределение не подчиняется нормальному закону Гаусса и необходимо подобрать другой закон для описания распределения случайных погрешностей, которые содержат результаты измерения. Если неравенство выполнено, то переходят к проверке второго критерия.

Критерий 2. Для каждого результата измерения определяется экспериментальное значение

.

Величину t_эi сравнивают с максимально допустимым теоретическим значением t _т. Затем определяется число значений, для которых t_эi > t _т и обозначают это количество m _э.

Из метрологической таблицы (табл. 5) по уровню значимости и числу измерений определяется теоретическое значение m _т.

Таблица 5. Значение вероятности и количества отклонений. Критерий 2

n	m т	α2(Δ)	n	m т	α2(Δ)
0,01	0,02	0,05	0,01	0,02	0,05
		0,99	0,99	0,98			0,99	0,98	0,97
		0,99	0,99	0,98			0,99	0,98	0,98
		0,98	0,97	0,96			0,99	0,99	0,98
		0,98	0,97	0,96			0,99	0,99	0,98
		0,98	0,98	0,96			0,99	0,99	0,98
		0,98	0,98	0,97			0,99	0,99	0,98
		0,99	0,98	0,97	-	-	-	-	-

Производится сравнение теоретических и экспериментального значений комплекса m. Необходимо выполнение неравенства m _т ≥ m _Э.

Экспериментальное распределение подчиняется нормальному закону, если выполнены оба критерия.

Определение границ доверительного интервала и результата измерения

После того, как было выяснено, экспериментальное распределение подчиняется нормальному закону необходимо определить границы доверительного интервала и записать результат измерения согласно стандарта.

Границы доверительного интервала

,

где –предельное теоретическое значение из табл. 3.

Для принятого уровня значимости 5 % результат измерения записывается в виде

.

 

Работа №3

«Обработка неравноточных результатов измерений на принадлежность одной генеральной совокупности»

Цель работы - ознакомиться с методикойобработки неравноточных результатов измерений

Производственная необходимость часто приводит к тому, что измерения приходиться производить либо в течение нескольких дней, либо на разных измерительных стендах. Такие результаты измерения могут содержать различные по физической природе и величине группы погрешностей и не могут, как говорят «принадлежать одной генеральной совокупности». Поэтому, такие экспериментальные данные необходимо предварительно проверить на принадлежность одной генеральной совокупности.

Принятые обозначения:

- первая группа измерений (первая выборка);

- вторая группа измерений (вторая выборка).

Порядок расчета

1. Определяются среднеквадратичные отклонения (СКО) для каждой выборки σ₁, σ₂ и средние арифметические значения х_{ср1 ,} х_{ср2 .}

2. Суммарное СКО определяется:

.

3. Определяется экспериментальный коэффициент Стьюдента:

.

4. По доверительной вероятности и по степени свободы системы из табл. 6 принимают . Причем, вместо количества измерений , принимается степень свободы.

5. Если , то результаты измерения принадлежат одной генеральной совокупности.

6. Если принадлежность результатов измерений одной генеральной совокупности установлена, то определяются параметры генеральной совокупности.

7. Для каждой выборки определяют вероятности:

.

8. Среднее арифметическое генеральной совокупности:

.

9. СКО генеральной совокупности:

.

10. Величины σ_см, σ_ср определяются по формулам из предыдущих расчетов.

11. Границы доверительного интервала:

.

Для принятого уровня значимости 5 % результат измерения записывается в виде:

.

 

Примечание: расчет выполняется для исходных данных, для которых был выполнен расчет «Обработка результатов многократных измерений». Эти результаты измерения необходимо разделить на две примерно одинаковые группы.

Таблица 6. Интеграл вероятности по закону Стьюдента

N, (К)	Рд=0,90	Рд=0,95	Рд=0,99
	1,753	2,131	2,947
	1,729	2,093	2,861
	1,717	2,074	2,819
	1,711	2,064	2,797
	1,699	2,045	2,756

 

Работа №4

«Оценка погрешности результатов выполнения косвенных измерений »

 

Цель работы - ознакомиться с методиками обработки многократных косвенных измерений и нахождения погрешности результатов косвенных измерений.

Основные положения

Косвенным измерением называют определение значения физической величины на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной [4]. Эти исходные величины чаще всего определяют в результате прямых измерений и их можно назвать измеряемыми аргументами (в краткой форме - аргументами).

Истинное значение измеряемой величины связано с аргументами () зависимостью, которую можно представить в виде

.

По виду функциональной зависимости можно различать:

- косвенные измерения с линейной зависимостью между измеряемой величиной и аргументами

(1)

 

где - постоянный коэффициент j -го аргумента , m - число слагаемых;

- косвенные измерения с нелинейной зависимостью между измеряемой величиной и аргументами

- косвенные измерения со смешанной зависимостью между измеряемой величиной и аргументами

.

Линейные косвенные измерения

При выполнении линейных косвенных измерений за оценку измеряемой величины A естественно принять

.

Каждая полученная оценка обладает некоторой фиксированной погрешностью , причем , где , − реализация систематической и случайной составляющих погрешности соответственно. Подставив выражение для в (1) получаем

,

(2)

 

т.е. при косвенных измерениях путем суммирования составляющих находят не только границы систематической погрешности результата, но и случайной погрешности.

Дисперсию случайной погрешности в случае независимости погрешностей измерений аргументов можно определить как

.

Заметим, что. .

Считая, что погрешность результата косвенного измерения образуется путем сложения случайных погрешностей результатов измерений аргументов, распределенных по нормальному закону, и также подчиняется нормальному закону, можно найти доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины A.

При числе наблюдений, выполненных при измерении всех аргументов, превышающем 30, доверительная граница случайной погрешности может быть определена как

,

(3)

 

где квантиль нормированного нормального распределения, соответствующая выбранной доверительной вероятности .

При оценке систематической погрешности следует исходить из того, что составляющая может быть определена границами возможных значений .

В предположении, что все составляющие общей систематической погрешности распределены по нормальному закону, и все границы вычислены для одной и той же доверительной вероятности

.

(4)

После этого можно найти .

 

Нелинейные косвенные измерения

Для косвенных измерений при нелинейных зависимостях используют метод линеаризации, предполагающий разложение нелинейной функции в ряд Тейлора

,

где - нелинейная функциональная зависимость измеряемой величины от измеренных аргументов; - первая производная от функции по аргументу, вычисленная в точках ; - отклонение отдельного результата измерения j -го аргумента от его среднего арифметического; - остаточный член.

Функция , разложена в ряд Тейлора в точке , знак минус перед членом объясняется тем, что , а по правилу разложения в ряд Тейлора должно быть .

Метод линеаризации допустим, если приращение функции можно заменить ее полным дифференциалом . Остаточным членом пренебрегают, если

.

(5)

Отклонения при этом должны быть взяты из возможных значений погрешности и такими, чтобы они максимизировали функцию

Результат измерения при этом может быть определен как

.

(6)

С.к.о. результата измерения вычисляют по формуле

.

Доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения и границы неисключенной систематической погрешности результата измерения могут быть определены так же как и для линейных косвенных измерений, но подставляя вместо коэффициентов , соответственно первые производные .