Рис. 6.18. Расчетная схема для кинематического анализа | Этот анализ проведем на примере кулачкового механизма с толкателем, оканчивающимся острием. Пусть на фазе удаления центровой профиль кулачка задан в виде канонического уравнения параболы у = 2 рх в системе координат х О у (рис. 6.18). На рис. 6.18 использованы следующие обозначения: а – расстояние от начала координат до центра окружности минимального радиуса; φ – текущий фазовый угол поворота кулачка; – координаты точки М профиля кулачка при повороте последнего на угол φ; |
– координаты точки встречи толкателя с точкой на профиле кулачка;
– соответственно эксцентриситет и минимальный радиус кулачка;
, , m, n, – точки построения схемы механизма.
В дальнейшем будем считать заданными:
1) уравнение центрового профиля кулачка;
2) расстояние а;
3) эксцентриситет е;
4) угловую скорость ω;
5) текущий фазовый угол.
Требуется определить координаты точки встречи толкателя
с точкой профиля кулачка при повороте последнего на угол φ, а также скорость в данный момент.
Определим минимальный радиус. Из рис. 6.18 следует:
, (6.4)
, (6.5)
x = а – е. (6.6)
¨ Подставляя в формулу (6.4) значения (6.5), (6.6), получим
(6.7)
Определим на профиле кулачка координаты точки М, которая окажется в контакте с толкателем при повороте кулачка на заданный фазовый угол φ. Для этого необходимо совместно решить уравнение профиля кулачка и уравнение прямой у = kx + b, изображающей положение толкателя в обращенном движении (см. рис. 6.18).
Составим уравнения упомянутой прямой в системе х О у. Угловой коэффициент этой прямой равен tg(90 – φ). Отрезок, отсекаемый на оси О у (с учетом знака) и равный О , определяется из следующих условий (см. рис. 6.18):
(6.8)
¨ отсюда
(6.9)
Тогда уравнение искомой прямой с учетом углового коэффициента и выражения (6.9) примет следующий вид:
(6.10)
Решаем совместно уравнение (6.10) и уравнение параболы:
(6.11)
Решение системы уравнений (6.11) – это координаты точки М:
(6.12)
Дифференцируя выражения (6.12) по времени, получим:
(6.13)
Определим координаты точки встречи толкателя с точкой М на профиле кулачка. В соответствии с рис. 6.18 имеем:
. (6.14)
¨ Координату определим из треугольника :
. (6.15)
Радиус-вектор = M определим как расстояние между двумя точками М и , координаты которых известны (М (), (a, 0)):
(6.16)
¨ Подставляя выражения (6.16) в (6.15), получаем:
(6.17)
Дифференцируя (6.17) по времени, получим абсолютную скорость толкателя при повороте кулачка на заданный угол:
. (6.18)
Производные и определяются по формулам (6.13). Дифференцируя по времени выражение (6.18), можно определить ускорение толкателя.
6.10.3. Профилирование кулачковой шайбы
для механизмов с плоским толкателем
Для управления станками с ЧПУ при изготовлении кулачковых шайб требуется аналитическое выражение центрового и действительного профилей. Предлагаемый аналитический метод профилирования кулачковых шайб механизмов различных типов позволяет формализовать процесс определения координат профиля в декартовой или полярной системе координат с помощью ЭВМ. Применим данный метод при профилировании кулачковой шайбы с плоским толкателем.
Рассмотрим неподвижную систему координат и подвижную систему координат , жестко связанную с шайбой (рис. 6.19). Перемещение системы относительно характеризуется поворотом кулачка на угол φ, при φ = 0 оси систем координат совпадают.
В системе координаты точки контакта определим радиусом-вектором которому соответствует столбцовая матрица:
.
В системе координаты точки контакта определим радиусом – вектором с помощью векторного выражения:
,
¨ где – матрица перехода от системы к системе ,
Рис. 6.19. Профилирование кулачковой шайбы
для механизма с плоским толкателем
Тогда, согласно определению вектора,
В полярных координатах радиус-вектор кулачка
а полярный угол , где – угол, зависящий от координат точки на профиле кулачка, .
6.10.4. Профилирование кулачковой шайбы для механизмов
с толкателем, оканчивающимся острием или роликом
В неподвижной системе координат радиус-вектор точки контакта толкателя с шайбой представим столбцовой матрицей (рис. 6.20):
¨ где – положение толкателя в начале его подъема;
¨ – текущее перемещение толкателя.
В системе координаты точки контакта определим радиусом-вектором, с помощью матричного выражения:
¨ где – матрица перехода от системы к системе ,
Рис. 6.20. Профилирование шайбы для механизма
с толкателем, оканчивающимся острием
,
¨ – координаты радиуса-вектора .
Для перехода от центрового к практическому профилю запишем вектор координат точки контакта ролика с действительным профилем кулачка в начале подъема толкателя в системе координат :
¨ где – угол давления,
¨ – аналог скорости толкателя,
¨ – радиус ролика.
Тогда радиус-вектор точки контакта ролика и практического профиля (точки ) в матричном выражении в системе запишем в виде столбцовой матрицы:
Для перехода к полярным координатам введем следующие обозначения:
– постоянный угол, ;
– дополнительный угол, .
Отсюда полярный угол радиуса-вектора . В полярных координатах радиус-вектор кулачка:
6.10.5. Профилирование кулачковой шайбы
для механизма с коромыслом
При профилировании считаем заданными зависимость углового перемещения выходного звена ψ от угла поворота кулачка φ, а также первую и вторую производные этого перемещения (ψ́, ψ˝), длину коромысла , межосевое расстояние , минимальный радиус, радиус ролика .
На рис. 6.21 изображены неподвижная система координат и подвижная система координат , которые совпадают при φ = 0, при этом начальное положение коромысла характеризуется значением . Повороту кулачка на угол φ соответствует текущее положение коромысла ψ.
В системе координаты точки контакта определим радиусом-вектором , которому соответствует столбцовая матрица:
.
Рис. 6.21. Профилирование кулачковой шайбы
для механизма с коромыслом
В системе координаты точки контакта определим матричным выражением
где – матрица перехода от системы к системе ,
.
В полярной системе координат радиус-вектор текущего положения точки контакта кулачка и толкателя , а полярный .
Для описания практического профиля проводим нормаль к профилю n – n и вводим еще одну систему координат с центром в точке А. В этой системе радиус-вектор, описывающий практический профиль, представим в виде
,
¨ где θ – угол давления,
.
Для представления радиуса-вектора в системе запишем матричное выражение:
¨ где , , – матрицы преобразования координат.
Для примера рассмотрим составление матрицы для текущего положения толкателя:
.
Координаты Х и Y начала координат А системы в неподвижной системе (рис. 6.22) определим так:
Рис. 6.22. Определение столбца координат подвижной
системы координат в неподвижной системе координат
Из матричного выражения получаем матрицу, содержащую координаты практического профиля: