Проценты не знают паузы.
и даже в дождливые дни.
Джош Биллингс
11 октября 2012 года Правительство России утвердило государственную программу развития образования до 2020 года. Премьер-министр РФ Дмитрий Медведев на заседании Правительства РФ заявил: «Особый акцент будет сделан на развитии математического образования как основы для создания высокотехнологичной экономики». |
Высокотехнологичным комплексом национальной экономики принято называть совокупность отраслей, характеризующихся относительно высокой наукоемкостью производства. Но ни одно наукоёмкое производство невозможно без математики, а проценты - одно из математических понятий, без которых экономика невозможна, и, кроме этого, они часто встречаются в повседневной жизни. В современном мире прожить без знаний процентов невозможно.
Задачи простейшего вида на проценты рассматриваются в курсе математики 5 класса, затем при изучении пропорции в 6 классе. В 7 классе задачи на проценты не изучаются. А в 8 классе, при изучении химии, предлагаются для решения задачи на смеси, сплавы, концентрацию, процентное содержание, и учащиеся испытывают затруднения! Получается, что на изучение темы «Проценты» в курсе математики отводится мало часов, но этот раздел является неотъемлемой частью при сдаче ОГЭ и ЕГЭ. К тому же 2015 году в задания ЕГЭ была добавлена экономическая задача на сложные проценты.
Главный «куратор» ЕГЭ по математике, директор Центра педагогического мастерства Иван Ященко в интервью газете «Московский комсомолец» 4 марта 2015 года сказал: «Примечательно, что использование на экзамене «банковской тематики» носит целенаправленный характер. В 2015 году в профильный ЕГЭ по математике обязательно включается задача практического содержания с экономическим смыслом — ситуация из жизни с нормальными числами».
В зависимости от способа начисления процентов на вложенный капитал различают простые и сложные проценты.
Можно вкладывать средства на несколько лет под определенный процент, при этом сумма накопленных процентов не изымается, а остается па счете инвестора, и на неё начисляются проценты. Однако условия вклада могут быть и иные. Инвестор каждый год забирает накопленные проценты, а проценты за следующий год начисляются только на первоначальную сумму.
При начислении простых процентов будущая стоимость определяется по формуле FV=PV(1+r·n), где FV – будущая стоимость, PV- настоящая стоимость, r – проценты, n – срок вложения.
Рассмотрим пример, когда на вложенные инвестиции доход начисляется по методу простых процентов. Вкладчик размещает 1 млн руб. на депозите сроком на пять лет под 10% годовых. После завершения срока сумма средств, которыми будет располагать инвестор, составит 1(1+ 0,1∙5) = 1,5 млн руб., из которых 1 млн руб.— это сумма первоначального взноса и 500 000 руб.
В основе метода сложных процентов лежит та же методика начисления ежегодных простых процентов, которые начисляются на первоначальный вклад и накопленную сумму. Будущую стоимость по методу сложных процентов рассчитывают по формуле FV=PV(1+r)n
Рассмотрим, как изменится сумма вклада в рассмотренном выше примере, если при начислении использовать метод сложных процентов. При размещении на банковском депозите суммы в размере 1 млн руб. сроком на пять лет под 10% годовых конечная сумма при исчислении методом сложных процентов составит FV= 1 000 000 (1 + 0,1)5= 1 610 510 руб.
Полученная сумма на 110 510 руб. больше, чем сумма, полученная при начислении простых процентов.
Решение задач практического применения, содержащих проценты:
А) Алгоритм решения задач на сплавы и концентрацию:
1. Изучить условие задачи. Выбрать неизвестные величины, относительно которых мы будем составлять пропорции, создать математическую модель ситуации описанной в условии задачи;
2. Используя условие задачи, определить все взаимосвязи меду данными величинами;
3. Составить математическую модель задачи и решить её;
4. Изучить полученное решение и провести критический анализ результата.
Рассмотрим решения некоторых задач на концентрацию, сплавы и содержание сухого вещества
1. В сосуд, содержащий 10 литров 14-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?
РЕШЕНИЕ.
Всё решение основывается на заполнении таблицы, где за x берётся искомый её элемент.
Объём (V), л | Концентрация вещества (n), % | Масса вещества (m), кг | |
1раствор | 1,4 | ||
2 раствор | 0 (так как добавили чистую воду) | 0 (так как добавили чистую воду) | |
3 раствор | x | 1,4 |
Третий раствор – это раствор, получившийся в результате добавления к первому раствору второго. Его объём находится по формуле: V3=V1+V2.
Масса вещества находится по следующей формуле: m=V·n.
Масса вещества, растворённого в третьем растворе, находится по следующей формуле: m3=m1+m2.
Следовательно, чтобы найти концентрацию вещества в третьем растворе, необходимо массу вещества разделить на объём раствора: x =n3= =10.
Ответ: 10%
2. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
РЕШЕНИЕ.
Всё решение основывается на заполнении таблицы, где за x берётся искомый её элемент.
Масса (M), кг | Содержание вещества (n), % | Масса вещества (m), кг | |
1сплав | y | 0,05y | |
2 сплав | y+7 | 0,14(y+7) | |
3 сплав | x= y+(y+7)=2y+7 | 0,1(2y+7) |
Третий сплав – это сплав, получившийся в результате добавления к первому сплаву второго. Его масса находится по формуле: M3=M1+M2. Масса вещества находится по следующей формуле: m=M·n.
Масса вещества, находящегося в третьем сплаве, находится по следующей формуле: m3=m1+m2. Следовательно:
0,1(2y+7)= 0,05y+0,14(y+7) |·100
20y+70=5y+14y+98
y=28
x = 2·28+7=63
Ответ: 63 кг.
3. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 64 килограммов изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит 19% воды?
РЕШЕНИЕ.
Всё решение основывается на заполнении таблицы, где за x берётся искомый её элемент.
Концентрация воды (n1), % | Концентрация сухого вещества (n2), % | Масса продукта (M), кг | Масса сухого вещества (m), кг | |
Виноград | x | 0,18x | ||
Изюм | 51,84 |
Концентрация сухого вещества вычисляется по следующей формуле: n2=100%-n1.
Масса сухого вещества вычисляется по следующей формуле: m=M·n.
Так как и в винограде, и в полученном из него изюме масса сухого вещества неизменна, то:
0,18x=51,84
x =288
Ответ: 288 кг.
4. Смешав 24-процентный и 67-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 41-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты,
то получили бы 45-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов
24-процентного раствора использовали для получения смеси?
РЕШЕНИЕ.
Всё решение основывается на заполнении таблицы, где за x берётся искомый её элемент.
Объём (V), л | Концентрация вещества (n), % | Масса вещества (m), кг | |
1 раствор | x | 0,24x | |
2 раствор | y | 0,67y | |
3 раствор | 0 (так как добавили чистую воду) | 0 (так как добавили чистую воду) | |
4 раствор | x+y+10 | 0,41(x+y+10) | |
5 раствор | |||
6 раствор | x+y+10 | 0,45(x+y+10) |
Четвёртый раствор – это раствор, получившийся в результате добавления к первому и второму растворам третьего. Его объём находится по формуле: V4=V1+V2+V3.
Шестой раствор – это раствор, получившийся в результате добавления к первому и второму растворам пятого. Его объём находится по формуле: V6=V1+V2+V5.
Масса вещества находится по следующей формуле: m=V·n.
Масса вещества, растворённого в четвёртом растворе, находится по следующей формуле: m4=m1+m2+m3.
Масса вещества, растворённого в шестом растворе, находится по следующей формуле: m6=m1+m2+m5.
Следовательно, у нас получилась следующая система уравнений:
Согласно способу сложения в системе уравнений:
51,6-0,86x=0
0,86x=51,6
x =60
Ответ: 60 кг.